偏序

0）0.引言依據(jù)偏序關(guān)系畫哈斯圖并求解特殊元素是離散數(shù)學(xué)課程考試中經(jīng)常出現(xiàn)的一類問題，但是由于教材中的定義簡潔凝練，相似度高，同學(xué)們很容易混淆[1]。本文在不偏離教材定義的基礎(chǔ)上采用可視化的方法求解偏序關(guān)系中八大特殊元素。1.相關(guān)概念定義：設(shè)R 為非空集合A 上的關(guān)系。如果R 是自反的、反對(duì)稱的和傳遞的，則稱R 為A 上的偏序關(guān)系，記作≤。設(shè)≤為偏序關(guān)系，如果∈≤，則記作x≤y,讀作x“小于或等于”y。定義：設(shè)為偏序集，B ?A，y∈A。（1）若?x(x∈

出發(fā), 可以構(gòu)造偏序集上若干拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。例如, 給定一個(gè)偏序集, 可以賦予該偏序集Scott拓?fù)?、?下)拓?fù)?、區(qū)間拓?fù)浜蚅awson 拓?fù)涞鹊?。拓?fù)涔ぞ叩囊霕O大地促進(jìn)了偏序集理論的發(fā)展, 連通性是重要的拓?fù)湫再|(zhì), 因此對(duì)偏序集上相應(yīng)拓?fù)溥B通性的研究是一項(xiàng)非常有意義的課題。在文獻(xiàn)[1]中, 徐羅山和唐照勇引入了偏序集連通性的概念, 并對(duì)Alexandrov 拓?fù)浜蚐cott 拓?fù)涞倪B通性及局部連通性做出了一些研究, 得到以下結(jié)論: (1) 一個(gè)偏序集是序連

00)§1 引言偏序集刻畫了事物的順序特征,連通性是偏序集理論重要研究內(nèi)容.元素間連通具有很強(qiáng)的直觀性,表現(xiàn)為其Hassse圖兩個(gè)元素都是相連的.文獻(xiàn)[1]闡述了序連通概念,即任意兩個(gè)元素間可以找到有限多個(gè)元素,使得這些元素間是依次可比地.唐照勇等在文獻(xiàn)[2-4]中也研究了偏序集的連通性,不過構(gòu)造的集列中每個(gè)步集(除了第一個(gè)步集外)既是上升集,也是下降集.在此基礎(chǔ)上,本文以上集列為工具,構(gòu)造上集列連通分支來刻畫偏序集的連通性,提供描述偏序集連通性的新方法及

文獻(xiàn)［8-9］對(duì)偏序集上的弱理想的研究取得豐富的成果，文獻(xiàn)［10-11］對(duì)偏序集上的局部極大理想和濾子極大理想的探究也取得不錯(cuò)成績.近年來，這方面的研究得到一些好的結(jié)果［11-15］.文獻(xiàn)［16-17］將經(jīng)典概念定向集推廣為一致集，引入并探討一致連續(xù)偏序集.文獻(xiàn)［18］利用相對(duì)的思想引入相對(duì)定向集的概念，探討相對(duì)連續(xù)偏序集及其性質(zhì)［18-20］.作為Domain理論中交連續(xù)半格這一經(jīng)典概念的自然推廣，本文首先引入相對(duì)輔助關(guān)系的概念，研究其在給定的集合T中的

研究域的特定種類偏序集合的數(shù)學(xué)分支,Domain理論亦被看作序理論的分支,在計(jì)算機(jī)科學(xué)和數(shù)學(xué)領(lǐng)域中廣泛應(yīng)用.Domain理論體現(xiàn)了序與拓?fù)涞南嗷ソY(jié)合,相互作用.其中一個(gè)重要的結(jié)論是:一個(gè)偏序集是連續(xù)的當(dāng)且僅當(dāng)其上的Scott拓?fù)涫峭耆峙涓馵3-4].因此,可以利用內(nèi)蘊(yùn)拓?fù)溲芯?span id="j5i0abt0b" class="hl">偏序結(jié)構(gòu),亦可以利用偏序結(jié)構(gòu)研究相關(guān)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).[3-5]拓?fù)鋵W(xué)致力于研究幾何圖形或空間在連續(xù)改變形狀后還能保持一些不變的性質(zhì).拓?fù)鋵W(xué)中一個(gè)基本問題是:n元素集上拓?fù)淇倲?shù)的計(jì)算.在現(xiàn)

逆半群S上的自然偏序關(guān)系，給出了偏序關(guān)系的定義：a≤b當(dāng)且僅當(dāng)a=eb，對(duì)某個(gè)e∈ES，這里ES是指S中所有冪等元組成的集合，并且在文獻(xiàn)[3]中指出此偏序關(guān)系對(duì)于乘法是左右相容的.30年后，Hartwig和Nambooripad分別在文獻(xiàn)[4]和[5]中把逆半群上的自然偏序關(guān)系給推廣到了正則半群，給出了正則半群上自然偏序關(guān)系常用定義：a≤b當(dāng)且僅當(dāng)a=eb=bf，對(duì)某個(gè)e，f∈ES，并指出此偏序關(guān)系關(guān)于乘法不再是左右相容的．在[6]中自然偏序關(guān)系被進(jìn)一步推

林等［6-7］在偏序集上引入弱理想并對(duì)弱理想的性質(zhì)進(jìn)行研究，得到豐富的結(jié)果.文獻(xiàn)［8］和文獻(xiàn)［9］首次引入局部極大理想和濾子極大理想的概念.近年來，眾多學(xué)者在這方面做深入研究和推廣，并得到一些重要的研究成果［10-12］.作為對(duì)定向集這個(gè)經(jīng)典概念的推廣，文獻(xiàn)［13］引入一致集和一致連續(xù)偏序集的概念.文獻(xiàn)［14］利用相對(duì)的思想引入相對(duì)定向集的概念，隨后作者更進(jìn)一步探討相對(duì)連續(xù)偏序集相關(guān)性質(zhì)［15-16］.沿著一致集和相對(duì)定向集的這個(gè)研究思路，本文首先在偏序集

41)0 引 言偏序集理論的發(fā)展時(shí)間尚短，關(guān)于偏序集理論的專業(yè)雜志Order是1984年第一次出版的. 之后，Bernd S.W.Schr?der在OrderedSets:Anintroduction中列舉了許多公開問題，如代數(shù)拓?fù)浞较颉⑿蚺c分析的關(guān)系等等. 可見，偏序集作為一種序結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)的另外兩大結(jié)構(gòu)(代數(shù)結(jié)構(gòu)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu))有著很大的交叉研究價(jià)值[1]. 雖然偏序集理論的發(fā)展時(shí)間不長，但是作為具有特殊序關(guān)系，同時(shí)具有序結(jié)構(gòu)和代數(shù)結(jié)構(gòu)的格早在19世紀(jì)末就被

獻(xiàn)[2]中引入了偏序集上的局部極大理想的概念。2007年，姜廣浩等推廣了上述概念，并提出了濾子極大理想的概念[3]。此外，潘美林等在文獻(xiàn)[4]中給出了弱理想的定義，得到了若干好的結(jié)果，進(jìn)而豐富了特殊元理論。2017年，唐照勇等在文獻(xiàn)[5]中引入了強(qiáng)理想的概念，并研究了其在有限偏序集上的應(yīng)用。文獻(xiàn)[6]引入了強(qiáng)集的概念，并將文獻(xiàn)[5]中元素間連通關(guān)系的定義推廣到一般偏序集上。在此基礎(chǔ)上，本文在偏序集上引入素強(qiáng)濾子的概念，并研究其相關(guān)性質(zhì)。此外，考察素強(qiáng)濾子、

極小集存在與連續(xù)偏序集等價(jià)，并對(duì)Lawson和Hoffmann所確立的完全分配格與連續(xù)偏序集間的對(duì)應(yīng)關(guān)系給出了一種新處理.文獻(xiàn)［8-13］分別論述了一些具體序結(jié)構(gòu)的極小集刻畫.本文在文獻(xiàn)［5-13］的基礎(chǔ)上引入Zc-極小集的概念，給出Zc-連續(xù)偏序集及保Zc-集的并且保?Zc的映射的Zc-極小集刻畫，得到了保Zc-集的并且保?Zc的映射的擴(kuò)張定理.1 預(yù)備知識(shí)定義 1.1［14］設(shè) P 是偏序集，?≠S?P.若?x，y∈S，?xi∈S，i＝1，2，...，

的概念十分重要。偏序關(guān)系是比較典型和重要的一種關(guān)系，主要應(yīng)用于粗糙集理論研究[1-2]。偏序關(guān)系主要研究蓋住問題和偏序集的特殊元素及其與格的聯(lián)系等[3-6]。關(guān)于偏序關(guān)系的結(jié)構(gòu)研究較少，本文定義有關(guān)的概念，證明偏序關(guān)系的性質(zhì)。1 基本概念定義1[7]R為定義在集合A上的二元關(guān)系，如果R滿足自反性、反對(duì)稱性和傳遞性，則稱R是A上的一個(gè)偏序關(guān)系，記作≤，稱作偏序集。定義2[7]設(shè)給定集合A={a1，a2，…，am}，R為定義在集合A上的二元關(guān)系，則R的關(guān)系矩陣

y-up 關(guān)系在偏序集、并連續(xù)半格及余dcpo不同背景下的性質(zhì)；然后，在余dcpo 上給出了逼近輔關(guān)系的定義并研究其相關(guān)性質(zhì)；最后，從范疇論[2-3]的角度考慮，給出了局部余定向完備范疇的概念，并將偏序集上的way-up 關(guān)系轉(zhuǎn)移到局部余定向完備范疇上，討論了局部余定向完備范疇上way-up 關(guān)系的相關(guān)性質(zhì)。1 預(yù)備知識(shí)定義 1[1]設(shè)（L，≤）是偏序集，S?L。 若 S≠?，并且 S 中的任意二個(gè)元在 S 中都有下界，即?a，b∈S，有c∈S，使得 c≤

,或更一般的連續(xù)偏序集理論主要研究偏序集,體現(xiàn)了序,代數(shù)與拓?fù)涞南嗷B透.其中一個(gè)基本而重要的的結(jié)果是:一個(gè)偏序集是連續(xù)的當(dāng)且僅當(dāng)它上面的Scott拓?fù)涫峭耆峙涓馵3-4].這說明,一方面利用內(nèi)蘊(yùn)拓?fù)淇裳芯?span id="j5i0abt0b" class="hl">偏序結(jié)構(gòu),另一方面利用偏序結(jié)構(gòu)也可研究相關(guān)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)[3-6].Domain理論受到了計(jì)算機(jī)科學(xué)和數(shù)學(xué)領(lǐng)域諸多學(xué)者的關(guān)注,且不斷地向信息科學(xué),邏輯學(xué),分析學(xué)及各種應(yīng)用學(xué)科滲透.偏序集的連通性直觀性很強(qiáng),這一性質(zhì)在文獻(xiàn)[7]和[8]中有所研究.這些研究純

≤”為X上的一個(gè)偏序關(guān)系.文獻(xiàn)[2]提出了BCH-代數(shù).眾所周知,BCI-代數(shù)類是BCH-代數(shù)類的真子類,因此對(duì)BCH-代數(shù)的研究就更加困難一些,但通過研究所得到的結(jié)果卻更具有普遍性.在一般的BCH-代數(shù)中，上述的二元關(guān)系不是一個(gè)偏序關(guān)系,為了把BCI-代數(shù)中的偏序關(guān)系推廣到BCH-代數(shù)中，文獻(xiàn)[3]提出了偏序BCH-代數(shù)的概念.文獻(xiàn)[4]在BCH-代數(shù)中引入了原子與分支的概念.作者將主要研究一般的BCH-代數(shù)和偏序BCH-代數(shù)的原子與分支的一些性質(zhì).1

領(lǐng)域的連接帶。將偏序集理論[4-5]應(yīng)用到擬陣的研究是一條成功之路[1-3,6-14]。此外,借助于偏序集理論,可以建立與擬陣有關(guān)的一些新框架[6-7,14]。擬陣具有幾何格表示，反之，每個(gè)幾何格是簡單擬陣；但是并不是每個(gè)擬陣都是簡單的，即有些擬陣不能由幾何格給予特征。另外,Welsh[2]指出，擬陣最著名的算法性質(zhì)與貪心算法有密切關(guān)系。貪心算法已被廣泛地應(yīng)用和研究[1,2,15-16]。擬陣的貪心算法特征是由擬陣的獨(dú)立集所描述的[2]。為了尋找擬陣的更多

的語義研究；一是偏序結(jié)構(gòu)與內(nèi)蘊(yùn)拓?fù)涞募償?shù)學(xué)研究.經(jīng)過多年的發(fā)展，連續(xù)格的大部分成果被推廣到了Domain理論中，并與邏輯學(xué)、范疇論、(格上)拓?fù)鋵W(xué)和Locale理論等眾多領(lǐng)域和分支發(fā)生了關(guān)聯(lián).鄭崇友[1]系統(tǒng)地論述了連續(xù)格理論的基本內(nèi)容，其中也包含了我國學(xué)者近年來在該領(lǐng)域的一些研究成果.潘美林[2]引入了下集算子和上集算子的定義，并在此基礎(chǔ)上研究了偏序集的一些性質(zhì)，將下集算子作用在集合上，得到集合下確界的下集.自然而然會(huì)產(chǎn)生以下問題：有沒有算子可以得到集合

運(yùn)用完全理論證明偏序集是任意并的即為意交的(完備∧-半格)。1 準(zhǔn)備工作定義1[3]設(shè)P是集,是P上的二元關(guān)系?？紤]以下性質(zhì):(1)自反性:?a∈P,aa;(2)反對(duì)稱性:?a,b∈P,ab,ba?a=b;(3)傳遞性:?a,b,c∈P,ab,bc?ac。定義2[2]設(shè)(L,)是偏序集,若L關(guān)于有限并與有限交都封閉,則稱(L,)偏序集為格。定義3[3]設(shè)(L,)是格,S?L。若S對(duì)于L中的有限并與有限交都封閉,則稱S是L的子格。定義4[4](緊致性定理)L

]給出了可數(shù)連續(xù)偏序集的概念,并建立了完善的可數(shù)連續(xù)Domain理論；文獻(xiàn)[4]首次引入了相容定向集的概念,為相容連續(xù)Domain理論構(gòu)建奠定基礎(chǔ)；文獻(xiàn)[5]則提出了一致連偏序集的概念;文獻(xiàn)[6]給出了可數(shù)一致連續(xù)偏序集和可數(shù)一致極小集的概念.本文沿此思路,首先在可數(shù)一致連續(xù)偏序集上引入序同態(tài)的概念,給出序同態(tài)的若干等價(jià)刻畫；然后引入可數(shù)一致Scott拓?fù)涞母拍?研究其具有的一些基本性質(zhì),并證明可數(shù)一致連續(xù)偏序集在?？蓴?shù)一致并投射下的像自身仍為可數(shù)一致連續(xù)

有界變差函數(shù) 偏序 正則曲線 斯蒂爾切斯積分中圖分類號(hào)：O174.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2018.07.014Abstract In this paper， we discuss the application of the binary bounded variogram in the plane regular curve， and the application of the bounded var

仲林[2]給出了偏序集上一致偏序集的定義，使偏序集得以豐富.Yuan B[3]引入了模糊理想的概念，研究了模糊格上的模糊理想和模糊濾子.姜廣浩[4]給出了偏序集上局部極大理想的定義，并探討了局部極大理想的一些性質(zhì).肖璨[5]提出了模糊集在分配格上的一個(gè)內(nèi)部刻畫，給出了模糊主理想、模糊次極大理想等定義,并考察了幾類模糊理想之間的關(guān)系.本文首先在一致集的基礎(chǔ)上，結(jié)合模糊偏序集和模糊理想的相關(guān)知識(shí)，給出模糊一致集和模糊一致完備集的定義，并研究它們的相關(guān)性質(zhì).其次

將其推廣到一般的偏序集中去，如，連續(xù)偏序集[3-5]、擬連續(xù)偏序集[6-7]、C-連續(xù)偏序集[8-9]等.本文在以往文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，將定向集和一致集進(jìn)行推廣.首先引入相對(duì)定向集和相對(duì)定向完備集的概念，并在相對(duì)定向完備集上引入相對(duì)雙小于的概念，研究其在給定的集合T中的一些性質(zhì)；然后利用相對(duì)way below關(guān)系引入相對(duì)連續(xù)偏序集的概念，探討了它的一些等價(jià)條件；最后引入相對(duì)遺傳性的概念，證明了相對(duì)連續(xù)偏序集在給定的集合T下具有相對(duì)T的遺傳性.設(shè)P為偏序集，?X?

-8]對(duì)一致連續(xù)偏序集做了深入研究并得到十分豐富的成果.受“一致集”概念的啟發(fā)，本文首先在偏序集上引入并考察相對(duì)集的概念，討論其性質(zhì)，并證明當(dāng)T定向時(shí)，偏序集上所有相對(duì)T的定向集可以構(gòu)成一個(gè)完備格.其次，在相對(duì)定向集基礎(chǔ)上引入相對(duì)定向完備集的概念，得到的一致完備集是相對(duì)定向完備集，并研究定向完備集、一致完備集與相對(duì)定向完備集三者之間的關(guān)系.本文中大部分采用文獻(xiàn)[2]的符號(hào).定義1.1[2]設(shè)P為偏序集，D?P，D≠?，對(duì)于任意x，y∈D,sup{x,y}存

是X上的一個(gè)模糊偏序, 稱偶對(duì)(X,e)是一個(gè)模糊偏序集.設(shè)(X,e)是模糊偏序集, 則≤e={(x,y)|e(x,y)≥1}是一個(gè)分明偏序. 若無特殊說明, 本文在模糊偏序集(X,e)框架下的偏序均指≤e, 簡記為≤.定義6[12,14]設(shè)(X,e)是模糊偏序集,A∈LX. 如果?x,y∈X,e(x,y)*A(x)≤A(y)(或e(x,y)*A(y)≤A(x)), 則稱A是模糊上集(或模糊下集).注2設(shè)(X,e)是模糊偏序集, ?A∈LX, 定義↓A,↑

741001）偏序同態(tài)和商序同態(tài)是偏序半群理論中一個(gè)重要的研究課題，許多學(xué)者對(duì)其都進(jìn)行了深入細(xì)致的研究。而在偏序半群的一些重要的二元關(guān)系在偏序半群各類問題，特別是與偏序同態(tài)和商序同態(tài)有關(guān)的問題的研究中有重要作用。文獻(xiàn)[1]通過擬序，主要討論了偏序半群的擬序和同態(tài)之間的關(guān)系；文獻(xiàn)[2]通過商擬序，給出了商序同態(tài)基本定理，并得到了商擬序和商序同態(tài)的一些重要性質(zhì)；文獻(xiàn)[3]通過可換偏序半群的正錐P1、偏序幺子半群P、包含P的子幺半群M和可換偏序半群關(guān)于包含偏序

十分豐富的內(nèi)容。偏序集擬陣是用一個(gè)偏序集代替擬陣的底集，底集的子集被偏序集的濾子(或?qū)ε嫉?，序理?替換而發(fā)展起來的一套理論。 這一理論被意大利學(xué)者Barnabei等人提出并進(jìn)行系統(tǒng)研究。[6-9]他們還從偏序集擬陣和組合概型兩個(gè)方面詳細(xì)研究了偏序集擬陣的公理體系。 偏序集擬陣在投射幾何、代數(shù)學(xué)等方面有很好的應(yīng)用。在實(shí)際問題的研究中,與偏序集擬陣類似,如果將廣義擬陣的底集由偏序集替換，底集的子集被偏序集的濾子(或?qū)ε嫉?，序理?替換, 我們將得到偏序集廣義

35000)有限偏序集上的強(qiáng)濾子及其應(yīng)用劉志禹， 姜廣浩， 唐照勇(淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,安徽淮北 235000)本文在偏序集上引入強(qiáng)濾子的概念,并在有限偏序集上探討強(qiáng)濾子與(非)連通偏序集之間的關(guān)系.強(qiáng)集； 強(qiáng)濾子； 不交并偏序集； (非)連通偏序集1 引言與預(yù)備知識(shí)唐照勇等在文獻(xiàn)[5]中給出了另一種等價(jià)的數(shù)學(xué)語言來刻畫有限偏序集的連通性,進(jìn)而將有限偏序集分為連通和非連通兩種類型， 并在有限偏序集上探討了強(qiáng)理想與(非)連通偏序集之間的關(guān)系. 受此啟發(fā)

000)強(qiáng)濾子在偏序集上的應(yīng)用劉志禹，姜廣浩，唐照勇(淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽淮北 235000)本文在偏序集上引入并考察強(qiáng)濾子，給出偏序集上元素之間一種等價(jià)關(guān)系——連通關(guān)系，通過探究得到偏序集上真強(qiáng)濾子的一個(gè)內(nèi)部刻畫。強(qiáng)慮子；連通關(guān)系；非連通偏序集；不交并偏序集1 預(yù)備知識(shí)定義1.1[1]設(shè)F是偏序集(E,≤)的非空子集，如果對(duì)?a∈F,x∈E,a≤x蘊(yùn)含x∈F，稱F是E的上集.定義1.2[1]設(shè)F是偏序集(E,≤)的非空子集，如果對(duì)?a∈F,x∈

家經(jīng)常遇到的幾類偏序作為力迫的特殊情況加以研究.證明了關(guān)于這2類力迫的一般性結(jié)論.單純力迫; 可數(shù)力迫; 偏序; 稠密嵌入; 模型O144.3A1001-8395(2017)01-0018-042015-10-03國家自然科學(xué)基金(11401567)朱慧靈(1985—),男,副教授,主要從事數(shù)理邏輯及其應(yīng)用的研究,E-mail:zhuhl02@gmail.comFoundation Items:This work is supported by Natio

1001)?可消偏序半群的可消偏序擴(kuò)張與商序同態(tài)邵海琴, 郭莉琴(天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 甘肅 天水 741001)引入偏序半群的商半擬序的概念,利用商半擬序給出了可消偏序半群上的偏序可擴(kuò)張為可消偏序的充分條件.通過偏序半群的半擬序σ、模σ的閉半擬鏈,商半擬序和偏序擴(kuò)張以及可消偏序半群的可消偏序擴(kuò)張,對(duì)偏序半群的商序同態(tài)進(jìn)行了刻畫,得到了若干重要的結(jié)論.可消偏序半群; 半擬序; 商半擬序; 閉半擬鏈; 偏序擴(kuò)張; 可消偏序擴(kuò)張; 商序同態(tài)Journ

710062)?偏序集上的Fuzzy蘊(yùn)涵代數(shù)及其性質(zhì)王昭海1，吳洪博2( 1.安康學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西 安康725000;2.陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，西安710062)給出了偏序集上的Fuzzy蘊(yùn)涵代數(shù)的概念，討論了它的性質(zhì)，并證明它在滿足一定條件下可構(gòu)成MV代數(shù)，也可構(gòu)成FuzzyR0代數(shù)。偏序集；蘊(yùn)涵代數(shù)；性質(zhì)在偏序集上的蘊(yùn)涵代數(shù)的基礎(chǔ)上，給出了Fuzzy蘊(yùn)涵代數(shù)的概念，研究了它的性質(zhì)。說明了它在條件(x→y)→y=(y→x)→x成立時(shí)

002)利用有限偏序集上的幾個(gè)重要結(jié)果并借助于拓?fù)淇臻g對(duì)應(yīng)的特殊化序與拓?fù)渲g的關(guān)系計(jì)算得出5元素集合上T0拓?fù)淇倲?shù)為4231,拓?fù)淇倲?shù)為6942.有限偏序集;拓?fù)?極小元;T0拓?fù)淇倲?shù)§1 引 言拓?fù)鋵W(xué)[1]中有一個(gè)艱難的問題是給出n元素集合上拓?fù)淇倲?shù)的計(jì)算.為了計(jì)算n元集合上的拓?fù)淇倲?shù),對(duì)于較小的n可以通過手工驗(yàn)證進(jìn)行計(jì)算;對(duì)于稍大一點(diǎn)的n則可以通過計(jì)算機(jī)編程進(jìn)行窮舉計(jì)算,但這很難體現(xiàn)數(shù)學(xué)方法和思維.當(dāng)然如果不借助于計(jì)算機(jī)編程,要算出n元素集合上的拓?fù)?/div>

高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)A輯 2016年4期2016-07-10

析方法中決策單元偏序關(guān)系的建立木 仁1，馬占新2，文宗川1(1.內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010051；2.內(nèi)蒙古大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010021)針對(duì)基于偏序集理論的數(shù)據(jù)包絡(luò)分析方法中無法給出非規(guī)模收益不變模型中決策單元偏序關(guān)系的缺陷，提供了三種常見數(shù)據(jù)包絡(luò)分析模型中偏序關(guān)系的建立理論及偏序關(guān)系確定算法。該算法能夠給出各個(gè)決策單元之間的偏序關(guān)系矩陣的同時(shí)也能夠給出偏序關(guān)系圖，這為決策者提供了更多的決策依據(jù)。最終將這一方法應(yīng)

誠關(guān)鍵詞：劃分；偏序；格；信息系統(tǒng)；知識(shí)庫；粒計(jì)算中圖分類號(hào)：TP18文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：ADOI：10.3969/j.issn.1003-6970.2015.09.0110 引言劃分與等價(jià)關(guān)系是集合論中的兩個(gè)緊密聯(lián)系的基本概念，從方法論的角度而言，劃分是目的，等價(jià)關(guān)系是描述劃分的手段。劃分與等價(jià)關(guān)系廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。例如，在粗糙集理論中，知識(shí)定義為劃分族，雖然不盡完備，但至少刻畫了對(duì)事物的分類能力是人類的基本認(rèn)知能力。在商空間理論中，對(duì)論域進(jìn)行劃分

19)?W-代數(shù)偏序集及其性質(zhì)折海芳, 趙 彬*(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 陜西 西安 710119)引入了W-引代數(shù)偏序集與強(qiáng)W-代數(shù)偏序集的概念。討論了W-代數(shù)偏序集、Exact偏序集以及代數(shù)偏序集的關(guān)系，證明了W-代數(shù)偏序集在保定向并的單的核算子下的像是W-代數(shù)偏序集。最后得到了每一點(diǎn)有最小局部基的弱Domain是強(qiáng)W-代數(shù)Domain,證明了弱Domain上的Scott連續(xù)映射保局部基當(dāng)且僅當(dāng)它保Weakly way below關(guān)系。W-

研究，給出合理的偏序較細(xì)關(guān)系是關(guān)鍵，已有一些學(xué)者對(duì)該問題做了一些嘗試。Huang等[11]，Zhang等[12]分別定義了兩種不同的覆蓋上的偏序較細(xì)關(guān)系。隨后Hu等人分析發(fā)現(xiàn)以上兩種偏序較細(xì)關(guān)系都存在問題，對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn)，提出了新的定義。但是，分析發(fā)現(xiàn)，Hu等[13]人提出的覆蓋上的偏序較細(xì)關(guān)系也不滿足覆蓋近似空間下的概念近似具有偏序關(guān)系是覆蓋近似空間本身具有偏序較細(xì)關(guān)系的充要條件，因此，本文重新定義了覆蓋上的偏序較細(xì)關(guān)系，并對(duì)其性質(zhì)進(jìn)行了研究，證明了該定

I－代數(shù)中的自然偏序關(guān)系，所以可換序半群需在文［3］作者提出的偏序BCH－代數(shù)中來討論，并給出有關(guān)可換序半群的一些性質(zhì).為行文方便，先引入下面的一些定義和結(jié)論.定義1［4］一個(gè)（2，0）型代數(shù)〈X；＊，0〉叫作BCH－代數(shù)，如果?x，y，z∈X，它滿足下列公理定義2［5］設(shè)〈X；＊，0〉是一個(gè)BCH－代數(shù)，若?x∈X，有0＊（0＊x）＝0＊x成立，則稱〈X；＊，0〉是一個(gè)擬結(jié)合BCH－代數(shù).定義3［3］設(shè)〈X；＊，0〉是一個(gè)BCH－代數(shù)，若x≤y（x≤y?

A)設(shè)S 是一個(gè)偏序幺半群，即幺半群S 上帶有一個(gè)偏序≤滿足對(duì)任意的s≤t，s'≤t'，s，s'，t，t'S，都有ss'≤tt'.我們稱帶有映射A×S→A(元素對(duì)(a，s)映到A 中的元記為as)的偏序集(A，≤)為一個(gè)右S-偏序系，記作AS(或簡寫為A)，如果A 是一個(gè)S-系，并且滿足對(duì)任意的a，bA，s，tS，有a≤b，s≤t?as≤bt.類似地可以定義左S -偏序系. 本文只討論右S-偏序系，因此省去“右”字. S -偏序系同態(tài)是保序并且保持S -作

一個(gè)半群，S上有偏序≤，如果?a，b，c∈S，有則稱S是序半群.如果序半群S還滿足左、右消去律：則稱序半群S是強(qiáng)序的.設(shè)S是序半群，?≠A?S.如果：則稱A是序半群S的理想.1966年，日本數(shù)學(xué)家K.Iséki以邏輯運(yùn)算和集合的差運(yùn)算為背景，引入了BCK－代數(shù)和BCI－代數(shù)，文獻(xiàn)［2］將其定義簡化.定義2［2］設(shè)集X 上有運(yùn)算＊及常元0，?x，y，z∈X.如果：則稱X是一個(gè)BCI－代數(shù)，記為（X，＊，0），簡記為X.如果BCI－代數(shù)X還滿足則稱X是BCK－

雙小于關(guān)系移植到偏序集上，產(chǎn)生了連續(xù)偏序集的概念，得到了豐富的成果[4-8]．近年來，徐羅山教授針對(duì)實(shí)數(shù)集、自然數(shù)集的序結(jié)構(gòu)特點(diǎn)(不是定向完備的)在文獻(xiàn)[9-11]中提出了相容定向集、相容定向完備偏序集的概念，將實(shí)數(shù)集和自然數(shù)集引入到研究對(duì)象中來，推廣了Domain理論的研究范圍，得到了許多好的結(jié)果．本文對(duì)偶地引入了相容濾子集、相容濾子完備偏序集的概念，并研究了偏序集及相容濾子完備偏序集上投射算子的幾個(gè)性質(zhì)，得到的相應(yīng)結(jié)果豐富了偏序集上的算子理論．1 預(yù)備

安710062）偏序集理論在數(shù)學(xué)以及相關(guān)學(xué)科領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用．但由于分明偏序僅能刻畫元素之間的大小關(guān)系而不能反映其相對(duì)大或小的程度，因此自從Zadeh提出模糊集的概念以來許多學(xué)者致力于將分明的序關(guān)系推廣到多值的情形．近年來，由于Ω－范疇理論［1－5］、量化Domain理論［6－10］的發(fā)展，一種新的模糊偏序［6，8，11］被提出．分明偏序集理論中的許多重要概念與結(jié)論，相繼被推廣到模糊偏序集的框架之下．完備格同余關(guān)系是偏序集理論中的一個(gè)重要概念，它與偏序集上

。Hasse圖;偏序集;偏序關(guān)系;算法;覆蓋關(guān)系偏序關(guān)系可以用偏序圖來表示，而Hasse圖可以極大的簡化偏序圖，使偏序關(guān)系一目了然，并且依據(jù)Hasse圖可以快速求解偏序關(guān)系的相關(guān)性質(zhì)。國內(nèi)外的文獻(xiàn)上面，構(gòu)造Hasse圖的方法都是基于純粹的數(shù)學(xué)矩陣變換，而不是計(jì)算機(jī)算法。本文在前人研究基礎(chǔ)上，將矩陣變換與計(jì)算機(jī)算法相結(jié)合，給出一種高效通用的Hasse圖構(gòu)造算法。1 基本概念定義1 集合A上的關(guān)系R稱為A的偏序關(guān)系，條件是R具有關(guān)系的自反性、反對(duì)稱性和傳遞性。

741006)偏序同態(tài)和商序同態(tài)是偏序半群中一個(gè)重要的研究課題，許多學(xué)者都對(duì)其進(jìn)行了深入細(xì)致的研究。而偏序半群的一些重要概念在偏序半群各類問題特別是與偏序同態(tài)和商序同構(gòu)有關(guān)的問題的研究中起著舉足輕重的作用［1－5］。文獻(xiàn)［1］通過擬序，主要討論了偏序半群的擬序和同態(tài)之間的關(guān)系;文獻(xiàn)［2］通過商擬序，給出了商序同態(tài)基本定理，并得到了商擬序和商序同態(tài)的一些重要性質(zhì);文獻(xiàn)［3］利用半擬序，給出了偏序半群的偏序擴(kuò)張與有限全序擴(kuò)張的方法;文獻(xiàn)［4］利用自然序半格擬

數(shù)系統(tǒng)。近年來，偏序集與格的理論在組合數(shù)學(xué)、Fuzzy數(shù)學(xué)、理論計(jì)算機(jī)科學(xué)，甚至社會(huì)科學(xué)中都得到了廣泛的應(yīng)用，極大地推動(dòng)了該學(xué)科自身的發(fā)展，也使之成為數(shù)學(xué)和理論計(jì)算機(jī)科學(xué)中的重要研究對(duì)象[4]。作為格的特殊實(shí)例，完備格出現(xiàn)于數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)的很多應(yīng)用中，在次序論和泛代數(shù)中也都有所研究。1 預(yù)備知識(shí)定義2.1 設(shè)P是一集合，≤是P上的二元關(guān)系，如果對(duì)?x，y，z∈P，有：1）x≤x（自反性）2）x≤y，y≤x ?x≤y（反對(duì)稱性）3）x≤y，y≤z?x≤z（

水741006）偏序半群的理想的根、偏序同態(tài)和商序同態(tài)邵海琴，郭莉琴，何建偉，王力梅（天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 天水741006）通過偏序半群的理想的根，刻畫了偏序半群的偏序同態(tài)與商序同態(tài)的一些重要性質(zhì)，并得到了一些重要結(jié)論。偏序半群；理想；理想的根；偏序同態(tài)；商序同態(tài)偏序同態(tài)和商序同態(tài)是偏序半群中一個(gè)重要的研究課題，許多學(xué)者都對(duì)其進(jìn)行了深入細(xì)致的研究。而偏序半群的一些重要概念在偏序半群各類問題特別是與偏序同態(tài)和商序同構(gòu)有關(guān)的問題的研究中起著舉足

42)判斷事務(wù)的偏序關(guān)系［1］在生活中應(yīng)用越來越廣泛，這個(gè)偏序關(guān)系是由一些相互關(guān)聯(lián)的事務(wù)及其上的序關(guān)系構(gòu)成，這里的序關(guān)系主要包括事務(wù)之間經(jīng)常順序出現(xiàn)的、經(jīng)常伴隨出現(xiàn)(無序)的及這2種關(guān)系的結(jié)合.這種相關(guān)事務(wù)集的劃分和序關(guān)系的判斷就是本文要研究的偏序關(guān)系模式，且利用并發(fā)事務(wù)與相關(guān)事務(wù)的聯(lián)系和并發(fā)關(guān)系中隱含的符合偏序性質(zhì)的關(guān)系，給出基于并發(fā)序列模式的偏序關(guān)系模式挖掘方法.偏序關(guān)系是對(duì)一組相關(guān)事務(wù)集及其上的序關(guān)系的描述，偏序關(guān)系模式挖掘是在事務(wù)序列數(shù)據(jù)庫上發(fā)現(xiàn)事

立,P就叫做一個(gè)偏序集,≤就叫做 P上的偏序.P01對(duì)于任意 x∈P,都有 x≤x.P02對(duì)于任意 x,y∈P,如果 x≤y,而且 y≤x,那么 x=y.P03對(duì)于任意 x,y,z∈P,如果 x≤y,而且 y≤z,那么 x≤z.P上的偏序≤有時(shí)記作≥,如果 x≤y,而 x≠y,就記 x＜y(或 y＞x).設(shè) P是一個(gè)偏序集,a,b∈P,a＜b,如果不存在c∈P,使得 a＜c＜b.則稱b是a的覆蓋,記作 a＜·b.P中的元素m叫做 P的一個(gè)極小 (大)元,如