EBL-代數(shù)上的蘊涵濾子與正蘊涵濾子

左衛(wèi)兵，韓 睿

(華北水利水電大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南 鄭州 450046)

0 引言

邏輯代數(shù)是研究非經(jīng)典邏輯系統(tǒng)的重要工具，包括MV-代數(shù)、BL-代數(shù)、R0-代數(shù)、剩余格等等. MV-代數(shù)是著名邏輯學(xué)家C C Chang[1]為解決ukasiewicz多值邏輯系統(tǒng)的完備性引入的一種代數(shù)體系. BL-代數(shù)是Hájek P[2]為了給出基本邏輯完備性的代數(shù)證明提出的代數(shù)結(jié)構(gòu). 已有的研究結(jié)果表明[2-3]，這兩種邏輯代數(shù)都是基于剩余格再附加上某些條件得到的代數(shù)結(jié)構(gòu). MV-代數(shù)是特殊的BL-代數(shù)：滿足對合性的BL-代數(shù)即為MV-代數(shù). MV-代數(shù)的研究得以廣泛發(fā)展后，不少學(xué)者基于不同的角度拓展了MV-代數(shù)，其中A等[4]利用廣義Boolean代數(shù)的定義擴展了MV-代數(shù)，并將其稱為EMV-代數(shù)，同時探究了EMV-代數(shù)的性質(zhì)以及結(jié)構(gòu)特征，形成了基本的理論框架. EMV-代數(shù)沒有定義最大元，在EMV-代數(shù)M中，對于M的任意冪等元a，[0,a]構(gòu)成了MV-代數(shù). 文獻[5]采用類似的方法，拓展了BL-代數(shù)，引入了EBL-代數(shù)的概念，研究了它的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，刻畫了它的特征定理. 類似地，在EBL-代數(shù)A中，對于A的任意冪等元a，[0,a]構(gòu)成了BL-代數(shù).

在研究邏輯代數(shù)的過程中，濾子作為一個工具性概念發(fā)揮了不可替代的作用. 目前，在BL-代數(shù)、剩余格等代數(shù)系統(tǒng)中，這方面的研究工作已經(jīng)獲得了很多有價值的成果[6-14]. EMV-代數(shù)[4]和EBL-代數(shù)[5]上也分別引入了濾子的概念，討論了濾子的一些基本性質(zhì)，但對于具體濾子沒有做更多深入地探討. 在此背景下，本文在文獻[5]的基礎(chǔ)上，在EBL-代數(shù)中定義了Boolean濾子、蘊涵濾子、正蘊涵濾子等概念，得到了它們的一系列等價刻畫，并討論了它們的相互關(guān)系，證明了正蘊涵濾子是蘊涵濾子以及Boolean濾子和正蘊涵濾子的等價性. 同時，通過濾子構(gòu)建了同余關(guān)系，并從商代數(shù)的角度得到了濾子的相關(guān)結(jié)論.

1 預(yù)備知識

定義1[2](2,2,2,2,0,0)型代數(shù)系統(tǒng)(A,∨,∧,⊙,→,0,1)稱為BL-代數(shù)，如果

(1) (A,∨,∧,0,1)是有界格；

(2) (A,⊙,1)是交換幺半群；

(3) 對任意x,y,z∈A，x⊙y≤z?x≤y→z；

(4) 對任意x,y∈A，x∧y=x⊙(x→y)；

(5) 對任意x,y∈A，(x→y)∨(y→x)=1.

在BL-代數(shù)A中，若?x∈A，有x--=x成立，則A稱為MV-代數(shù).其中，x-=x→0.

命題1[2,6,16,17,18,19]設(shè)A是BL-代數(shù)，則對任意x,y,z∈A，以下性質(zhì)成立：

(1)x≤y?x→y=1；

(2)x→(y→z)=(x⊙y)→z=y→(x→z)；

(3) (x∨y)→z=(x→z)∧(y→z)，(x∧y)→z=(x→z)∨(y→z)；

(4) 若x≤y，則y→z≤x→z，z→x≤z→y，x⊙z≤y⊙z；

(5) 1→x=x，x→x=1，x→1=1，x≤x--，x---=x-，x--≤x-→x；

(6)x⊙y≤x∧y，x⊙0=0；

(7)x⊙(y∨z)=(x⊙y)∨(x⊙z)，x⊙(y∧z)=(x⊙y)∧(x⊙z)；

(8)y≤(y→x)→x，x≤y→x；

(9)x→y≤(y→z)→(x→z)，y→x≤(z→y)→(z→x)；

(10)x∨y=[(x→y)→y]∧[(y→x)→x]；

(11) (x∧y)n=xn∧yn，(x∨y)n=xn∨yn，xm∨yn≥(x∨y)mn.

定義2[5](2,2,2,0)型代數(shù)系統(tǒng)(A,∨，∧,⊙,0)稱為EBL-代數(shù)，如果

(1) (A,∨,∧,0)是具有最小元的分配格；

(2) (A,⊙,0)是交換半群，0是中性元素；

(3) 對任意a,b∈I(A)且a≤b，任意x,y∈[a,b]，元素x→a,by=∨{z∈[a,b]|x⊙z≤y}存在，且([a,b],∨,∧,⊙,→a,b,a,b)是BL-代數(shù)；

(4) (A,∨,∧,⊙,0)有足夠多的冪等元，即對任意x∈A，存在a∈L(A)，使得x≤a.

注：(1) 對于半群(A,⊙)中的元素a，如果滿足a⊙a=a，則稱其為冪等元.I(A)表示A中所有冪等元的集合.

(2) 用→b來表示→0,b.

命題2[5]如果(A,∨,∧,⊙,→,0,1)是BL-代數(shù)，則(A,∨,∧,⊙,0)是EBL-代數(shù).

命題3[5]設(shè)(A,∨,∧,⊙,0)是EBL-代數(shù)，則對任意a,b∈I(A)且a≤b，以下性質(zhì)成立：

(1) ?x,y∈[0,a]，x→by=(x→ay)∨(a→b0)；

(2) ?x,y∈[0,a]，x→ay≤x→by.

命題4設(shè)A是EBL-代數(shù)，則對任意x,y,z∈A,a,b∈I(A)且x,y,z≤a，x,y,z≤b，有y⊙(x→az)=y⊙(x→bz).

證明與文獻[5]命題3.12(i)的證明類似，略.

定義3[5]設(shè)F為EBL-代數(shù)A的非空子集，F(xiàn)稱為濾子，如果

(1) ?x,y∈A，若x≤y，且x∈F，則y∈F；

(2) 若x,y∈F，則x⊙y∈F.

命題5設(shè)F為EBL-代數(shù)A的非空子集，則F是A的濾子當且僅當

(1) ?x∈A，?a∈I(A)且x≤a，有a∈F；

(2) ?x,y∈A，?a∈I(A)且x,y≤a，若x∈F,x→ay∈F，則y∈F.

證明必要性.由于F是非空子集，則存在x∈F.?a∈I(A)且x≤a，由F是濾子，知a∈F.設(shè)x∈F，x→ay∈F，則x⊙(x→ay)∈F.又x⊙(x→ay)≤y，因此y∈F.

充分性.設(shè)y,z∈A.根據(jù)定義2以及(1)，知存在c∈I(A)∩F，使得y∨z∨x≤c，從而y,z,x≤c.在BL-代數(shù)([0,c],∨,∧,⊙,→c,0,c)中，設(shè)y∈F，y≤z，由命題1(1)，得y→cz=c∈F.再由(2)得，z∈F.再設(shè)y,z∈F，根據(jù)命題1(2)(5)，y→c(z→c(y⊙z))= (y⊙z)→c(y⊙z)=c∈F.由(2)得，z→c(y⊙z)∈F，再由(2)得，y⊙z∈F.即證F是A的濾子.

推論1若F是EBL-代數(shù)A的濾子，則對任意x∈A，存在a∈I(A)∩F，使得x≤a.

2 EBL-代數(shù)上的Boolean濾子

首先給出素濾子的定義以及相關(guān)結(jié)論.

定義4設(shè)F是EBL-代數(shù)A的濾子，若?x,y∈A，?a∈I(A)且x,y≤a，有x→ay∈F或y→ax∈F，則稱F為A的素濾子.

定理1設(shè)F為EBL-代數(shù)A的濾子，F(xiàn)是素的當且僅當?x,y∈A，若x∨y∈F，則x∈F或y∈F.

證明必要性.設(shè)x∨y∈F，其中x,y∈A.因為F是素的，所以存在a∈I(A)且x,y≤a，使得x→ay∈F或y→ax∈F.若y→ax∈F，由命題1(3)(5)知，

(x∨y)→ax=(x→ax)∧(y→ax)=
a∧(y→ax)=y→ax∈F.

又因為F是濾子，x∨y∈F，所以x∈F.同理，若x→ay∈F，根據(jù)(x∨y)→ay∈F，可得y∈F.

充分性.設(shè)x,y∈A.因為F是濾子，根據(jù)推論1，?a∈I(A)∩F使得x∨y≤a，從而x,y≤a.在BL-代數(shù)([0,a],∨,∧,⊙,→a,0,a)中，因為(x→ay)∨(y→ax)=a∈F，由題設(shè)得x→ay∈F或y→ax∈F.即證.

定義5[5]設(shè)F為EBL-代數(shù)A的濾子.若?x∈AF，有〈F∪{x}〉=A，則稱F是極大濾子.

引理1[5]設(shè)F為EBL-代數(shù)A的真濾子，則

(1) ?x∈A，〈F∪{x}〉={z∈A|z≥y⊙xn,?n∈N,y∈F}；

(2)F是極大的當且僅當?x?F,?n∈N,b∈I(A)且x≤b，使得xn→b0∈F.

引理2設(shè)F是EBL-代數(shù)A的真濾子且a,b∈A，則〈F∪{a}〉∩〈F∪〉=〈F∪{a∨b}〉.

證明設(shè)c∈〈F∪{a}〉∩〈F∪〉，則存在n1,n2∈N，f1,f2∈F，使得f1⊙an1≤c且f2⊙bn2≤c.令p=f1⊙f2，則p∈F.根據(jù)命題1(6)，

(p⊙a)n1=(pn1⊙an1)≤f1⊙an1≤c，
(p⊙b)n2=(pn2⊙bn2)≤f2⊙bn2≤c.

再由命題1(7)(11)得

c≥(p⊙a)n1∨(p⊙b)n2≥
((p⊙a)∨(p⊙b))n1n2=
(p⊙(a∨b))n1n2=pn1n2⊙(a∨b)n1n2.

顯然pn1n2∈F，c∈〈F∪{a∨b}〉，所以〈F∪{a}〉∩〈F∪〉?〈F∪{a∨b}〉.又因為反包含是必然的，因此〈F∪{a}〉∩〈F∩〉=〈F∪{a∨b}〉.

推論2設(shè)F為EBL-代數(shù)A的真濾子，a,b∈A.如果a∨b∈F，則

〈F∪{a}〉∩〈F∪〉=F.

定義6設(shè)F是EBL-代數(shù)A的濾子.若?x∈A，?a∈I(A)∩F且x≤a，有x∨x-a∈F，則稱F為Boolean濾子.其中，x-a=x→a0.

定理2設(shè)F為EBL-代數(shù)A的濾子，則下列條件等價：

(1)F是極大的且Boolean的濾子；

(2)F是素的且Boolean的濾子；

(3)F是真濾子且?x∈A,?a∈I(A)∩F使得x≤a，有x∈F或x-a∈F.

證明(1)?(2).設(shè)F是EBL-代數(shù)A的極大濾子，且x∨y∈F，其中x,y∈A.若x?F且y?F，由推論2知，〈F∪{x}〉∩〈F∪{y}〉=F.又F是極大濾子，則〈F∪{x}〉=〈F∪{y}〉=A.于是有A=F，矛盾.因此有x∈F或y∈F，即證F是素濾子.

(2)?(3).因為F是Boolean濾子，所以?x∈A，?a∈I(A)∩F且x≤a，有x∨x-a∈F.又因為F是素的，因此x∈F或x-a∈F，證畢.

(3)?(1).根據(jù)條件(3)，可得?x∈A,?a∈I(A)∩F且x≤a，有x,x-a≤x∨x-a∈F，所以F是Boolean濾子.又因為F是濾子，根據(jù)推論1，?x∈A，?c∈I(A)∩F且x≤c.由(3)知，x∈F或x→c0∈F.即?x?F,?n=1∈N,c∈I(A)且x≤c，有xn→c0∈F成立.由引理1即知，F(xiàn)是極大濾子.證畢.

定義7[5]設(shè)(A,∨,∧,⊙,0)為EBL-代數(shù)，A上的等價關(guān)系稱為同余，如果

(1)θ對∨，∧和⊙是封閉的；

(2) ?a∈I(A)，θ∩([0,a]×[0,a])是BL-代數(shù)([0,a],∨,∧,⊙,→a,0,a)上的同余.

命題6設(shè)F為EBL-代數(shù)A的濾子，定義A上的關(guān)系θF如下：(x,y)∈θF當且僅當?a∈I(A)且x,y≤a，有x→ay,y→ax∈F，則θF是A上的同余.

證明與文獻[16]定理6.5的證明類似，略.

設(shè)F是EBL-代數(shù)A的濾子，定義A/θF={x/θF|x∈A}，其中x/θF={y∈A|(x,y)∈θF}.在A/θF上定義∨,∧,⊙如下：

x/θF∨y/θF=(x∨y)/θF,
x/θF∧y/θF=(x∧y)/θF,
x/θF⊙y/θF=(x⊙y)/θF.

由文獻[5]可知(A/θF,∨,∧,⊙,0/θF)是EBL-代數(shù)，下用A/F表示A/θF.

定理3設(shè)F為EBL-代數(shù)A的濾子，則下列條件等價：

(1)F是EBL-代數(shù)A的Boolean濾子；

(2)A/F是EBL-代數(shù)，?x∈A，?a∈I(A)∩F且x≤a，有(x∨x-a)/θF=a/θF.

證明(1)?(2).設(shè)F是Boolean濾子，則?x∈A，?a∈I(A)∩F且x≤a，有x∨x-a∈F.在→a下，由命題1(1)(5)得

(x∨x-a)→aa=a∈F，
a→a(x∨x-a)=x∨x-a∈F.

所以(x∨x-a,a)∈θF，因此(x∨x-a)/θF=a/θF.

(2)?(1).由(2)知，?x∈A,?a∈I(A)∩F且x≤a，有(x∨x-a)/θF=a/θF.即(x∨x-a,a)∈θF.則?b∈I(A)且x∨x-a,a≤b，有a→b(x∨x-a)∈F.又a∈F，F(xiàn)是濾子，所以x∨x-a∈F.因此F是Boolean濾子.

3 EBL-代數(shù)上的蘊涵濾子

定義8設(shè)F為EBL-代數(shù)A的非空子集，F(xiàn)稱為蘊涵濾子，如果

(1) ?x∈A，?a∈I(A)且x≤a，有a∈F；

(2) ?x,y,z∈A，?a∈I(A)且x,y,z≤a，若x→a(y→az)∈F，x→ay∈F，則x→az∈F.

命題7EBL-代數(shù)A的蘊涵濾子是濾子，反之不成立.

證明設(shè)x,x→ay∈F，其中x,y∈A，a∈I(A)且x,y≤a.在BL-代數(shù)([0,a],∨,∧, ⊙,→a,0,a)中，根據(jù)命題1(5)得a→a(x→ay)=x→ay∈F，a→ax=x∈F.再根據(jù)蘊涵濾子定義，有y=a→ay∈F，因此F為濾子.

例1設(shè)A={0,m,n,1}，定義⊙,→1如下：

☉0mn100000m00mmn0mnn10mn1

,

→10mn101111mm111n0m1110mn1

則(A,∨,∧,⊙,→1,0,1)是BL-代數(shù)[7]，從而(A,∨,∧,⊙,0)是EBL-代數(shù).可以驗證F={n,1}是濾子，但不是蘊涵濾子.因為m→1(m→10)=1∈F，m→1m=1∈F，而m→10=m?F.

定理4設(shè)F為EBL-代數(shù)A的非空子集，則以下條件等價：

(1)F是蘊涵濾子；

(2)F是濾子，?x,y∈A,?a∈I(A)且x,y≤a，若y→a(y→ax)∈F，則y→ax∈F；

(3)F是濾子，?x,y,z∈A,?a∈I(A)且x,y,z≤a，若z→a(y→ax)∈F，則(z→ay)→a(z→ax)∈F；

(4)F是濾子，?x,y,z∈A,?a∈I(A)且x,y,z≤a，若z→a(y→a(y→ax))∈F，z∈F，則y→ax∈F.

證明(1)?(2).已知F為蘊涵濾子，則F是濾子.設(shè)y→a(y→ax)∈F，其中x,y∈A，a∈I(A)且x,y≤a.由y→a(y→ax)≤a，可得a∈F.根據(jù)命題1(5)，y→ay=a∈F.由蘊涵濾子定義即得y→ax∈F.

(2)?(3).設(shè)z→a(y→ax)∈F，其中x,y,z∈A,a∈I(A)且x,y,z≤a.在BL-代數(shù)([0,a],∨,∧,⊙,→a,0,a)中，根據(jù)命題1(2)(4)(9)得

z→a(z→a((z→ay)→ax))=
z→a((z→ay)→a(z→ax))≥z→a(y→ax).

又F是濾子，z→a(y→ax)∈F，則z→a(z→a((z→ay)→ax))∈F.再由(2)得，z→a((z→ay)→ax)∈F.故(z→ay)→a(z→ax)=z→a((z→ay)→ax)∈F.

(3)?(4).設(shè)z,z→a(y→a(y→ax))∈F，其中x,y,z∈A,a∈I(A)且x,y,z≤a.因為F是濾子，所以y→a(y→ax)∈F.由(3)得，(y→ay)→a(y→ax)∈F，即a→a(y→ax)=y→ax∈F.

(4)?(1).設(shè)z→a(y→ax)∈F，z→ay∈F，其中x,y,z∈A,a∈I(A)且x,y,z≤a.根據(jù)命題1(2)(9)，

z→a(y→ax)=y→a(z→ax)≤
(z→ay)→a(z→a(z→ax)).

又F是濾子，所以(z→ay)→a(z→a(z→ax))∈F.再由z→ay∈F及(4)可得z→ax∈F，即證F是蘊涵濾子.

引理3設(shè)F是EBL-代數(shù)A的濾子，則以下條件等價：

(1)F是蘊涵濾子；

(2) ?x∈A,?a∈I(A)∩F且x≤a，有x→ax2∈F.

證明(1)?(2).設(shè)F是蘊涵濾子.?x∈A，?a∈I(A)∩F且x≤a，由命題1(2)(5)，知x→a(x→ax2)=x2→ax2=a∈F，x→ax=a∈F.由定義8，即得x→ax2∈F.

(2)?(1).設(shè)x→a(y→az)∈F，x→ay∈F，其中x,y,z∈A,a∈I(A)且x,y,z≤a.則a≥x→ay∈F.因此x→ax2∈F.又因為

(x→ay)⊙(x→a(y→az))⊙x2=
((x→ay)⊙x)⊙((x→a(y→az))⊙x)≤
y⊙(y→az)≤z，

所以(x→ay)⊙(x→a(y→az))≤x2→az.因此x2→az∈F，(x→ax2)⊙(x2→az)∈F.再由命題1(9)及定義1(3)得，

x→az≥(x→ax2)⊙(x2→az)∈F，

故F是A的蘊涵濾子.

定理5若F是EBL-代數(shù)A的Boolean濾子，則F是蘊涵濾子.

證明設(shè)F是A的Boolean濾子，則?x∈A,?a∈I(A)∩F且x≤a，有x∨(x→a0)∈F.根據(jù)命題1(2)(3)(5)，有

(x∨(x→a0))→a(x→ax2)=
(x→a(x→ax2))∧
((x→a0)→a(x→ax2))=
(x2→ax2)∧((x→a0)→a(x→ax2))=
a∧((x→a0)→a(x→ax2)).

因為0≤x2，由命題1(1)(4)，得x→a0≤x→ax2，(x→a0)→a(x→ax2)=a.因此(x∨(x→a0))→a(x→ax2)=a∧a=a∈F.又F是濾子，所以x→ax2∈F.再由引理3可得F是蘊涵濾子.

定理6設(shè)F為EBL-代數(shù)A的濾子，則下列條件等價：

(1)F是EBL-代數(shù)A的蘊涵濾子；

(2)A/F是EBL-代數(shù)，且對任意x∈A，x/θF=x2/θF.

證明(1)?(2).因為F是濾子，則?x∈A，?b∈I(A)∩F且x≤b.又因為F是蘊涵濾子，由引理3知，x→bx2∈F.再由命題1(1)(6)，可得x2→bx=b∈F.因此(x,x2)∈θF，故x/θF=x2/θF.

(2)?(1).設(shè)x→a(y→az)∈F，x→ay∈F，其中x,y,z∈A,a∈I(A)且x,y,z≤a.由引理3證明知，

(x→ay)⊙(x→a(y→az))≤x2→az∈F.

又由(2)知，x/θF=x2/θF，即(x,x2)∈θF.則?b∈I(A)且x,x2≤b，有x→bx2∈F.取c∈I(A)且a,b≤c，根據(jù)命題3(1)，有x→bx2≤x→cx2∈F，且x,x2,x2→az≤c.則由命題4可得，(x→ax2)⊙(x2→az)=(x→cx2)⊙(x2→az)∈F.再根據(jù)命題1(9)及定義1(3)，有(x→ax2)⊙(x2→az)≤x→az∈F.因此，F(xiàn)是蘊涵濾子.

4 EBL-代數(shù)上的正蘊涵濾子

定義9設(shè)F為EBL-代數(shù)A的非空子集，F(xiàn)稱為正蘊涵濾子，如果

(1) ?x∈A，?a∈I(A)且x≤a，有a∈F；

(2) ?x,y,z∈A，?a∈I(A)且x,y,z≤a，若x→a((y→az)→ay)∈F，x∈F，則y∈F.

命題8EBL-代數(shù)A的正蘊涵濾子均為濾子.

證明設(shè)F為A的正蘊涵濾子，且x,x→ay∈F，其中x,y∈A,a∈I(A)且x,y≤a.根據(jù)命題1(1)(5)，x→a((y→aa)→ay)=x→a(a→ay)=x→ay，所以x→a((y→aa)→ay)∈F.又因為F為A的正蘊涵濾子，x∈F，因此y∈F.

定理7EBL-代數(shù)A的正蘊涵濾子是蘊涵濾子，反之不成立.

證明設(shè)F為A的正蘊涵濾子，若x→a(y→az)∈F,x→ay∈F，其中x,y,z∈A,a∈I(A)且x,y,z≤a.需證x→az∈F.先證(x→ay)→a(((x→az)→az)→a(x→az)) ∈F.根據(jù)命題1(9)，((x→az)→az)→a(x→az)≥x→a(x→az).再由命題1(2)(4)(9)得，

(x→ay)→a(((x→az)→az)→a(x→az))≥
(x→ay)→a(x→a(x→az))=
x→a((x→ay)→a(x→az))≥
x→a(y→az).

根據(jù)假設(shè)x→a(y→az)∈F，且F為濾子，因此(x→ay)→a(((x→az)→az)→a(x→az))∈F.又因為F是正蘊涵濾子，x→ay∈F，故x→az∈F.證畢.

例2設(shè)A=[0,1]，定義⊙,→1如下：

定理8設(shè)F是EBL-代數(shù)A的濾子，則F是正蘊涵濾子當且僅當?x,y∈A，?a∈I(A)且x,y≤a，若(x→ay)→ax∈F，則x∈F.

證明必要性.設(shè)(x→ay)→ax∈F，F(xiàn)是正蘊涵濾子，其中x,y∈A，a∈I(A)且x,y≤a.則F是濾子，由(x→ay)→ax≤a，得a∈F.根據(jù)命題1(5)，有a→a((x→ay)→ax)=(x→ay)→ax∈F，又F是正蘊涵濾子，所以x∈F.

充分性.設(shè)x∈F,x→a((y→az)→ay)∈F，其中x,y,z∈A,a∈I(A)且x,y,z≤a.由F是濾子，知(y→az)→ay∈F.根據(jù)題設(shè)可得，y∈F.即證F是正蘊涵濾子.

定理9設(shè)F是EBL-代數(shù)A的蘊涵濾子，則F是正蘊涵濾子當且僅當?x,y∈A，?a∈I(A)且x,y≤a，若(x→ay)→ay∈F，則(y→ax)→ax∈F.

證明必要性.設(shè)F為正蘊涵濾子且(x→ay)→ay∈F，其中x,y∈A，a∈I(A)且x,y≤a.由命題1(8)知，x≤(y→ax)→ax，再根據(jù)命題1(2)(4)(9)，得((y→ax)→ax)→ay≤x→ay，

(x→ay)→ay≤
(y→ax)→a((x→ay)→ax)=
(x→ay)→a((y→ax)→ax)≤
(((y→ax)→ax)→ay)
→a((y→ax)→ax)∈F.

由定理8，即得(y→ax)→ax∈F.

充分性.設(shè)z→a((x→ay)→ax)∈F，z∈F，其中，x,y,z∈A,a∈I(A)且x,y,z≤a.下證x∈F.由題設(shè)F是蘊涵濾子，則F是濾子，(x→ay)→ax∈F.由命題1(8)，得x≤(x→ay)→ay，所以(x→ay)→a((x→ay)→ay)≥(x→ay)→ax∈F.又因為F是蘊涵濾子，由定理4知，(x→ay)→ay∈F.所以(y→ax)→ax∈F.根據(jù)命題1(4)(8)，y≤x→ay，(x→ay)→ax≤y→ax.又y→ax≤z→a(y→ax)，因此z→a(y→ax)≥(x→ay)→ax∈F.再由z∈F，F(xiàn)是濾子，可得y→ax∈F.從而由(y→ax)→ax∈F，知x∈F.即證.

引理4設(shè)F是EBL-代數(shù)A的濾子，則以下條件等價：

(1)F是正蘊涵濾子；

(2) ?x∈A,?a∈I(A)∩F且x≤a，有(x-a→ax)→ax∈F.

證明(1)?(2).設(shè)F是正蘊涵濾子.令α=(x-a→ax)→ax，其中x∈A,a∈I(A)∩F且x≤a.根據(jù)命題1(2)(5)(9)，有

(α→a0)→aα=(((x-a→ax)
→ax)→a0)→a((x-a→ax)→ax)=
(x-a→ax)→a((((x-a→ax)→ax)→a0)→ax)≥
(((x-a→ax)→ax)→a0)→ax-a=
(((x-a→ax)→ax)→a0)→a(x→a0)≥
x→a((x-a→ax)→ax)=
(x-a→ax)→a(x→ax)=
(x-a→ax)→aa=a∈F.

由定理8，即得α=(x-a→ax)→ax∈F.

(2)?(1).設(shè)(x→ay)→ax∈F，其中x,y∈A,a∈I(A)且x,y≤a.下證x∈F.因為0≤y，根據(jù)命題1(4)，x→a0≤x→ay,(x→ay)→ax≤(x→a0)→ax=x-a→ax，故x-a→ax∈F.又(x→ay)→ax≤a，F(xiàn)是濾子，所以a∈F.由(2)知，(x-a→ax)→ax∈F，從而x∈F.即證F是正蘊涵濾子.

定理10若F是EBL-代數(shù)A的濾子，則F是正蘊涵濾子當且僅當F是Boolean濾子.

證明必要性.因為F是正蘊涵濾子，所以F是蘊涵濾子.由引理3、引理4知，?x∈A,?a∈I(A)∩F且x≤a，有x→ax2∈F,(x-a→ax)→ax∈F.又由命題1(2)(9)，得

(x→ax-a)→ax-a=
(x→a(x→a0))→a(x→a0)=
(x2→a0)→a(x→a0)≥x→ax2∈F.

所以根據(jù)命題1(10)，x∨x-a=((x→ax-a)→ax-a)∧((x-a→ax)→ax)∈F.即證F是Boolean濾子.

充分性.設(shè)F是Boolean濾子.則?x∈A,?a∈I(A)∩F且x≤a，由命題1(10)，知x∨x-a=((x→ax-a)→ax-a)∧((x-a→ax)→ax)∈F.因此(x-a→ax)→ax≥x∨x-a∈F.由引理4，即得F是正蘊涵濾子.

定理11設(shè)F為EBL-代數(shù)A的濾子，則下列條件等價：

(1)F是EBL-代數(shù)A的正蘊涵濾子；

(2)A/F是EBL-代數(shù)，且?x,y∈A,?a∈I(A)∩F使得x,y≤a，有x/θF=((x→ay)→ax)/θF.

證明(1)?(2).?x,y∈A,?a∈I(A)∩F且x,y≤a，因為y≥0，由命題1(4)，得(x-a→ax)→ax≤((x→ay)→ax)→ax.再由引理4，知(x-a→ax)→ax∈F，所以((x→ay)→ax)→ax∈F.在→a下，由命題1(8)，得x≤(x→ay)→ax.所以x→a((x→ay)→ax)=a∈F.從而(x,(x→ay)→ax)∈θF，故x/θF=((x→ay)→ax)/θF.

(2)?(1).設(shè)(x→ay)→ax∈F，其中x,y∈A,a∈I(A)且x,y≤a.下證x∈F.因為(x→ay)→ax≤a，F(xiàn)是濾子，所以a∈F.則由(2)可得，x/θF=((x→ay)→ax)/θF.因此，存在b∈I(A)且x,(x→ay)→ax≤b，有((x→ay)→ax)→bx∈F.又(x→ay)→ax∈F，故x∈F.即證F是正蘊涵濾子.

5 結(jié)語

本文在EBL-代數(shù)上引入了素濾子、Boolean濾子、蘊涵濾子、正蘊涵濾子的概念，研究了它們的性質(zhì)，刻畫了一系列等價條件，獲得了這些濾子的相關(guān)結(jié)論. 同時，證明了正蘊涵濾子是蘊涵濾子，給出了蘊涵濾子成為正蘊涵濾子的條件，說明了Boolean濾子和正蘊涵濾子的等價性. 此外，通過濾子構(gòu)建了EBL-代數(shù)上的同余關(guān)系，并從商代數(shù)的角度證明了上述濾子相應(yīng)的性質(zhì). 相關(guān)結(jié)果豐富了EBL-代數(shù)上的濾子理論.