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    拉回和推出的若干注記

    2020-06-17 04:13:04何東林李煜彥彭康青
    關(guān)鍵詞:易知同態(tài)隴南

    何東林,李煜彥,彭康青

    (隴南師范高等??茖W(xué)校數(shù)信學(xué)院,甘肅隴南742500)

    拉回和推出是環(huán)模理論、同調(diào)代數(shù)、代數(shù)表示論以及范疇論的基本概念之一,也是討論模的投射性、內(nèi)射性、平坦性以及各種同調(diào)維數(shù)等的重要工具,許多學(xué)者先后對(duì)其進(jìn)行了研究[1-5]. 設(shè)R 為有單位元的結(jié)合環(huán),本文主要針對(duì)具有特定形式左R-模的行正合交換圖,給出拉回和推出的若干性質(zhì)和等價(jià)刻畫.

    文中的環(huán)R 均指有單位元的結(jié)合環(huán),模均指酉左R-模. 對(duì)任意左R-模同態(tài)和,記f 與g 的合成為其余涉及的概念和記號(hào)參見(jiàn)文獻(xiàn)[6-7].

    1 定義和引理

    定義1[6]93設(shè)為左R-模的交換圖,則:

    1)稱同態(tài)對(duì)(φ, α )是(φ, β )的拉回,如果對(duì)任意滿足等式的同態(tài)對(duì)(其中且都存在唯一的同態(tài)使得且(此性質(zhì)稱為拉回的泛性質(zhì)).

    引理1[6]96設(shè)( , )φ α 是( , )φ β 的拉回,則以下說(shuō)法等價(jià):1)若β 為單同態(tài),則φ 為單同態(tài);2)若β 為滿同態(tài),則φ 為滿同態(tài).

    引理2[6]97設(shè)( , )φ β 是( , )φ α 的推出,則以下說(shuō)法等價(jià):1)若φ 為單同態(tài),則β 為單同態(tài);2)若φ 為滿同態(tài),則β 為滿同態(tài).

    引理3[7]53設(shè)為左R-模的行正合交換圖,則以下結(jié)論成立:1)當(dāng)5t 為單同態(tài)且24,t t 為滿同態(tài)時(shí),3t 為滿同態(tài);2)當(dāng)1t 為滿同態(tài)且24,t t 為單同態(tài)時(shí),3t 為單同態(tài).

    2 主要結(jié)論

    定理1設(shè)為左R-模的行正合交換圖,則以下條件等價(jià):1)( , )φ α 是( , )φ β 的拉回;2)γ 為單同態(tài).

    證明 1)?2). 設(shè)是的拉回.是包含同態(tài),是Kerγ 的投射覆蓋. 由是滿同態(tài)及P 是投射模易知,存在同態(tài)使得因?yàn)槭堑睦兀紤]同態(tài)對(duì)由拉回的泛性質(zhì)易知,存在同態(tài)使得由知,注意到且,可見(jiàn)又因?yàn)闈M同態(tài)右可消且μ為滿同態(tài),所以 0λ = . 而λ 為包含同態(tài),因此γ 為單同態(tài).

    由定義1 知,(φ,α) 是(φ,β)的拉回.

    對(duì)偶地,可得如下結(jié)論.

    定理2設(shè)為左R-模的行正合交換圖,則以下條件等價(jià):1)),( βφ是),( αφ的推出;2)γ 為滿同態(tài).

    由蛇引理可得以下推論,然而本文使用不同于蛇引理的方法給出其證明.

    推論 1設(shè)為左R-模的行正合交換圖,其中γ 為單同態(tài),則β 為單同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)φ 為單同態(tài).

    證明?設(shè)β 為單同態(tài). 由γ 為單同態(tài)及定理1 知,),( αφ是),( βφ的拉回. 根據(jù)引理1 可得φ 為單同態(tài).

    ?設(shè)φ 為單同態(tài). 將上圖補(bǔ)充兩個(gè)零同態(tài)可得如下行正合交換圖

    注意到φ 和γ 均為單同態(tài),由引理3 易知,β 為單同態(tài).

    推論2設(shè)為左R-模的行正合交換圖,其中γ 為滿同態(tài),則β 為滿同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)φ 為滿同態(tài).

    證明?設(shè)β 為滿同態(tài). 將上圖補(bǔ)充兩個(gè)零同態(tài),由引理3 及γ 為滿同態(tài)易知,φ 為滿同態(tài).

    ?設(shè)φ 為滿同態(tài). 由γ 為滿同態(tài)及定理2 知,),( βφ是),( αφ的推出. 根據(jù)定理2 及引理2 易知,β 為滿同態(tài).

    定理3設(shè)為左R-模的行正合交換圖,且H 為任意左R-模. 如果γ 為單同態(tài)且HomR( H , β )為滿同態(tài),那么HomR( H ,φ)是滿同態(tài).

    證明由假設(shè)γ 為單同態(tài)及定理 1 易知,(φ ,α)是(φ ,β)的拉回. 對(duì)任意f∈HomR( H , M),

    因?yàn)镠omR( H , β )為滿同態(tài),所以存在使得等式成立. 由拉回的泛性質(zhì)可知, 存在同態(tài)使 得且. 從 而為滿同態(tài).

    定理4設(shè)為左R-模的行正合交換圖,且H 為任意左R-模. 如果γ 為滿同態(tài)且HomR(φ ,H)為滿同態(tài),那么HomR(β ,H)是滿同態(tài).

    證明由假設(shè)γ 為滿同態(tài)及定理 2 易知, (φ, β )是(φ, α )的推出. 對(duì)任意f∈HomR( B,H),因?yàn)闉闈M同態(tài),所以存在使得fα=gφ. 又由推出的泛性質(zhì)可知,存在同態(tài),使得f σφ=且g σβ=. 從而也是滿同態(tài).

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