巧用函數(shù)思想，妙解數(shù)學(xué)問(wèn)題

沈桂蘭

【摘 要】 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要注意有效滲透函數(shù)思想，巧妙地運(yùn)用函數(shù)定義、性質(zhì)、圖象、值域等函數(shù)思想載體去分析、轉(zhuǎn)化和解決問(wèn)題，從而使問(wèn)題得以快速、巧妙、準(zhǔn)確、有效地解決。

【關(guān)鍵詞】 巧用；函數(shù)思想；數(shù)學(xué)；問(wèn)題

函數(shù)思想是數(shù)學(xué)解題中至關(guān)重要的思想方法，它涉及知識(shí)點(diǎn)多，覆蓋面廣，綜合應(yīng)用強(qiáng)，解法靈活多樣，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生思維深刻性、靈活性和創(chuàng)造性，提升學(xué)生思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生良好數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著積極的作用。對(duì)此，筆者從自身教學(xué)實(shí)踐出發(fā)，就如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生巧用函數(shù)思想妙解數(shù)學(xué)問(wèn)題略談了如下看法，以供參考。

一、利用函數(shù)定義，有效解決數(shù)學(xué)問(wèn)題

函數(shù)的基本定義是：設(shè)A、B是非空數(shù)集，若根據(jù)某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f（x），x∈A.其中x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f（x）|x∈A}叫做函數(shù)的值域。

函數(shù)定義是學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握函數(shù)知識(shí)的重要基礎(chǔ)。靈活運(yùn)用函數(shù)定義解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，既可以深化學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解，又可以提高學(xué)生應(yīng)用函數(shù)定義解題意識(shí)，發(fā)展學(xué)生的思維能力。許多學(xué)生在解函數(shù)問(wèn)題時(shí)感覺(jué)束手無(wú)策、無(wú)從下手，究其主要原因是學(xué)生對(duì)函數(shù)定義理解不透徹、把握不當(dāng)，因此，在平時(shí)教學(xué)中，教師要注意強(qiáng)化函數(shù)概念，增強(qiáng)學(xué)生解題能力。

例1 若f（x）與g（x）都是定義在R實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，且方程x-f[g（x）]=0有實(shí)數(shù)解。則g[f（x）]不可能為（ ）.

A.x2-1/5 B. x2+1/5 C. x2+x-1/5 D. x2+x+1/5

解析：此題乍看之下學(xué)生可能無(wú)從下手，但若能結(jié)合函數(shù)定義，則可使問(wèn)題豁然開朗起來(lái)。方程x-f[g（x）]=0有實(shí)數(shù)解，設(shè)解為a，將其代入得a-f[g（a）]=0，把方程看成函數(shù)，這樣a-f[g（a）]=0可理解成在g（x）定義域中存在元素a經(jīng)過(guò)映射g，設(shè)對(duì)應(yīng)的象為b， b經(jīng)過(guò)映射f后，在f（x）的值域中存在a與之相對(duì)應(yīng)。這樣對(duì)于g[f（x）]而言，函數(shù)定義可知存在b，使得g[f（b）]=b成立，即方程g[f（x）]=x有解，將上述選項(xiàng)中的答案逐一代入進(jìn)行驗(yàn)證，可知g[f（x）]不可能為x2+x+1/5，故應(yīng)選D.

例2 已知集合M={a， b， c}，N={-2，0，2}，求建立從M到N且滿足f（a）+f（b）+f（c）=0的函數(shù)f個(gè)數(shù)。

解析：許多學(xué)生在解答本題時(shí)，往往束手無(wú)策，不知如何下手。事實(shí)上，本題的解題突破口是正確理解f（a）+f（b）+f（c）=0這一函數(shù)。根據(jù)函數(shù)的基本定義，不難發(fā)現(xiàn)，f（a），f（b），f（c）三個(gè)函數(shù)均是屬于集合N中的元素，因而此題可以轉(zhuǎn)化為從N中可任意取3個(gè)元素（可重復(fù)）滿足f（a）+f（b）+f（c）=0這一已知條件。由于每個(gè)式子對(duì)應(yīng)著一個(gè)函數(shù)關(guān)系，又由于f（a）+f（b）+f（c）=0的表達(dá)式僅有0+0+0=0或-2+0+2=0，因此，滿足題意要求的函數(shù)f個(gè)數(shù)為：A33+1=7.

點(diǎn)評(píng)：在解某些數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，靈活巧妙地運(yùn)用函數(shù)定義解題，往往可以收到事半功倍的效果。

二、把握函數(shù)性質(zhì)，靈活解決數(shù)學(xué)問(wèn)題

函數(shù)基本性質(zhì)主要包括了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性等方面。在解某些問(wèn)題時(shí)，若能善于挖掘問(wèn)題的隱含條件，有效構(gòu)造函數(shù)，靈活巧妙地運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)，往往可以達(dá)到化繁為簡(jiǎn)，化難為易的目的，從而使問(wèn)題迎刃而解。因此，在平時(shí)函數(shù)教學(xué)中，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生正確理解函數(shù)性質(zhì)，把握好函數(shù)內(nèi)涵外延和本質(zhì)特征，為數(shù)學(xué)解題奠定良好的基礎(chǔ)。

例3 設(shè)x， y∈[-π/4，π/4]，a∈R，且x3+sinx-2a=0，4y3+sinycosy+a=0，求cos（x+2y）的值。

解析：此題若直接從三角變換角度進(jìn)行分析和處理，往往難度較大，不易下手。但若能變換視角，轉(zhuǎn)變思路，將兩個(gè)方程變形為：x3+sinx=2a ①；（-2y）3+sin（-2y）=2a ②；結(jié)合兩方程結(jié)構(gòu)特征，可構(gòu)造函數(shù)f（a）= a3+sina，聯(lián)立方程①②可得f（x）=f（-2y）.而f（a）在[-π/2，π/2]上單調(diào)遞增，故x=-2y x+2y=0 cos（x+2y）=1.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于有些數(shù)學(xué)問(wèn)題，條件中有時(shí)給出的是不具備特殊性質(zhì)的函數(shù)，此時(shí)若構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，將條件適當(dāng)變形，再巧用函數(shù)性質(zhì)解題，往往會(huì)使問(wèn)題“柳暗花明”，得以輕松獲解。

三、結(jié)合函數(shù)圖象，輕松解決數(shù)學(xué)問(wèn)題

函數(shù)圖象是函數(shù)的基本表達(dá)形式之一，是研究和表述函數(shù)的重要工具，它將函數(shù)的變化趨勢(shì)直觀化，以圖形的形式直觀地展現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì)特征，借助函數(shù)圖象的直觀性解題，可以簡(jiǎn)化解題過(guò)程，使問(wèn)題得以輕松獲解。

由x>0得a≥-（x+1/x）對(duì)于0

點(diǎn)評(píng)：巧妙地結(jié)合函數(shù)圖象分析和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，往往可以使一些看似復(fù)雜的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單化，從而迅速找到問(wèn)題的突破口，巧妙求解。

總之，函數(shù)思想貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)中，具有一定的廣泛性、多樣性、靈活性、創(chuàng)造性等特點(diǎn)。在平時(shí)教學(xué)中，教師應(yīng)重視函數(shù)思想的有效滲透和靈活運(yùn)用，引導(dǎo)學(xué)生充分挖掘數(shù)學(xué)問(wèn)題中隱含的函數(shù)思想，學(xué)會(huì)巧用函數(shù)概念、性質(zhì)、圖象來(lái)分析、轉(zhuǎn)化和解決問(wèn)題，從而幫助學(xué)生掌握函數(shù)思想，提升學(xué)生思維品質(zhì)，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力。

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