剩余格的猶豫模糊濾子理論*

彭家寅

內(nèi)江師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，四川 內(nèi)江 641199

剩余格的猶豫模糊濾子理論*

彭家寅+

內(nèi)江師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，四川 內(nèi)江 641199

將猶豫模糊集概念應(yīng)用于剩余格的濾子理論中，提出了剩余格的猶豫模糊濾子、猶豫模糊蘊涵濾子、猶豫模糊正定蘊涵濾子、猶豫模糊MV-濾子及猶豫模糊正規(guī)濾子的概念，研究了它們的性質(zhì)，討論了它們之間的關(guān)系，獲得了它們的若干等價刻畫。給出了猶豫模糊集成為猶豫模糊濾子，及猶豫模糊濾子成為猶豫模糊（正定蘊涵、MV、正規(guī)）蘊涵濾子的條件。探究了各種猶豫模糊濾子與其對應(yīng)的水平濾子之間的關(guān)系，建立了剩余格的猶豫模糊Boolean濾子和猶豫模糊正規(guī)濾子的擴(kuò)張定理。

剩余格；猶豫模糊集；猶豫模糊（蘊涵、正定蘊涵、MV、正規(guī)）濾子；猶豫模糊集的水平集

1 引言

1939年，Ward和Dilworth引入剩余格的概念[1]。此后，Hájek以Lukasiewicz公理系統(tǒng)為背景將剩余格引入模糊邏輯研究中[2]，把剩余格作為一個非?；镜恼Z義代數(shù)，使許多邏輯代數(shù)都含有剩余格的代數(shù)結(jié)構(gòu)，如格蘊涵代數(shù)[3]、BL-代數(shù)[1,4]、MV-代數(shù)[5]、MTL-代數(shù)[6]、R0代數(shù)[7]等。濾子理論在邏輯代數(shù)研究中扮演著重要的角色。從邏輯觀點看，推理系統(tǒng)中可證公式集合就可以通過濾子這種子結(jié)構(gòu)來描述，基于不確定信息的相應(yīng)代數(shù)子結(jié)構(gòu)就對應(yīng)著模糊濾子。從代數(shù)看，濾子之集的性質(zhì)直接影響相應(yīng)邏輯代數(shù)的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，它是研究代數(shù)結(jié)構(gòu)的重要工具之一。因此，建立剩余格的濾子理論對于研究上述邏輯代數(shù)常見性質(zhì)是非常有意義的。目前，BL-代數(shù)和剩余格的濾子理論得到了深入的研究[8-12]。

自Zadeh于1965年提出模糊集[13]的概念以來，模糊集已成為處理模糊信息的有效工具，并被廣泛地用于各個學(xué)科領(lǐng)域。隨后，模糊集的一些拓展理論被提出，如區(qū)間值模糊集[14]、直覺模糊集[15]、n-型模糊集[16]等。最近，Torra[17]引入了猶豫模糊集的概念，解決了建立隸屬度的困難：不是因為誤差或一些可能值的可能性分布，而是由于人們在一些不同的值之間猶豫導(dǎo)致的。猶豫模糊集作為模糊集的另一種推廣，允許元素的隸屬度為0與1之間一些可能值的一個集合，因此就模糊集或其經(jīng)典推廣而言，它提供了一個關(guān)于人們描述對對象的偏好程度猶豫的更準(zhǔn)確表示。目前，猶豫模糊集除被應(yīng)用于一些實際問題的決策領(lǐng)域外[18-22]，也被應(yīng)用于某些代數(shù)結(jié)構(gòu)的研究中[23-25]。

本文為進(jìn)一步研究剩余格代數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，將猶豫模糊集應(yīng)用于剩余格中，初步建立起剩余格的猶豫濾子理論。引入剩余格的幾種猶豫模糊濾子的概念，討論它們的基本性質(zhì)及其間的關(guān)系，給出它們的一些等價刻畫，研究幾種猶豫模糊濾子的擴(kuò)張性質(zhì)。討論由猶豫模糊集構(gòu)成猶豫模糊濾子，及由猶豫模糊濾子構(gòu)成猶豫模糊（蘊涵、正蘊涵、MV-濾子）正規(guī)濾子的條件。

2 預(yù)備知識

定義1[1]剩余格是一個(2,2,2,2,0,0)型代數(shù)結(jié)構(gòu)L=(L,∨,∧,?,→,0,1)且滿足如下公理。

（C1）(L,∨,∧,0,1)是一個有界格。

（C2）(L,?,1)是一個以1為單位元的交換半群。

（C3）(?,→)為伴隨對，即?x,y,z,w∈L：

（R1）若x≤y且z≤w，則x?z≤y?z。

（R2）若x≤y，那 么y→z≤x→z并 且z→x≤z→y。

（R3）x?y≤z當(dāng)且僅當(dāng)x≤y→z。

文中除特殊聲明，L總表示一個剩余格。

命題1[1]在每個剩余格L中，下列結(jié)論成立。

對任意x,y,z∈L，有：

（P1）(x?y)→z=x→(y→z)。

（P2）x→(y→z)=y→(x→z)。

（P3）0′=1，1′=0，x′=x?，x≤x″，這里x′=x→0。

（P4）x∨y→z=(x→z)∧(y→z)。

（P5）x?x′=0。

定義2[9]（1）剩余格L的非空子集F叫作L的一個濾子，如果它滿足下列條件：

（F1）(?x,y∈L)(x,y∈F?x?y∈F)；

（F2）(?x,y∈L)(x∈F,x≤y?y∈F)。

（2）剩余格L的非空子集F叫作L的一個蘊涵濾子，如果它滿足下列條件：

（F3）1∈F；

（F4）(?x,y,z∈L)(z,z→((x→y)→x)∈F?x∈F)。

（3）剩余格L的非空子集F叫作L的一個正定蘊涵濾子，如果它滿足條件（F3）和條件（F5）：

（F5）(?x,y,z∈L)(z→(x→y),z→x∈F?z→y∈F)。

（4）剩余格L的濾子F叫作L的一個Boolean濾子，如果它滿足條件：

（F6）(?x∈L)(x∨x′=1)。

（5）剩余格L的濾子F叫作L的一個MV-濾子，如果它滿足條件：

（F7）(?x,y∈L)(y→x∈F?((x→y)→y)→x∈F)。

（6）剩余格L的濾子F叫作L的一個R-濾子，如果它滿足條件：

（F8）(?x∈L)(x″→x∈F)。

定義3[17]設(shè)X為一個參考集，從X到[0,1]的冪集P([0,1])上的一個映射?∶X→P([0,1])叫作X上的一個猶豫模糊集。

猶豫模糊集可以表示為：

?={(x,?(x))|?(x)∈P([0,1]),x∈X}

其中，?(x)為[0,1]的一個子集，它表示X的元素x對于?的隸屬度的可能值。

設(shè)?和ψ為X上的兩個猶豫模糊集。規(guī)定：

例1 設(shè)L={0,a,b,1}，其中0＜a＜b＜1，且滿足運算x∧y=min{x,y}，x∨y=max{x,y}，而運算?、→分別如表1和表2。

Table 1 Operation table for operation?表1 運算?表

Table 2 Operation table for operation→表2 運算→表

那么L=(L,∨,∧,?,→,0,1)為一個剩余格。對任意x∈L，定義映射?∶X→P([0,1])如下：

則?為L上的猶豫模糊集?。

文中總?cè)∈Ｓ喔馤作為參考集。

3 猶豫模糊濾子

定義4設(shè)?是剩余格L上的一個猶豫模糊集。稱?為L的猶豫模糊濾子，如果對任意x,y∈L：

例2在例1中，容易驗證?為L的猶豫模糊濾子。再定義L上的猶豫模糊集ψ如下：

則ψ不是L的猶豫模糊濾子，因ψ(0)=[0.5,0.6]，ψ(a)?ψ(a→0)=ψ(a)=(0.2,0.7]?ψ(0)并且ψ(a)?ψ(a→0)≠ψ(0)。

定理1設(shè)?是剩余格L上的一個猶豫模糊集，則?為L的猶豫模糊濾子當(dāng)且僅當(dāng)?滿足對任意x,y∈L：

證明 設(shè)?滿足（H3）和（H4）。對任意x∈L，有x≤1，由（H4）知?(1)??(x)。又x≤(x→y)→y，即x?(x→y)≤y，因 此?(y)??(x?(x→y))??(x)??(y)。由定義4知，?為L的猶豫模糊濾子。

反之，假設(shè)?為L的猶豫模糊濾子。對任意x,y∈L，x→(y→(x?y))=1，即x≤y→(x?y)，因此

這表明?滿足（H3）。令x,y∈L使得x≤y，則x→y=1。因此

即（H4）成立。 □

定理2設(shè)?是剩余格L上的一個猶豫模糊集，則?為L的猶豫模糊濾子當(dāng)且僅當(dāng)?滿足（H1）且對任意x,y,z∈L：

證明 假設(shè)?滿足（H5），取x=1，則y≤z，因此?(z)??(y)。又x→(y→(x?y))=1，由（H5）知?(x?y)??(x)??(y)，對任意x,y∈L成立，故?為L的猶豫模糊濾子。

反之，設(shè)?為L的猶豫模糊濾子且x→(y→z)=1對任意x,y∈L成立，則?(z)??(y→z)??(y)??(y)??(x)??(x→(y→z))??(x)??(y)。 □

推論1設(shè)?是剩余格L上的一個猶豫模糊集，則?為L的猶豫模糊濾子當(dāng)且僅當(dāng)?滿足（H1）且(?x,y,z∈L)(x?y≤z??(z)??(x)??(y))。

定理3設(shè)?是剩余格L上的一個猶豫模糊集，則?為L的猶豫模糊濾子當(dāng)且僅當(dāng)?滿足（H1）和對任意x,y,z∈L：

證明 假設(shè)?為L的猶豫模糊濾子。因為x→y≤(y→z)→(x→z)，由（H2）可得?(x→y)??((y→z)→(x→z))，所 以?(x→z)??(y→z)??((y→z)→(x→z))，這樣有?(x→z)??(y→z)??(x→y)對任意x,y,z∈L成立。

反 之 ，設(shè)（H6）成 立 ，則?(1→z)??(1→y)??(y→z)，即?(z)??(y)??(y→z)。由定義4，?為L的猶豫模糊濾子。 □

定理4設(shè)?是剩余格L上的一個猶豫模糊集，則?為L的猶豫模糊濾子當(dāng)且僅當(dāng)?滿足對任意x,y,z∈L：

證明 假設(shè)?為L的猶豫模糊濾子。對任意x，y∈L使x≤y→x，由（H4）知 ，?(x)??(y→x)。 因?((x→(y→z))→z)??(y→((x→(y→z))→z))∩?(y)??(x)∩?(y)。

反之，假設(shè)?滿足（H7）和（H8）。依（H7）有?(x)??(x→x)=?(1)。 由（H8）知 ，?(y)=?(1→y)=?(((x→y)→(x→y))→y)??(x→y)??(x)，表明（H2）成立，故?為L的猶豫模糊濾子。 □

定理5設(shè)?是剩余格L的一個猶豫模糊濾子，則下列結(jié)論對任意x,y,z∈L成立：

（1）?(x)??(y)=?(x∧y)

（2）?(x)??(y)??(x∨y)

（3）?(x?z→y?z)??(x→y)

（4）?(x→y)??(y→z)??(x→z)

（5）?(x→(z′→y))??(y→z)??(x→(z′→z))

證明（1）對任意x,y∈L，x≤y→x，x?y≤x，所以x?y≤x∧y。 由（H4）知 ，?(x?y)??(x∧y)。 因x?y≤x∧y≤x,y，由（HF1）和（HF2）知 ，?(x)??(y)??(x?y)??(x∧y)??(x)??(y)，所以?(x)??(y)=?(x∧y)。

（2）～（5）的證明是容易的。 □

設(shè)F是L的子集，且α,β∈P([0,1])滿足α?β。定義L上的一個猶豫模糊集?F(α,β)如下：

特別地，?F({0},{1})就是F的特征函數(shù)χF。

定理6 設(shè)F是L的非空子集，則?F(α,β)為L的猶豫模糊濾子當(dāng)且僅當(dāng)F是L的濾子。

證明 假設(shè)非空集合F是L的濾子，且x,y∈L。如果x,y∈F，則x?y∈F，故

若x?F或y?F，則?F(α,β)(x)或?F(α,β)(y)為β，于是有?F(α,β)(x)??F(α,β)(y)=β??F(α,β)(x?y) ， 故（HF1）成立。進(jìn)一步，令x,y∈L且x≤y。若y∈F，則?F(α,β)(y)=α??F(α,β)(x)；若y?F，則x?F，故?F(α,β)(y)=β=?F(α,β)(x)，即（HF2）成立。綜上所述，?F(α,β)為L的猶豫模糊濾子。

反之，設(shè)?F(α,β)為L的猶豫模糊濾子。對任意x,y∈L，如果x,y∈F，則?F(α,β)(y)=α=?F(α,β)(x)，于是

即x?y∈F。如果x∈F，y∈L且x≤y，則

這表明y∈F?？傊?，F(xiàn)是L的濾子。 □

設(shè)?為L上的猶豫模糊集，記

定理7如果?為L的猶豫模糊濾子，則L?為L的濾子。

證明 令x,y∈L?，則?(x)=?(1)=?(y)。因為?為L的猶豫模糊濾子，由（HF2）及（HF3）知，?(1)??(x?y)??(x)??(y)=?(1)，即?(x?y)=?(1)，也就是，x?y∈L?。令x∈L?，y∈L且x≤y，則?(x)=?(1)。由（HF2）及（HF3）知 ，?(1)??(y)??(x)=?(1)，即?(y)=?(1)，這意味著y∈L?，因此L?為L的濾子。 □

設(shè)?為L上的猶豫模糊集且α∈P([0,1])，記H(?,α)∶={x∈L|?(x)?α}，并稱之為猶豫模糊集?的α-水平子集。

定理8設(shè)?為剩余格L上的猶豫模糊集，則?為L的猶豫模糊濾子當(dāng)且僅當(dāng)對任意α∈P([0,1])，要么H(?,α)=?，要么H(?,α)為L的濾子。

證明 假設(shè)?為L的猶豫模糊濾子，并且α∈P([0,1])使得H(?,α)≠?。令x,y∈H(?,α)，則?(x)?α且?(y)?α，從而

因此x?y∈H(?,α)。現(xiàn)考慮x∈H(?,α)，y∈L且x≤y，則?(y)??(x)?α，即y∈H(?,α)。綜上所述，H(?,α)為L的濾子。

反之，假設(shè)對任意α∈P([0,1])，H(?,α)≠?都為L的濾子。對任意x,y∈L，令?(x)=α并且?(y)=β，則x,y∈H(?,α?β)，從 而x?y∈H(?,α?β)，即 是?(x?y)?α?β=?(x)??(y)，即（HF3）成立。進(jìn)一步，考慮x≤y。令?(x)=α，則x∈H(?,α)。因H(?,α)≠?都為L的濾子，所以y∈H(?,α)，于是?(y)?α=?(x)，即（H4）成立?？傊?，?為L的猶豫模糊濾子。 □

推論2設(shè)?為剩余格L上的猶豫模糊集，且?為L的猶豫模糊濾子，則對任意a∈L，當(dāng)?(a)≠?時，集合{x∈L|?(a)??(x)}為L的一個濾子。

4 猶豫模糊蘊涵濾子

定義5設(shè)?是剩余格L上的一個猶豫模糊集，稱?為L的一個猶豫模糊蘊涵濾子，如果它滿足（H1）且對任意x,y∈L，有

例3在例1中，定義L上的猶豫模糊集?如下：，并且。容易驗證，?為L的猶豫模糊蘊涵濾子。若定義L上的猶豫模糊集ψ如下：且。可以驗證ψ為L的猶豫模糊濾子。但不是L的猶豫模糊蘊涵濾子。事實上，取x=b,y=z=a，則。

定理9設(shè)?為剩余格L的猶豫模糊濾子，則?為L的猶豫模糊蘊涵濾子當(dāng)且僅當(dāng)

對任意x,y,z∈L都成立。

證明 假設(shè)?為L的猶豫模糊蘊涵濾子，則由（H9）和（H1）知，對任意x,y,z∈L有

反之，假設(shè)?為滿足（H10）的猶豫模糊濾子。因x→(z′→y)=(x?z′)→y且(x→y)?(y→z)≤x→z，于是 有 (x→(z′→y))?(y→z)=((x?z')→y)?(y→z)≤x?z′→z=x→(z′→z)，所以?(x→(z′→z))??(((x?z′)→y)?(y→z))??(x→(z′→y))??(y→z)。由假設(shè)，?(x→z)??(1→(x→(z′→z)))??(1)??(x→(z′→z))??(x→(z′→y))??(y→z)因此?為L的猶豫模糊蘊涵濾子。 □

定理10設(shè)?為剩余格L的猶豫模糊濾子，則?為L的猶豫模糊蘊涵濾子當(dāng)且僅當(dāng)

對任意x,y,z∈L都成立。

證明 類似定理9的證明。 □

定理11設(shè)?為剩余格L的猶豫模糊濾子，則?為L的猶豫模糊蘊涵濾子當(dāng)且僅當(dāng)

對任意x,z∈L都成立。

證明 假設(shè)?為L的猶豫模糊蘊涵濾子，則

取y=z，則?(x→z)??(x→(z′→z))??(1)=?(x→(z′→z))。

反之，設(shè)?滿足?(x→z)??(x→(z′→z))的猶豫模糊蘊涵濾子，則?(x→(z′→z))??(y→(x→(z′→z)))??(y)，進(jìn)而

由定理9知，?為L的猶豫模糊蘊涵濾子。 □

定理12設(shè)?為剩余格L的猶豫模糊濾子，則?為L的猶豫模糊蘊涵濾子當(dāng)且僅當(dāng)

對任意x,y,z∈L都成立。

證明 類似文獻(xiàn)[9]中定理4.12的證明。 □

類似定理8，有定理13。

定理13設(shè)?為剩余格L上的猶豫模糊集，則?為L的猶豫模糊蘊涵濾子當(dāng)且僅當(dāng)對任意α∈P([0,1])，要么H(?,α)=?，要么H(?,α)為L的蘊涵濾子。

定義6設(shè)?是剩余格L的一個猶豫模糊濾子，稱?為L的一個猶豫模糊Boolean濾子，如果對任意x∈L，有

定理14設(shè)?是剩余格L的一個猶豫模糊濾子，則?為L的猶豫模糊Boolean濾子當(dāng)且僅當(dāng)?為L的猶豫模糊蘊涵濾子。

證明 類似文獻(xiàn)[26]中定理11的證明。 □

定理15在剩余格L中，每一個猶豫模糊蘊涵（Boolean）濾子?都是一個猶豫模糊濾子。

證明 注意到定理12和定理14，并在定理12中取y=1便知，?是一個猶豫模糊濾子。 □

定理16設(shè)?是剩余格L的一個猶豫模糊濾子，則下列條件是等價的：

（1）?為L的猶豫模糊Boolean濾子；

（2）(?x∈L)(?(x)=?(x′→x))；

（3）(?x,y∈L)(?(x)=?((x→y)→x))。

證明 類似文獻(xiàn)[11]中定理3.8的證明。 □

定理17設(shè)?和ψ是剩余格L的兩個猶豫模糊濾子，使得?(1)=ψ(1)且??ψ。若?是L的猶豫模糊Boolean濾子，則ψ也是L的猶豫模糊Boolean濾子。

證明 對任意x∈L，注意到?是L的猶豫模糊Boolean濾子，結(jié)合假設(shè)條件有

又ψ是猶豫模糊濾子，因此ψ(x∨x′)?ψ(1)。于是，ψ(x∨x′)=ψ(1)，再依（H11）知，ψ是L的猶豫模糊Boolean濾子。 □

類似定理8和定理13，可以得到定理18。

定理18設(shè)?為剩余格L上的猶豫模糊集，則?為L的猶豫模糊蘊涵（Boolean）濾子當(dāng)且僅當(dāng)對任意α∈P([0,1])，要么H(?,α)=?，要么H(?,α)為L的蘊涵（Boolean）濾子。

5 猶豫模糊正定蘊涵（G-）濾子

定義7設(shè)?是剩余格L的一個猶豫模糊濾子，稱?為L的一個猶豫模糊G-濾子，如果對任意x,y∈L，有

注1顯然，在定義7中，條件（H12）等價于條件?(x→(x→y))=?(x→y)。

定義8設(shè)?是剩余格L的一個猶豫模糊集，稱?為L的一個猶豫模糊正定蘊涵濾子，如果它滿足（H1）且

例4 設(shè)L={0,a,b,c,d,1}，L的Hasse圖如圖1所示。L上的算子→和?的定義分別如表3和表4。

那么L=(L,∨,∧,?,→,0,1)為一個剩余格，并且也是一個正規(guī)剩余格。現(xiàn)在定義L上的一個猶豫模糊集合?如下：?(0)={0.2,0.3}，?(a)=?(b)=?(1)=[0.1,0.6]，?(c)=[0.2,0.3]，?(d)=(0.1,0.4)?？梢则炞C，?不僅是L的一個猶豫模糊正定蘊涵濾子，也是L的一個猶豫模糊G-濾子。

Fig.1 Hasse diagram of L圖1 L的Hasse圖

在（H13）中，取x=1，有定理19。

定理19在剩余格中，每個猶豫模糊正定蘊涵濾子都是猶豫模糊濾子。

Table 3 Operation table for operatoion→表3 運算→表

Table 4 Operation table for operation?表4 運算?表

注2定理19之逆一般不成立。在例1中，定義一個猶豫模糊集?：?(0)=[0.5,0.7)，?(a)=?(b)=(0.4,0.8]，?(1)=(0.3,0.85)。容易驗證，?是L的猶豫模糊濾子，但它卻不是L的猶豫模糊正定蘊涵濾子。事實上，?(a→(a→0))??(a→a)=?(1)??(a)=?(a→0)，即（H12）不成立。

定理20設(shè)?是剩余格L的猶豫模糊濾子，則下列結(jié)論是等價的：

（1）?是猶豫模糊正定蘊涵濾子。

（2）?(x→y)??(x→(x→y))對任意x,y∈L成立。

（3）?((x→y)→(x→z))??(x→(y→z))對任意x,y,z∈L成立。

證明 假設(shè)?是L的猶豫模糊正定蘊涵濾子，那么?(x→y)??(x→(x→y))??(x→x)=?(x→(x→y))??(1)=?(x→(x→y))對任意x,y∈L成立，即（2）為真。

假設(shè)（2）為真。因?是L的猶豫模糊濾子，注意到x→(y→z)≤x→((x→y)→(x→z))，有?((x→y)→(x→z))=?(x→((x→y)→z))??(x→(x→((x→y)→z)))=?(x→((x→y)→(x→z)))??(x→(y→z))。

假設(shè)（3）成立。因?是L的猶豫模糊濾子，所以?(x→z)??(x→y)??((x→y)→(x→z))??(x→y)??(x→(y→z))。由定義8知，?是L的猶豫模糊正定蘊涵濾子。 □

推論3設(shè)?是剩余格L的猶豫模糊濾子，則?是L的猶豫模糊G-濾子當(dāng)且僅當(dāng)?是L的猶豫模糊正定蘊涵濾子。

定理21設(shè)?為剩余格L的猶豫模糊濾子，則?為L的猶豫模糊正定蘊涵濾子當(dāng)且僅當(dāng)

對任意x,y,z∈L都成立。

證明 假設(shè)?為L的猶豫模糊正定蘊涵濾子，則?(y→(y→x))??(z→(y→(y→x)))??(z)。y→x=1→(y→x)=(y→y)→(y→x)，因此?(y→x)=?((y→y)→(y→x))??(y→(y→x))??(z→(y→(y→x)))??(z)對任意x,y,z∈L都成立。

反之，因?為L的猶豫模糊濾子，并且滿足條件?(y→x)??(z→(y→(y→x)))??(z)對任意x,y,z∈L都成 立 ，所 以?(z→x)??((z→y)→(z→(z→x)))??(z→y)。 又 因z→(y→x)=y→(z→x)≤(z→y)→(z→(z→x))，故?((z→y)→(z→(z→x)))??(z→(y→x))，進(jìn)而?(z→x)??(z→(y→x))??(z→y)，因此?為L的一個猶豫模糊正定蘊涵濾子。 □

定理22設(shè)?為剩余格L的猶豫模糊正定蘊涵濾子，則?為L的一個猶豫模糊蘊涵濾子當(dāng)且僅當(dāng)?((y→x)→x)=?((x→y)→y)對任意x,y∈L成立。

證明 假設(shè)?是L的一個猶豫模糊蘊涵濾子，則對 任 意x,y,z∈L，?((y→x)→x)??(z→((((y→x)→x)→y)→((y→x)→x)))??(z)取z=1，那 么?((y→x)→x)??((((y→x)→x)→y)→((y→x)→x))。因 (x→y)→y≤(y→x)→((x→y)→x)=(x→y)→((y→x)→x)≤(((y→x)→x)→y)→((y→x)→x)，注意到?為L的猶豫 模 糊 濾 子 ，所 以?((x→y)→y)??((((y→x)→x)→y)→((y→x)→x))，故?((y→x)→x)??((x→y)→y)對任意x,y,z∈L成立。類似地，可以證明?((x→y)→y)??((y→x)→x)對任意x,y,z∈L成立。因此對任意x,y,z∈L，?((y→x)→x)=?((x→y)→y)。

反之，因?為猶豫模糊濾子，所以對任意x,y，z∈L，?((x→y)→x)??(z→((x→y)→x))??(z)。又因(x→y)→x≤(x→y)→((x→y)→y) ，所 以?((x→y)→((x→y)→y))??((x→y)→x)。因?為猶豫模糊正定蘊涵濾子，由定理 20知，?((x→y)→y)??((x→y)→((x→y)→y))。依假設(shè)條件?((y→x)→x)=?((x→y)→y)，有?((y→x)→x)??((x→y)→x)。由y≤x→y且y→x≤z→(x→y)，因 此 (x→y)→x≤y→x≤z→(y→x)。于是，?(z→(y→x))??((x→y)→x)，故?(y→x)??(z→(y→x))??(z)??((x→y)→x)??(z)。 因 此?(x)??((y→x)→x)??(y→x)??((x→y)→x)??(y→x)??((x→y)→x)?(?((x→y)→x)??(z))??(z→((x→y)→x))??(z)??(z)=?(z→((x→y)→x))??(z)，故?為L的一個猶豫模糊蘊涵濾子。 □

推論4設(shè)?是剩余格L的猶豫模糊蘊涵濾子，則?是L的猶豫模糊蘊涵正定濾子。

定理23在剩余格中，每個猶豫模糊Boolean濾子都是一個猶豫模糊正定蘊涵濾子。

證明 設(shè)?為剩余格L的猶豫模糊Boolean濾子，則?(x→z)??((x∨x′)→(x→z))??(x∨x′)=?((x∨x′)→(x→z))??(1)=?((x∨x′)→(x→z))。因 (x∨x′)→(x→z)=(x→(x→z))∧(x′→(x→z))=(x→(x→z))∧((x′?x)→z)=x→(x→z)，所以?((x∨x′)→(x→z))=?(x→(x→z))。從而得到?(x→(x→z))??(x→z)，再由定理20知，?是L的猶豫模糊正定蘊涵濾子。 □

定理23的逆一般來說不成立，具體見下例。

例5 設(shè)L={0,a,b,1}滿足0＜a＜b＜1，并有格運算x∧y=min{x,y}和x∨y=max{x,y}，其算子?和→分別定義如表5和表6。

那么L=(L,∨,∧,?,→,0,1)是一個剩余格?，F(xiàn)定義一個猶豫模糊集?：。容易驗證，?是L的猶豫模糊正定蘊涵濾子，但非猶豫模糊Boolean濾子，這是因為?(a∨a′)=?(a∨0)=?(a)≠?(1)。

定義9剩余格L的一個猶豫模糊濾子?叫作L的猶豫模糊MV-濾子，如果對任意x,y∈L，有

定理24設(shè)?是剩余格L上的猶豫模糊集，則?是L的猶豫模糊MV-濾子的充分必要條件是：它滿足（H1）且對任意x,y,z∈L，有

Table 5 Operation table for operation?表5 運算?表

Table 6 Operation table for operation→表6 運算→表

證明 類似文獻(xiàn)[11]中定理4.24的證明。 □

在MV-代數(shù)和格蘊涵代數(shù)中，(x→y)→y=(y→x)→x且((x→y)→y)→y=x→y。于是，有推論5。

推論5在MV-代數(shù)和格蘊涵代數(shù)中，猶豫模糊濾子與猶豫模糊MV-濾子是等價的。

定理25在剩余格中，每個猶豫模糊蘊涵濾子都是一個猶豫模糊MV-濾子。

證明 假設(shè)?是剩余格L的猶豫模糊蘊涵濾子。因x≤((x→y)→y)→x，所 以 (((x→y)→y)→x)→y≤x→y，進(jìn) 而 ((((x→y)→y)→x)→y)→(((x→y)→y)→x)≥(x→y)→((((x→y)→y)→x)=((x→y)→y)→((x→y)→x)≥y→x，故?(((((x→y)→y)→x)→y)→(((x→y)→y)→x))??(y→x)。因?是L的猶豫模糊蘊涵濾子，故?((((x→y)→y)→x))??(z→(((((x→y)→y)→x)→y)→(((x→y)→y)→x)))??(z)。取z=1，則?((((x→y)→y)→x)??(((((x→y)→y)→x)→y)→

(((x→y)→y)→x))??(y→x)，因此?是L的猶豫模糊MV-濾子。 □

下列例子說明定理25的逆一般不真。

例6在例1中，定義L上的猶豫模糊集?如下：?(0)=?(a)=[0.3,0.4]，?(b)=?(1)=[0.2,0.6]。容易驗證，?是L的猶豫模糊MV-濾子，但它不是L的猶豫模糊Boolean 濾 子 ，因 為?(a∨a′)=?(a)=[0.3,0.4]≠[0.2,0.6]=?(1)。依定義9和定理14知，?不是L的猶豫模糊蘊涵濾子。

定理26剩余格L上的一個猶豫模糊集?為L的一個猶豫模糊蘊涵（Boolean）濾子當(dāng)且僅當(dāng)?既是L的一個猶豫模糊正定蘊涵濾子，也是L的一個猶豫模糊MV-濾子。

證明 假設(shè)?為L的一個猶豫模糊蘊涵濾子，則依推論4和定理25知，?既為L的猶豫模糊正定蘊涵濾子，同時也是L的猶豫模糊MV-濾子。

反之，假設(shè)?既是L的猶豫模糊正定蘊涵濾子，也是L的猶豫模糊MV-濾子。由定理20（2）知，?((x→y)→y)??((x→y)→((x→y)→y))又 (x→y)→x≤(x→y)→((x→y)→y)，故?((x→y)→x)??((x→y)→((x→y)→y))，進(jìn)而?((x→y)→y)??((x→y)→x)。另一方面，因?是猶豫模糊MV-濾子，所以?(y→x)??(((x→y)→y)→x)。 又 因 (x→y)→x≤y→x對任意x,y∈L都成立，所以?((x→y)→x)??(y→x)，故?(((x→y)→y)→x)??((x→y)→x)，因此?(x)??(((x→y)→y)→x)??((x→y)→y)??((x→

y)→x)??(z→((x→y→x))??(z)。故?為L的一個猶豫模糊蘊涵濾子。 □

類似定理8、定理13和定理18，可以得到定理27。

定理27設(shè)?為剩余格L上的猶豫模糊集，則?為L的猶豫模糊正定蘊涵（MV-）濾子當(dāng)且僅當(dāng)對任意α∈P([0,1])，要么H(?,α)=?，要么H(?,α)為L的正定蘊涵（MV-）濾子。

6 猶豫模糊正規(guī)濾子

定義10剩余格L的一個猶豫模糊濾子?叫作L的一個猶豫模糊正規(guī)濾子，如果對任意x∈L，有?(x″→x)=?(1)。

例 7 設(shè)L=[0,1]，對任意x,y∈L，定義x∧y=min{x,y}，x∨y=max{x,y}，定義二元運算：

顯然，L=(L,∨,∧,?,→0,1)是一個剩余格。定義L上的一個猶豫模糊集?如下：

可以驗證，?是L的一個猶豫模糊濾子。顯然，它也是L的一個猶豫模糊正規(guī)濾子。

定理28設(shè)?為剩余格L的一個猶豫模糊濾子，則下列論斷是等價的：

（1）?為L的猶豫模糊正規(guī)濾子。

（2）(?x,y∈L)(?(y→x)??(x′→y′))。

（3）(?x,y∈L)(?(y′→x)??(x′→y))。

證明 類似文獻(xiàn)[9]中定理5.14的證明。 □

定理29剩余格L的猶豫模糊集?為L的猶豫模糊正規(guī)濾子當(dāng)且僅當(dāng)它滿足（H1）且對任意x,y,z∈L，?(y′→x)??(z→(x′→y))??(z)。

證明 類似文獻(xiàn)[9]中定理5.17的證明。 □

定理30剩余格L的猶豫模糊集?為L的猶豫模糊正規(guī)濾子當(dāng)且僅當(dāng)它滿足（H1）且對任意x,y,z∈L，?(y→x)??(z→(x′→y′))??(z)。

證明 類似文獻(xiàn)[9]中定理3.26的證明。 □

定理31設(shè)F為剩余格L的一個R-濾子，則存在L的一個猶豫模糊正規(guī)濾子?，使得某些α∈P([0,1])有H(?,α)=F。

證明 定義L上的一個猶豫模糊集?如下：

其 中α,β∈P([0,1])且α?β。 令x,y,z∈L使 得z→(x′→y)∈F且z∈F，則y′→z∈F，于 是?(z→(x′→y))=?(z)=?(y′→x)=α，因 此?(z→(x′→y))??(z)=?(y′→x)。 如 果z→(x′→y)?F或z?F，則?(z→(x′→y))=β或?(z)=β，因此?(z→(x′→y))??(z)=β??(y′→x)。 故 對 任 意x,y,z∈L，總 有?(z→(x′→y))??(z)??(y′→x)。

另一方面，因1∈F，所以?(1)=α??(x)對任意x∈L成立?？傊?是L的一個猶豫模糊正規(guī)濾子，并且對于α∈P([0,1])有H(?,α)=F。 □

類似定理8、定理13、定理18和定理17，有定理32。

定理32設(shè)?為剩余格L上的猶豫模糊集，則?為L的猶豫模糊正規(guī)濾子當(dāng)且僅當(dāng)對任意α∈P([0,1])，要么H(?,α)=?，要么H(?,α)為L的R-濾子。

定理33設(shè)?為剩余格L上的猶豫模糊集。如果?為L的猶豫模糊MV-濾子，則?為L的猶豫模糊正規(guī)濾子。

證明 因?為猶豫模糊MV-濾子，所以對任意x,y∈L，?(((x→y)→y)→x)??(y→x)。故?(x″→x)=?(((x→0)→0)→x)??(0→x)=?(1)。依（H1）有?(x″→x)=?(1)，所以?為L的猶豫模糊正規(guī)濾子。 □

定理32的逆一般不真，見下例。

例8在例7中，?為L的一個猶豫模糊正規(guī)濾子，但它不是L的一個猶豫模糊MV-濾子。事實上，?(((0.8→0.3)→0.3)→0.8)=?(0.8)={0.3,0.4}?[0.2,0.6]=?(0.3→0.8)。

定理34在BL-代數(shù)L中，L的猶豫模糊MV-濾子與L的猶豫模糊正規(guī)濾子是等價的。

證明 類似文獻(xiàn)[9]中定理7.6的證明。 □

定理35設(shè)?是剩余格L的一個猶豫模糊集，?是L的猶豫模糊Boolean濾子當(dāng)且僅當(dāng)?既是L的猶豫模糊正規(guī)濾子，又是L的猶豫模糊正定蘊涵濾子。

證明 假設(shè)?是L的猶豫模糊Boolean濾子，由定理26和定理33知，?既是L的猶豫模糊正規(guī)濾子，又是L的猶豫模糊正定蘊涵濾子。

反之，假設(shè)?既是L的猶豫模糊正規(guī)濾子，又是L的猶豫模糊正定蘊涵濾子。對任意x,y∈L，因x′≤x→y，所 以 (x→y)→x≤x′→x，因 此?((x→y)→x)??(x′→x)。 由x′→x=(x″)′→x知 ，?(x′→x)??(x′→x″)。又因x′→x″=x′→(x′→ 0)，由注1有，?(x′→x″)=?(x′→(x′→0))=?(x′→0)=?(x″)=?(x)?？傻?((x→y)→x)??(x′→x)=?(x)，進(jìn) 一 步 ，?((x→y)→x)=?(x)。依定理16知，?為L的猶豫模糊Boolean濾子。 □

推論6在格蘊涵代數(shù)中，猶豫模糊G-濾子和猶豫模糊Boolean濾子是等價的。

在正規(guī)剩余格L中，x″=x對于任意x∈L都成立，因此下列推論是明顯的。

推論7在正規(guī)剩余格中，猶豫模糊G-濾子和猶豫模糊Boolean濾子是等價的。

定理36設(shè)?和ψ是剩余格L的兩個猶豫模糊濾子，使得?(1)=ψ(1)且??ψ。若?是L的猶豫模糊正規(guī)濾子，則ψ也是L的猶豫模糊正規(guī)濾子。

證明 對任意x∈L，注意到?是L的猶豫模糊正規(guī)濾子，結(jié)合假設(shè)條 件 有ψ(1)=?(1)=?(x″→x)?ψ(x″→x)。 又ψ是L的猶豫 模 糊濾子，故ψ(x″→x)?ψ(1)。于是，ψ(x″→x)=ψ(1)對任意x∈L成立。再依定義10知，ψ是L的猶豫模糊正規(guī)濾子。 □

7 結(jié)論

人工智能的重要任務(wù)之一就是使計算機模擬人腦去處理不確定性問題。非經(jīng)典邏輯為該任務(wù)奠定了技術(shù)基石，這些非經(jīng)典邏輯的代數(shù)語義對應(yīng)著不同的邏輯代數(shù)類。剩余格是一類較廣的邏輯代數(shù)，而濾子理論是研究代數(shù)結(jié)構(gòu)的重要工具，因此針對剩余格的濾子理論反作用于推理系統(tǒng)進(jìn)行研究，進(jìn)而構(gòu)成機器識別、判斷、推理等智能性活動的基礎(chǔ)。本文把猶豫模糊集應(yīng)用于剩余格的濾子研究中，初步建立剩余格的猶豫模糊濾子理論。主要引入了剩余格的猶豫模糊（蘊涵、Boolean、正定蘊涵、MV、正規(guī)）濾子等概念，給出這些猶豫模糊濾子系列新特征，建立起它們的若干關(guān)系。人類決策常常表現(xiàn)出猶豫的現(xiàn)象，在確定元素的隸屬度時會在幾個值之間猶豫。模糊集及其一些擴(kuò)展理論無法反映這樣思維過程。因此，猶豫模糊濾子理論不同于已有模糊濾子理論，以此建立起的智能機更貼近人類思維活動真相。該理論方法可以用于MV-代數(shù)、格蘊涵代數(shù)、BL-代數(shù)、MTL-代數(shù)等討論中。

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2016-08,Accepted 2016-12.

Hesitant Fuzzy Filter Theory of Residuated Lattices*

PENG Jiayin+
College of Mathematics and Information Sciences,Neijiang Normal University,Neijiang,Sichuan 641199,China
+Corresponding author:E-mail:pengjiayin62226@163.com

By applying hesitant fuzzy set to the filter theory of residuated lattices,this paper proposes the concepts of hesitant fuzzy filters,hesitant fuzzy implicative filters,hesitant fuzzy positive implicative filter,hesitant fuzzy MV-filters and hesitant fuzzy regular filters of residuated lattices,investigates their properties,discusses their relations,and obtains some equivalent characterizations between them.Then,this paper gives the conditions for a hesitant fuzzy set translating into a hesitant fuzzy filter and for a hesitant fuzzy filter translating into a hesitant fuzzy(positive implicative,MV,regular)implicative filter.Finally,this paper studies the relations between kinds of filters and its corresponding level filters,and establishes the extension theorems of hesitant fuzzy Boolean filters and hesitant fuzzy regular filters of residuated lattices.

residuated lattice;hesitant fuzzy set;hesitant fuzzy(implicative,positive implicative,MV,regular)filter;level sets of a hesitant fuzzy set

10.3778/j.issn.1673-9418.1608028

*The National Natural Science Foundation of China under Grant No.11071178(國家自然科學(xué)基金);the Comprehensive Reform of Mathematics andApplied Mathematics of the Ministry of Education of China under Grant No.ZG0464(教育部數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)綜合改革).

CNKI網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版:2016-12-07,http://www.cnki.net/kcms/detail/11.5602.TP.20161207.0922.002.html

PENG Jiayin.Hesitant fuzzy filter theory of residuated lattices.Journal of Frontiers of Computer Science and Technology,2017,11(11)：1860-1870.

A

TP18；O141；O153

PENG Jiayin was born in 1962.He is a Ph.D.candidate at Sichuan Normal University and a professor at Neijiang Normal University.His research interests include fuzzy mathematics and artificial intelligence,etc.

彭家寅（1962—），男，四川資中人，四川師范大學(xué)博士，內(nèi)江師范學(xué)院教授，主要研究領(lǐng)域為模糊數(shù)學(xué)，人工智能等。發(fā)表學(xué)術(shù)論文100多篇，主持省部級基金項目多項。