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    偏序集上的素強濾子

    2020-10-10 06:14:04李效民姜廣浩
    南昌大學學報(理科版) 2020年3期
    關(guān)鍵詞:濾子偏序同構(gòu)

    李效民,姜廣浩

    (1.佛山職業(yè)技術(shù)學院財經(jīng)管理學院,廣東 佛山 528000;2.淮北師范大學數(shù)學科學學院,安徽 淮北 235000)

    1 引言與預備知識

    為了回答文獻[1]中的一個問題,2006年姜廣浩等在文獻[2]中引入了偏序集上的局部極大理想的概念。2007年,姜廣浩等推廣了上述概念,并提出了濾子極大理想的概念[3]。此外,潘美林等在文獻[4]中給出了弱理想的定義,得到了若干好的結(jié)果,進而豐富了特殊元理論。

    2017年,唐照勇等在文獻[5]中引入了強理想的概念,并研究了其在有限偏序集上的應(yīng)用。文獻[6]引入了強集的概念,并將文獻[5]中元素間連通關(guān)系的定義推廣到一般偏序集上。在此基礎(chǔ)上,本文在偏序集上引入素強濾子的概念,并研究其相關(guān)性質(zhì)。此外,考察素強濾子、素濾子、強濾子三者之間的關(guān)系。最后得到:強濾子在序同構(gòu)映射下的像是強濾子;素強濾子在序同構(gòu)映射下的像是素強濾子。

    定義1[1]設(shè)E是集合,≤是E上的二元關(guān)系,若≤滿足以下性質(zhì):

    (1) ?a∈E,a≤a;

    (2) ?a,b∈E,a≤b,b≤a?a=b;

    (3) ?a,b,c∈E,a≤b,b≤c?a≤c,則稱≤為偏序關(guān)系,稱(E,≤)為偏序集,簡記E。

    定義2[1,7,8]設(shè)F是偏序集(E,≤)的非空子集,稱F是E的上(下)集,若對?x∈E,a∈F,a≤x(x≤a)蘊含x∈F,即F=↑F(F=↓F)。定義3[9]A稱非空子集I是偏序集(E,≤)的濾子,若I滿足以下條件:

    (1) ?a,b∈I,?c∈I使得c≤a,c≤b;

    (2) ?a∈I,b∈E,a≤b蘊含b∈I。

    定義4[5]若I是偏序集(E,≤)的定向真強集,則I是E的強理想。對偶的,若I是偏序集(E,≤)的余定向真強集,則I是E的強濾子。

    定義5[6]設(shè)I為偏序集(E,≤)的非空子集。稱I為E的強集,若I既是上集又是下集,即I=↑I=↓I;稱I為E的真強集,若非空真子集I是強集。

    定義6[1]設(shè)I為偏序集(E,≤)的濾子。若EI=?或EI為E上的理想,則稱I為素濾子。

    定義7[1,10]設(shè)E與F為偏序集,f:E→F是映射,若?a,b∈P,a≤b?f(a)≤f(b),則稱f是單調(diào)映射,單調(diào)映射也稱為保序映射或序同態(tài)映射。

    定義8[1,10]設(shè)E與F為偏序集,f:E→F是保序雙射,若f的逆映射f-1也是保序映射,則稱f是保序同構(gòu)映射或序同構(gòu)映射。

    2 主要結(jié)論

    定義9設(shè)F為偏序集(E,≤)的非空子集,F(xiàn)為E的強濾子。稱F為素強濾子?EF為E的強理想或EF=?。

    注1素強濾子是強濾子,但強濾子未必是素強濾子。

    例1圖1是偏序集(E,≤)的Hasse圖,E={a,b,c,d,e,f,g,h,i,j}。令F={a,b,c,d,e,f},則F強濾子,但F不為素強濾子。事實上,EF={g,h,i,j}不為定向集,所以EF不為理想,進而EF不為強理想。

    注2素強濾子是素濾子,反之未必成立。

    例2圖2是偏序集(E,≤)的Hasse圖,E={a,b,c,d,e,f,g,i}。令F={a,b},則F為素濾子,但EF={c,d,e,f,g,i}不為強理想,故F不為素強濾子。

    注3素濾子未必是強濾子,強濾子也未必是素濾子。

    例3在例2中,令I(lǐng)={a,b},則I為素濾子。由于I不為強集,故I不是強濾子。

    例4在例1中,F(xiàn)為強濾子,但EF不為理想,故F不是素濾子。

    綜上可得強理想、素理想及素強理想之間的關(guān)系如圖3:

    引理1[6]設(shè)F是偏序集(E,≤)的非空子集。則F是E的連通分支當且僅當F既是強集又是連通子集。

    定理1設(shè)E為連通偏序集。若F為E的強濾子,則F為E的素強濾子。

    證明設(shè)F是E的強濾子,則F是E的余定向真強集。由偏序集的任一余定向子集都是連通子集,知F是E的連通子集。所以F既是強集又是連通子集。再由引理1知F是E的連通分支。此外,由于E是連通偏序集,故E也是連通分支,即E中只有一個連通分支。所以E=F,則EF=?,從而F為E的素強濾子。

    因為余定向偏序集是連通偏序集,同時也是強濾子。所以易得以下推論。

    推論1設(shè)E為余定向偏序集,則E本身為素強濾子。

    定理2設(shè)E和F是偏序集,f:E→F是序同構(gòu)映射。若非空子集G是E的強濾子,則f(G)是F的強濾子。

    證明設(shè)序同構(gòu)映射f:E→F,G?E為強濾子。?a*,b*∈f(G),存在a,b∈G使得a*=f(a),b*=f(b)。由G為余定向集,故?c∈G,使得c≤a,c≤b,由f保序,得到f(c)≤f(a),f(c)≤f(b)。故f(G)是余定向的。下證任意f(G)既為上集又為下集。首先證f(G)為上集,一方面f(G)?↑f(G),另一方面?y∈↑f(G),?g∈G,f(g)∈f(G)使得f(g)≤y。因為f-1保序,所以f-1(y)∈E且g≤f-1(y)。又G為強濾子,故G必為上集,從而f-1(y)∈G,進而有f(f-1(y))∈f(G),即y∈f(G),故↑f(G)?f(G),所以↑f(G)=f(G),即f(G)為上集。同理可證f(G)為下集,綜合可得,f(G)是F的強濾子。

    注4由定理2可知,在序同構(gòu)映射下,強濾子的像仍是強濾子。

    定理3設(shè)E為偏序集,f:E→E為投射,X?f(E)為強濾子。若infEX,inff(E)X存在且infEX∈E,則inff(E)X=f(infEX)。

    證明假設(shè)X?f(E)的上確界存在且屬于E,則?x∈X,由infEx≤x和f的單調(diào)性,可得f(infEX)≤f(x)。又由f的冪等性可得f(infEX)≤x,故f(infEX)為X在f(E)中的一個下界。假設(shè)a∈f(E),且a是X的另一個下界,則有a≤infEX,由f的冪等性和單調(diào)性,有a=f(a)≤f(infEX),故f(infEX)是X在f(E)中的下確界。

    定理4設(shè)E,F(xiàn)為偏序集,f:E→F為序同構(gòu)映射,若D為E的素強濾子,則f(D)為F的素強濾子。

    證明若ED=?,依據(jù)定義9知,D=E是強濾子。由定理2,f(D)=F為強濾子,F(xiàn)f(D)=?,即f(D)是素強濾子。

    若ED≠?。由定理2可知f(D)為強濾子,下證Ff(D)為強理想。

    ?y1,y2∈Ff(D),?x1,x2∈ED,使得y1=f(x1),y2=f(x2)。由ED為強理想,故ED定向,進而?z∈ED,使得x1≤z且x2≤z,又f是序同態(tài)的,故f(x1)≤f(z),f(x2)≤f(z),即y1≤f(z),y2≤f(z)。又由f(z)∈Ff(D),故Ff(D)是定向的。

    設(shè)x∈Ff(D),y∈F且y≤x。由f序同構(gòu),知f-1(y)≤f-1(x)。因為ED為強理想,所以ED為下集,由f-1(x)∈ED,f-1(y)∈f-1(F)?E,可得f-1(y)∈ED。故f(f-1(y))∈Ff(D),即y∈Ff(D)。所以Ff(D)為下集。類似可證明Ff(D)為上集。故Ff(D)為強集。

    綜上可知,f(D)是素強濾子。

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