偏序半群的理想的根、偏序同態(tài)和商序同態(tài)

邵海琴，郭莉琴，何建偉，王力梅

（天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，甘肅 天水741006）

偏序半群的理想的根、偏序同態(tài)和商序同態(tài)

邵海琴，郭莉琴，何建偉，王力梅

（天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，甘肅 天水741006）

通過偏序半群的理想的根，刻畫了偏序半群的偏序同態(tài)與商序同態(tài)的一些重要性質(zhì)，并得到了一些重要結(jié)論。

偏序半群；理想；理想的根；偏序同態(tài)；商序同態(tài)

偏序同態(tài)和商序同態(tài)是偏序半群中一個重要的研究課題，許多學(xué)者都對其進行了深入細(xì)致的研究。而偏序半群的一些重要概念在偏序半群各類問題特別是與偏序同態(tài)和商序同構(gòu)有關(guān)的問題的研究中起著舉足輕重的作用［1－4］。文獻(xiàn)［1］通過擬序，主要討論了偏序半群的擬序和同態(tài)之間的關(guān)系；文獻(xiàn)［2］通過商擬序，給出了商序同態(tài)基本定理，并得到了商擬序和商序同態(tài)的一些重要性質(zhì)；文獻(xiàn)［3］利用半擬序，給出了偏序半群的偏序擴張與有限全序擴張的方法；文獻(xiàn)［4］利用自然序半格擬序，研究了偏序半群的真濾子并構(gòu)造了最小自然序半格擬序。本文通過偏序半群的理想的根，刻畫了偏序半群的偏序同態(tài)與商序同態(tài)的一些重要性質(zhì)，并得到了一些重要結(jié)論。

1 預(yù)備知識

定義 1［5］如果（S，·）是半群[]6，（S，≤）是偏序集且偏序?qū)Τ朔ㄟ\算是相容的，即

則稱（S，·，≤）是偏序半群。

定義2［5］設(shè)（S，·，≤）是偏序半群，φ≠L?S若L滿足

則稱L是S的左（右）理想。若L既是S的左理想又是 S的右理想，則稱 L為 S的理想。

定義 3［5］設(shè)（S，·，≤）是可換偏序半群，I是 S的理想。那么集合稱為 I的根，記為

定義4［5］設(shè)（S，·，≤S），（T，*，≤T）是偏序半群。映射 φ稱為 S到T的同態(tài)映射，如果 φ滿足

若 φ為 S到 T的同態(tài)映射，且 φ是滿（單）的，則稱φ為 S到T的滿（單）同態(tài)。

定義5［2］設(shè)（S，·，≤S），（T，*，≤T）是偏序半群。S到T的同態(tài)映射 φ稱為商序同態(tài)，如果φ滿足

設(shè)（S，·，≤S），（T，*，≤T）是偏序半群，φ是S到T的商序同態(tài)。若φ是滿（單）的，則稱φ是 S到 T的商序滿（單）射；若φ是雙射，則稱 φ是S到T的商序同構(gòu)。

2 主要結(jié)果

命題1 設(shè)（S，·，≤S），（T，*，≤T）是偏序半群，I是 S的理想，φ是S到 T的商序滿同態(tài)。令φ，那么φ（I）是T的理想。

證明 顯然，φ≠φ（I）?T。下面證明φ（I）是T的理想。

（i）對任意的a∈φ（I），b∈T，由 φ是滿的和 φ（I）的定義得

對y∈S，x∈I，因為I是S的理想，所以xy∈I且yx∈I，于是由 φ（I）的定義和 φ是 S到T的同態(tài)得

即 φ（I）T?φ（I）且Tφ（I）?φ（I）.

（ii）對任意的 b∈T，a∈φ（I），由 φ（I）的定義和 φ是滿的得

若 b≤Ta，即 φ（y）≤Tφ（x），則由 φ是S到 T的商序同態(tài)得

于是對 a＝φ（x）＝φ（x1）∈φ（I），由 φ（I）的定義得x1∈I，因為 I是S的理想，所以 y1∈I，從而由φ（I）的定義得 φ（y1）∈φ（I），即b∈φ（I）.

綜上所述，φ（I）是 T的理想。

定理1 設(shè)（S，·，≤S），（T，*，≤T）是偏序半群，I是 S的理想，為I的根，φ是 S到T的商序滿同態(tài)。令

命題2 設(shè)（S，·，≤S），（T，*，≤T）是偏序半群，I是 T的理想，φ是 S到 T的偏序滿同態(tài).令，那么 φ－1（I）是 S的理想。

證明 顯然，φ≠φ－1（I）?S。

（i）對任意的x∈φ－1（I），y∈S，由 φ－1（I）的定義和 I是 T的理想得

φ（x）φ（y）∈I且 φ（y）φ（x）∈I，于是由 φ是 S到 T的同態(tài)得 φ（xy）∈I且 φ（yx）∈I。因此由 φ－1（I）的定義得 xy∈φ－1（I）且yx∈φ－1（I），即

（ii）對任意的x∈φ－1（I），y∈S，由 φ是 S到 T的同態(tài)和 φ－1（I）的定義得

φ（x）∈I，φ（y）∈T。若y≤Sx，則由 φ是保序的得φ（y）≤Tφ（x）.因為 I是 T的理想，

所以 φ（y）∈I.從而由φ－1（I）的定義得

綜上所述，φ－1（I）是 S的理想。

定理2 設(shè)（S，·，≤S），（T，*，≤T）是偏序半群，I是 T的理想，為 I的根，φ是S到 T的偏序滿同態(tài)。令

證明 由命題2知 φ－1（I）是S的理想。下面證明為 φ－1（I）的根，即

命題3 設(shè)（S，·，≤S），（T，*，≤T）是偏序半群，I是S的理想，φ是S到T的商序滿同態(tài)。那么

（1）φ－1（φ（I））是S的理想且φ－1（φ（I））＝I；

證明 （1）由命題 1和命題 2可得 φ－1（φ（I））是 S的理想。下面證明 φ－1（φ（I））＝I。

一方面，對任意的 x∈φ－1（φ（I）），由 φ－1（φ（I））的定義可得 φ（x）∈φ（I），于是由φ（I）的定義得x∈I，即φ－1（φ（I））?I；另一方面，對任意的x∈I，由 φ（I）的定義得 φ（x）∈φ（I），又由 φ－1（φ（I））的定義可得 x∈φ－1（φ（I）），即 I?φ－1（φ（I））。

綜上所述，φ－1（φ（I））＝I.

命題4 設(shè)（S，·，≤S），（T，*，≤T）是偏序半群，I是T的理想，φ是S到T的商序滿同態(tài)。那么

（1）φ（φ－1（I））＝I；

證明 （1） 由命題 1和命題 2可得φ（φ－1（I））是T的理想。下面證明 φ（φ－1（I））＝I.

一方面，對任意的 a∈φ（φ－1（I）），由 φ（φ－1

a＝φ（x）。對 x∈φ－1（I），由φ－1（I）的定義得φ（x）∈I，即a∈I，因此φ（φ－1（I））?I；另一方面，對任意的 a∈I，由 φ是滿的和φ－1（I）的定義得存在 x∈φ－1（I）使得

a＝φ（x）。又對 x∈φ－1（I），由 φ（φ－1（I））的定義可得 φ（x）∈φ（φ－1（I）），即

a∈φ（φ－1（I））。因此I?φ（φ－1（I））.

綜上所述，φ（φ－1（I））＝I；

（2） 由（1）、定理1和定理 2可得φ（φ－1所以

［1］Kehayopulu N，Tsinglis N.Pseudoorder in ordered semigroups［J］.Semigroups Forum，1995（50）：389－392.

［2］Cao Y L.Quotient ordered homomorphisms of ordered Semigroups［J］.Communications in Algebra，2003（31）：5563－5579.

［3］邵海琴，薛占軍，雷振亞.偏序半群的偏序擴張［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2008，24（4）：1－6.

［4］Cao Y L.Decompositions and pseudo－orders of ordered semigroups［J］.Semigroups Forum，2004（68）：177－185.

［5］謝祥云.序半群引論［M］.北京：科學(xué)出版社，2001：1－7.

［6］Howie JM.An introduction to semigroups theory［M］. London：Acad.Press，1976.

［責(zé)任編輯 賀小林］

Radical of an Ideal，Partially Ordered Homomorphism s and Quotient Ordered Homomorphism s of Partially Ordered Sem igroups

SHAO Hai－qin，GUO Li－qin，HE Jian－wei，WANG Li－mei
（School of Mathematics and Statistics Institute，Tianshui Normal University，Tianshui741001，China）

Some important properties on partially ordered homomorphism and quotient ordered homomorphism of partially ordered semigroupswere depicted by radical of an ideal of partially ordered semigroups，and some important conclusions were obtained.

partially ordered semigroups；ideal；radical of an ideal；partially ordered homomorphisms；quotient ordered homomorphisms

O152.7（2000MR）20M25

A

1004-602X（2011）02-0004-03

2011 -03 -19

邵海琴（1971—）女，甘肅天水人，天水師范學(xué)院副教授，碩士。