關(guān)于BCH-代數(shù)原子與分支的一些結(jié)果

李金龍

(陜西理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院,陜西 漢中 723000)

文獻[1]提出了BCI-代數(shù)的概念.若〈X;*,0〉是一個BCI-代數(shù),在X上定義一個二元關(guān)系

≤:x≤y?x*y=0,

則“≤”為X上的一個偏序關(guān)系.文獻[2]提出了BCH-代數(shù).眾所周知,BCI-代數(shù)類是BCH-代數(shù)類的真子類,因此對BCH-代數(shù)的研究就更加困難一些,但通過研究所得到的結(jié)果卻更具有普遍性.在一般的BCH-代數(shù)中，上述的二元關(guān)系不是一個偏序關(guān)系,為了把BCI-代數(shù)中的偏序關(guān)系推廣到BCH-代數(shù)中，文獻[3]提出了偏序BCH-代數(shù)的概念.文獻[4]在BCH-代數(shù)中引入了原子與分支的概念.作者將主要研究一般的BCH-代數(shù)和偏序BCH-代數(shù)的原子與分支的一些性質(zhì).

1 預(yù)備知識

為行文方便,先引入下面的一些定義和引理,同時給出引理中的兩個推論.

定義1[2]一個(2,0)型代數(shù)〈X;*,0〉叫做BCH-代數(shù),如果?x,y,z∈X,它滿足下列公理：

H-1x*x=0;

H-2x*y=y*x=0 ?x=y;

H-3 (x*y)*z=(x*z)*y.

定義2[3]設(shè)〈X;*,0〉是一個BCH-代數(shù),若x≤y,x*y=0,且?z∈X,有z*y≤z*x,則稱〈X;*,0〉是一個偏序BCH-代數(shù).

定義3[4]設(shè)〈X;*,0〉是一個BCH-代數(shù),元素a∈X,若x∈X,x*a=0,即x≤a,則x=a,稱元素a為〈X;*,0〉的一個原子.

文獻[4]指出,元素0是BCH-代數(shù)〈X;*,0〉的一個原子,以L(X)記BCH-代數(shù)〈X;*,0〉中所有原子的集合,即L(X)={a∈X:若x∈X,x*a=0,則x=a},則0∈L(X),故L(X)≠?.

定義4[4]設(shè)〈X;*,0〉是一個BCH-代數(shù),a∈L(X), 記V(a)={x∈X:a*x=0即a≤x},稱V(a)為〈X;*,0〉的一個分支.

定義5[5-7]設(shè)〈X;*,0〉是一個BCH-代數(shù),X的一個非空子集A被稱為一個理想,如果它滿足:

(1) 0∈A;

(2)x*y∈A,y∈A?x∈A.

定義6[8-12]設(shè)〈X;*,0〉是一個BCH-代數(shù),若?x∈X,有0*(0*x)=0*x(等價于(0*x)*x=0),則稱〈X;*,0〉是一個擬結(jié)合BCH-代數(shù).

引理1[4]設(shè)〈X;*,0〉是一個BCH-代數(shù),x∈X,?y∈X,下列條件等價：

(1)x∈L(X)；

(2) 0*(0*x)=x；

(3)y*(y*x)=x.

引理3[4-5]設(shè)〈X;*,0〉是一個BCH-代數(shù),則?x,y∈X,有下列結(jié)論成立：

(1) [x*(x*y)]*y=0;

(2)x*0=x;

(3) 0*(x*y)=(0*x)*(0*y);

(4) 0*[0*(0*x)]=0*x.

引理4[3]設(shè)〈X;*,0〉是一個偏序BCH-代數(shù),則X中的二元關(guān)系≤是一個偏序關(guān)系.

引理5[4]設(shè)〈X;*,0〉是一個BCH-代數(shù),若a,b∈L(X),則?x∈V(a),?y∈V(b),恒有x*y∈V(a*b).

特別指出,若取a=b,由H-1,得a*a=0,故有下面的推論1.

推論1設(shè)〈X;*,0〉是一個BCH-代數(shù),若a∈L(X),則?x,y∈V(a),恒有x*y∈V(0).

引理6[6]設(shè)〈X;*,0〉是一個BCH-代數(shù),則?x,y∈X,有

[0*(x*y)]*(y*x)=0,x*y∈B(X)?y*x∈B(X).

引理7[4]設(shè)〈X;*,0〉是一個BCH-代數(shù),則L(X)是一個廣義結(jié)合BCI-代數(shù).

引理8[4]設(shè)〈X;*,0〉是一個BCH-代數(shù),若a,b∈L(X),且a≠b,則V(a)∩V(b)=?.

根據(jù)引理5,若a,b∈L(X),則?x∈V(a),?y∈V(b),恒有x*y∈V(a*b),因a與b都是原子,故當(dāng)a≠b時,有a*b≠0.由引理7,知a*b∈L(X),即a*b是X的原子,再由引理8,得V(a*b)∩V(0)=?,所以x*y?V(0).

推論2設(shè)〈X;*,0〉是一個BCH-代數(shù),若a,b∈L(X),且a≠b,則?x∈V(a),?y∈V(b),恒有x*y?V(0).

引理9[5]設(shè)〈X;*,0〉是一個BCH-代數(shù),Y是X的一個非空子集,則Y是X的子代數(shù)的充要條件是Y對運算*封閉.

引理10[4]設(shè)〈X;*,0〉是一個BCH-代數(shù),?x∈L(X),?y∈X,則x*y∈L(X).特別地,0*y∈L(X).

引理11[7]設(shè)〈X;*,0〉是一個BCH-代數(shù),令B(X)={x∈X:0*x=0},則B(X)是X的一個子代數(shù),也是X的一個理想.

由定義4，知B(X)=V(0).

引理12[12]設(shè)〈X;*,0〉是一個BCI-代數(shù),x,y∈X,若x≤y,則?z∈X,有z*x≤z*y,x*z≤y*z.

引理13[5]設(shè)〈X;*,0〉是一個BCH-代數(shù), 若?x,y,z∈X,有[(x*y)*(x*z)]*(z*y)=0成立，則〈X;*,0〉是一個BCI-代數(shù).

2 主要結(jié)果

下面給出一般的BCH-代數(shù)和偏序BCH-代數(shù)中原子與分支的一些性質(zhì),最后給出一個BCH-代數(shù)的BCI-化定理.

定理1設(shè)〈X;*,0〉是一個BCH-代數(shù),a∈L(X),則?x∈V(a),有0*(0*x)=a,稱0*(0*x)為元素x的廣義結(jié)合乘積.

證明因x∈V(a),故a*x=0.由H-3和H-1,得0*a=(a*x)*a=(a*a)*x=0*x,從而有0*x=0*a.兩端左乘0,得0*(0*x)=0*(0*a).由引理1,得0*(0*a)=a,有0*(0*x)=a.

定理1在后面一些定理的證明中起著關(guān)鍵性的作用.由引理2知,?x∈X,?a∈L(X),使x∈V(a).結(jié)合定理1知,一個BCH-代數(shù)中任一元素的廣義結(jié)合乘積等于它所在分支中的原子,這樣就把BCH-代數(shù)中的任一元素與它所在分支中的原子緊密地聯(lián)系起來了,也說明了原子這一概念在BCH-代數(shù)中起著非常重要的作用.

定理2設(shè)〈X;*,0〉是一個BCH-代數(shù),a∈L(X),x∈V(a),y∈X,若y≤x，即y*x=0,則y∈V(a).

證明因為y*x=0,由H-3和H-1,得

0*y=(y*x)*y=(y*y)*x=0*x,

故0*y=0*x,兩端左乘0并利用定理1，得0*(0*y)=a.兩端右乘y并利用引理3的(1),得a*y=0,所以y∈V(a).

由引理4知,若〈X;*,0〉是一個偏序BCH-代數(shù),則是一個偏序集.因為一般只有在偏序集中才有極小元的概念.根據(jù)極小元與原子的定義,偏序BCH-代數(shù)中的原子正好就是在偏序關(guān)系≤下的極小元，故稱偏序BCH-代數(shù)的原子為極小元.

定理3設(shè)〈X;*,0〉是一個偏序BCH-代數(shù),a是X的一個極小元,有

(1)a*V(0)={a*x:x∈V(0)}={a};

(2) 若x∈X,且0≤x*a,有x∈V(a);

(3)x∈V(a)的充要條件是x*a∈V(0).

證明(1) ?x∈V(0),則0≤x,由偏序性和引理3的(2)，得a*x≤a*0=a,因a是X的一個極小元,故a*x=a,即證明了a*V(0)={a}.

(2) 因0≤x*a,由偏序性和引理3的(2)，得x*(x*a)≤x*0=x.又因a是X的一個極小元,再由引理1，得x*(x*a)=a,所以a≤x,即x∈V(a).

(3) 必要性由推論1可得,充分性由定理3的(2)可得.

定義7設(shè)〈X;*,0〉是一個BCH-代數(shù),A與B是X的兩個非空子集,稱A*B={x*y:x∈A,y∈B}為A與B的乘積.

定理4設(shè)〈X;*,0〉是一個偏序BCH-代數(shù),a是X的一個極小元,m是X的非空子集A的最大元,則a*m是V(a)*A中的最小元.

證明因為m是X的非空子集A的最大元,故?x∈A,有x≤m,由偏序性，得a*m≤a*x.又?y∈V(a),由定理1，得0*(0*y)=a,再由H-3,引理3的(3)和引理6，得

(a*x)*(y*x)={[0*(0*y)]*x}*(y*x)=

[(0*x)*(0*y)]*(y*x)=[0*(x*y)]*(y*x)=0,

因此a*x≤y*x.最后由引理4，得a*m≤y*x.顯然a*m∈V(a)*A,即證明了a*m是V(a)*A中的最小元.

定理5設(shè)〈X;*,0〉是一個偏序BCH-代數(shù),a是X的一個非0極小元,則V(0)∪V(a)是X的一個子代數(shù)的充要條件是?x∈V(a),a≤0*x.

證明必要性. 設(shè)V(0)∪V(a)是X中的一個子代數(shù),?x∈V(a),因0∈V(0),有0*x∈V(0)∪V(a).又因a≠0,由推論2，知0*x?V(0)，有0*x∈V(a),所以a≤0*x.

充分性.為證V(0)∪V(a)是X中的一個子代數(shù),由引理9知,只需證明?x,y∈V(0)∪V(a),V(0)∪V(a)對運算*是封閉的即可.為此，分以下幾個情形.

情形1設(shè)x,y∈V(0),或x,y∈V(a).由推論1，知x*y∈V(0)?V(0)∪V(a).

情形2設(shè)x∈V(0),y∈V(a).下面證明x*y,y*x∈V(a)?V(0)∪V(a).

因x∈V(0),故0≤x,由偏序性和引理3的(2)，得y*x≤y*0=y∈V(a),再由定理2，知y*x∈V(a).

又因x∈V(0),故0*x=0,由H-3和引理3的(3)與(1)，得

(0*y)*(x*y)=[0*(x*y)]*y=[(0*x)*(0*y)]*y=[0*(0*y)]*y=0,

因此0*y≤x*y.又由已知條件，知a≤0*y;最后由引理4，得a≤x*y,所以x*y∈V(a).

定理6設(shè)〈X;*,0〉是一個偏序BCH-代數(shù),a是X的一個極小元,x,y∈X,若x≤y,則a*x=a*y.

證明由引理2知,可設(shè)x∈V(b),其中b是X的一個極小元.因b≤x,x≤y,由引理4，得b≤y.再由偏序性，得a*x≤a*b,a*y≤a*b.根據(jù)引理7，知a*b∈L(X),即a*b也是X的一個極小元，所以，有a*x=a*b=a*y.

定理7設(shè)〈X;*,0〉是一個BCH-代數(shù),Y是X的一個子代數(shù),則

證明根據(jù)引理10知, 0*x與0*(0*x)都是該BCH-代數(shù)的原子,故V(0*x)與V[0*(0*x)]有意義.

(1) ?x,y∈M,則?a,b∈Y,使x∈V(0*a),y∈V(0*b).因為Y是X中的一個子代數(shù),故a*b∈Y.由引理5和引理3的(3)，得

x*y∈V[(0*a)*(0*b)]=V[0*(a*b)]?M，

根據(jù)引理9,即證明了M是X的一個子代數(shù).

(2) ?x,y∈N,則?a,b∈Y,使x∈V[0*(0*a)],y∈V[0*(0*b)].因為Y是X中的一個子代數(shù),故a*b∈Y.由引理5和引理3的(3)，得

x*y∈V{[0*(0*a)]*[0*(0*b)]}=V{0*[0*(a*b)]}?N，

根據(jù)引理9,即證明了N是X的一個子代數(shù).

定理8設(shè)〈X;*,0〉是一個BCH-代數(shù),a是X的一個非0原子,若(0*a)*a=0,則V(0)∪V(a)是X的一個理想.

證明記A=V(0)∪V(a),因0∈V(0),故0∈A.按理想的定義只需證明：若x*y∈A,y∈A,則x∈A，即證明x∈V(0)或x∈V(a).分以下幾個情形來討論.

(1) 設(shè)x*y∈V(0),y∈V(0).因V(0)=B(X),由引理11知,V(0)是X的一個理想,故x∈V(0).

(2) 設(shè)x*y∈V(a),y∈V(a).由定理1，得

0*[0*(x*y)]=a,0*(0*y)=a，

又由引理3的(3)，得

0*[0*(x*y)]=[0*(0*x)]*[0*(0*y)]=[0*(0*x)]*a,

從而[0*(0*x)]*a=a,再由H-3，得(0*a)*(0*x)=a，兩端左乘0并利用引理3的(3)，得[0*(0*a)]* [0*(0*x)]=0*a,因0*(0*a)=a,故a*[0*(0*x)]=0*a.兩端右乘a并利用H-3,H-1和引理3的(4)，得0*x=(0*a)*a.最后由已知條件(0*a)*a=0，得0*x=0,所以x∈V(0).

(3) 設(shè)x*y∈V(0),y∈V(a).由定理1，得

0*[0*(x*y)]=0,0*(0*y)=a，

又由引理3的(3)，得

0*[0*(x*y)]=[0*(0*x)]*[0*(0*y)]=[0*(0*x)]*a,

從而[0*(0*x)]*a=0.兩端左乘0并利用引理3的(3)與(4)和H-1，得(0*x)*(0*a)=0,兩端右乘0*x并利用H-3和H-1，得0*(0*a)=0*(0*x),因0*(0*a)=a,故0*(0*x)=a.兩端右乘x并利用引理3的(1)，得a*x=0,所以x∈V(a).

(4) 設(shè)x*y∈V(a),y∈V(0).由定理1，得

0*[0*(x*y)]=a,0*(0*y)=0，

又由引理3的(3)與(2)，得

0*[0*(x*y)]=[0*(0*x)]*[0*(0*y)]=[0*(0*x)]*0=0*(0*x),

從而0*(0*x)=a.兩端右乘x并利用引理3的(1)，得a*x=0,所以x∈V(a).

由定理8和定義6立即得到下面的定理9.

定理9設(shè)〈X;*,0〉是一個擬結(jié)合BCH-代數(shù),a是X的一個非0原子,則V(0)∪V(a)是X的一個理想.

以上結(jié)果是受文獻[9-10]的啟發(fā)而得到的.最后給出一個BCH-代數(shù)的BCI-化定理.由引理12知,在BCI-代數(shù)〈X;*,0〉中有這樣的性質(zhì)A:若x≤y,則?z∈X,有z*y≤z*x.作者把這一性質(zhì)A作為一個條件添加到BCH-代數(shù)中來,提出了偏序BCH-代數(shù)的概念,且已經(jīng)找到了是偏序BCH-代數(shù)但不是BCI-代數(shù)的如下實例.

例設(shè)X={0,1,2,3},Y={0,1,2,3,4},X中的二元運算*與Y中的二元運算λ分別由下面的乘法表1，2給出.

乘法表1 X中的二元運算

乘法表2 Y中的二元運算

可以驗證〈X;*,0〉與〈Y﹔λ,0〉都是偏序BCH-代數(shù),但不是BCI-代數(shù).因為一般的BCH-代數(shù)不具有性質(zhì)A[12](這里不再舉例),故可以說偏序BCH-代數(shù)類是BCH-代數(shù)類的真子類.

又由引理12知,在BCI-代數(shù)〈X;*,0〉中還有性質(zhì)B：若x≤y,則?z∈X,有x*z≤y*z.那么能否將性質(zhì)B作為一個條件添加到BCH-代數(shù)中來給出新的一類BCH-代數(shù)呢?答案是否定的,即下面的BCH-代數(shù)的BCI-化定理.

定理10設(shè)〈X;*,0〉是一個BCH-代數(shù),x,y∈X,若x≤y,?z∈X,有x*z≤y*z,則〈X﹔*,0〉是一個BCI-代數(shù).

證明?x,y,z∈X,由引理3的(1)，知

[x*(x*y)]*y=0,

即x*(x*y)≤y.

又利用已知條件，得

[x*(x*y)]*z≤y*z,

再由H-3，得

(x*z)*(x*y)≤y*z,

即

[(x*z)*(x*y)]*(y*z)=0，

最后根據(jù)引理13知,〈X;*,0〉是一個BCI-代數(shù).

該定理說明在BCH-代數(shù)中的3條公理之下由性質(zhì)B可推出性質(zhì)A,再根據(jù)上面的例子可知,由性質(zhì)A則不能推出性質(zhì)B,這就說明性質(zhì)A比性質(zhì)B弱一些.