函數(shù)思想在求參數(shù)取值范圍問題中的應(yīng)用

王勝軍

【關(guān)鍵詞】函數(shù)思想 中學(xué)數(shù)學(xué)思想 參數(shù)取值范圍

【摘要】數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的立足點，是數(shù)學(xué)問題考察的核心。求參數(shù)取值范圍問題是歷年高考的重點、難點問題，如何化解該難點是很多老師研究的問題，本文就如何利用函數(shù)思想化解該難點提供一種方法供大家參考。

中圖分類號：G63 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2016）7（b）-0000-00

數(shù)學(xué)教學(xué)的目的是向?qū)W生傳授系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識，在學(xué)習(xí)理解應(yīng)用知識的過程中，發(fā)展學(xué)生的能力，培養(yǎng)他們良好的個性品質(zhì)，這其中最重要的是解決問題，獲取新知識。因此，在教學(xué)過程中不僅要重視知識的教學(xué)，使學(xué)生掌握好基礎(chǔ)知識和基本技能，而且要加強數(shù)學(xué)思想方法的有機滲透，增強學(xué)生利用數(shù)學(xué)思想解題的能力，使學(xué)生充分認(rèn)識數(shù)學(xué)思想是教學(xué)的靈魂所在。

函數(shù)思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想方法。函數(shù)的思想，就是運用運動和變化的觀點，集合與對應(yīng)的思想，去分析和研究數(shù)學(xué)問題中的等量關(guān)系，建立或構(gòu)造函數(shù)關(guān)系，再運用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題，轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決.求參數(shù)取值范圍的題型在近幾年的高考以及各省市的模擬測試中頻頻出現(xiàn)，這也是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點及難點，本文給出一些靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法解這一類題的例子，以供同仁參考。函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的一條主線，數(shù)學(xué)教學(xué)在適當(dāng)?shù)膯栴}情境下，靈活地在解決問題中有意識地培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)思想，對啟迪學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生能力，優(yōu)化思維品質(zhì)，提高教學(xué)質(zhì)量大有稗益。在解題時通常把題目中的參數(shù)和未知量分離開來，利用函數(shù)有界性解題常能使問題簡單化。函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用，主要體現(xiàn)在通過建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造函數(shù)，把所研究的問題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，達到化難為易，化繁為簡的目的。

對在某區(qū)間恒成立的不等式問題、方程有解問題，用函數(shù)思想指導(dǎo)求解，主要基于以下顯然成立的命題：

命題：記函數(shù)y=f（x）的定義域為D，值域為Z，最小值為Y ，最大值為Y ，則f（x） m恒成立 y m，f（x） m恒成立 y m，f（x）=m有解 m的取值范圍為Z。

例1.（1）對任意實數(shù)x，不等式 恒成立，則k的取值范圍是 ；

（2）對任意實數(shù)x，不等式 恒成立，則k的取值范圍是 ；

（3）方程 有解，則k的取值范圍是 ；

分析：記y= ，即y= 易得y =3，y =-3，Z= ，故

（1）所求k的取值范圍是k<-3

（2）所求k的取值范圍是k 3，

（3）所求k的取值范圍是-3 k 3

例2.不等式 >b-1對x∈R恒成立，求證：a>b

證明： 原不等式在 ∈R恒成立，即

在 ∈R恒成立，即 在 ∈R恒成立，記y=- ，顯然 ，故a-b>0，即a>b成立。

例3.（1）關(guān)于x的方程 有解，求a的取值范圍；

（2）關(guān)于x的方程 有解，求a的取值范圍.

解析：（1）由原方程可得：a= ，記y= ，可求得其值域Z= ，于是a的取值范圍是 .

（2）由原方程可得：-（4+a）= ，記y= ，易得y 4， -（4+a） 4，從而所求a的取值范圍是：a -8.

例4.（1）若不等式 對 ∈ 的所有實數(shù)x都成立，求m的取值范圍。

（2）若不等式 對 ∈ 的所有實數(shù)m都成立，求x的取值范圍。

解析：記y= [1]，則對（1）（2）均需且只需

（1）此時[1]可視為關(guān)于x的二次函數(shù)，其圖像的對稱軸為x=m，

①當(dāng)m<-3時，在 ∈ 上，[1]為增函數(shù)，當(dāng)x=-3時，y =10+8m，由10+8m>0，得 ，又 ，故這時m的取值范圍為 ；

②當(dāng) 時，當(dāng)x=m時， 得 ；

③當(dāng)m>3時，在 ∈ 上，[1]為減函數(shù)，當(dāng)x=3時， ，由10-4m>0得m< ，又m>3，故這種情況下m的取值范圍為

（2）把[1]整理為y=（2-2x）m+ ，m∈ [2]

①當(dāng)x=1時[2]即y=2，m∈ ，此時 成立，故x=1可??；

②當(dāng)x不為1，[2]可視為關(guān)于m的一次函數(shù)，記g（m）=（2-2x）m+ ，m∈ 上y=g（m）為單調(diào)函數(shù)，要g（m）>0在m∈ 上恒成立，要且只要g（3）>0與g（-3）>0同時成立，即 解之得x>3+ ，或x<-3-

綜上所得x=1或x>x>3+ ，或x<-3- 即為所求x的取值范圍

例5.函數(shù)f（x）= 其中a>0，求a的取值范圍，使函數(shù)在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)。

解析：設(shè) 則f（x ）-f（x ）= = ，

要使函數(shù)在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，須且只需f（x ）-f（x ） 0對滿足 的 的任意值恒成立，或f（x ）-f（x ） 0對滿足 的 的任意值恒成立，又 <0，記y= [1]則須且只需y a對滿足 的 的任意值恒成立。視[1]為關(guān)于 的二元函數(shù)，對 時，由 可得y的值域為（-∞，1），故只可能有y a對滿足 的 的任意值恒成立，這只要a 1即可。當(dāng)a 1時，f（x ）-f（x ） 0對滿足 的 的任意值恒成立，f（x）在[0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)。當(dāng)a<1時，在[0，+∞）上f（x）不可能是單調(diào)函數(shù)。故所求a的取值范圍是：a 1.

由上述各例可看出，在不等式恒成立或方程有解時求參數(shù)取值范圍問題，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域或最值問題。在分離變量的過程中，常采用移項或兩邊同除以某個式子，但是除之前一定要注意分析被除的符號，從而確定變形后不等號“保向”還是“反向”，求解思路自然，過程簡明。對思維過程從思想方法的高度進行提煉總結(jié)，有利于學(xué)生對函數(shù)思想意識的滲透。經(jīng)過多次提煉、總結(jié)即可強化函數(shù)思想應(yīng)用的意識，也使學(xué)生對應(yīng)用函數(shù)思想處理問題的具體操作方式得到深刻的理解。

參考文獻：

1. 數(shù)學(xué)思想方法在求參數(shù)取值范圍中的應(yīng)用 蔣暉琳《懷化師專學(xué)報》2000年05期

2. 已知函數(shù)的單調(diào)性怎樣求參數(shù)的取值范圍 劉朝暉 《試題與研究》 2013年34期

3. 函數(shù)思想在解含參數(shù)三角問題中的應(yīng)用 陸斌 《中學(xué)數(shù)學(xué)月刊》 1998年04期

http：//www.cnki.com.cn/Journal/H-H3-ZOXE-1998-04.htm