偏序群S上S-偏序系的內(nèi)射包*

張 霞 ，徐彥濤

(1.華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣州510631;2. Department of Mathematics，Southern Illinois University Carbondale，62901 Carbondale，USA)

設(shè)S 是一個(gè)偏序幺半群，即幺半群S 上帶有一個(gè)偏序≤滿足對(duì)任意的s≤t，s'≤t'，s，s'，t，t'S，都有ss'≤tt'.我們稱帶有映射A×S→A(元素對(duì)(a，s)映到A 中的元記為as)的偏序集(A，≤)為一個(gè)右S-偏序系，記作AS(或簡(jiǎn)寫為A)，如果A 是一個(gè)S-系，并且滿足對(duì)任意的a，bA，s，tS，有a≤b，s≤t?as≤bt.

類似地可以定義左S -偏序系. 本文只討論右S-偏序系，因此省去“右”字. S -偏序系同態(tài)是保序并且保持S -作用的映射. 所有的S -偏序系及S-偏序系同態(tài)做成一個(gè)具體范疇，記為S-偏序系范疇.

S-偏序系(AS，≤A)的S-子偏序系B 是A 的作用封閉的子集合，即A 的子系，并且B 上的偏序?yàn)锽×B∩≤A.從偏序集(A，≤A)到偏序集(B，≤B)的序嵌入是一個(gè)從A 到B 的映射h，滿足a≤Aa'當(dāng)且僅當(dāng)h(a)≤Bh(a')，?a，a'A. 易知，每個(gè)序嵌入都是單映射.

當(dāng)S 與A 上的偏序取成離散序時(shí)，S -偏序系就是S-系. 可見，S -偏序系理論是S -系理論的推廣.

設(shè)C 是一個(gè)具體范疇，由文獻(xiàn)［1］知，稱C 中的對(duì)象Q 是內(nèi)射的，如果對(duì)任意的嵌入同態(tài)h:A→B，C 中的任意同態(tài)f:A→Q，存在C 中的同態(tài)g:B→Q 使得gh=f.稱對(duì)象EC 是C 中對(duì)象A 的一個(gè)內(nèi)射擴(kuò)張如果E 是內(nèi)射的，并且存在C 上的一個(gè)嵌入同態(tài)ι:A→E.

稱C 中的嵌入同態(tài)η:A→B 是本質(zhì)的，如果對(duì)C 中的任意同態(tài)ψ:B→C，同態(tài)的合成ψη 是嵌入同態(tài)，ψ 本身也是嵌入同態(tài). 稱對(duì)象EC 是C 中對(duì)象A 的一個(gè)本質(zhì)擴(kuò)張如果存在一個(gè)從A 到E 的本質(zhì)同態(tài).

對(duì)于一個(gè)偏序集P，P 的擴(kuò)張E 稱為是并稠密的(交稠密的)，如果E 中的每個(gè)元素都是P 中比它小的元素的上確界(下確界)［2］.

S-系的內(nèi)射理論已經(jīng)被廣泛研究，讀者可以參考文獻(xiàn)［3］中的相關(guān)研究成果.S -偏序系內(nèi)射理論的研究最早始于1986年，Skornyakov［4］研究了具有離散序的幺半群S 上的S - 偏序系，得出這樣的S-偏序系是內(nèi)射的必要條件，即它是一個(gè)完全偏序集. 之后，F(xiàn)akhruddin［5］將這個(gè)結(jié)果推廣到任意的偏序幺半群，得到:對(duì)于一個(gè)偏序幺半群S，一個(gè)內(nèi)射的S-偏序系ES一定是一個(gè)完全格并且滿足條件(∨{xi})s=∨{xis}，?sS 及E 中的任意一族元素{xi}.這種S-偏序系被稱為完全S -偏序系. 當(dāng)S 取成偏序群時(shí)，F(xiàn)akhruddin［5］得到:對(duì)于一個(gè)偏序群S，一個(gè)S-偏序系是內(nèi)射的當(dāng)且僅當(dāng)它是一個(gè)完全S-偏序系.我們將進(jìn)一步得到:對(duì)于一個(gè)偏序群S，一個(gè)S-偏序系是內(nèi)射的當(dāng)且僅當(dāng)它是一個(gè)完全偏序集(見引理1).

關(guān)于內(nèi)射包，S -系理論已有成熟的結(jié)論，即對(duì)任意的幺半群S，每個(gè)S-系都可以嵌入到一個(gè)內(nèi)射包中，并且這個(gè)內(nèi)射包在同構(gòu)意義下唯一［6］. 對(duì)于S-偏序系理論，每個(gè)S-偏序系是否存在內(nèi)射包還是一個(gè)未解決的問(wèn)題. 最近的研究成果見文獻(xiàn)［7］，該文獻(xiàn)構(gòu)造了偏序半群關(guān)于某類特殊同態(tài)(保序的submultiplicative 映射)的內(nèi)射包. 而對(duì)于一般的同態(tài)，這還是一個(gè)有待解決的公開問(wèn)題.

本文將討論當(dāng)S 是一個(gè)偏序群時(shí)，S -偏序系的內(nèi)射包情形，得出當(dāng)S 是一個(gè)偏序群時(shí)，每個(gè)S-偏序系都存在內(nèi)射包，并且內(nèi)射包在同構(gòu)意義下唯一，最后將構(gòu)造出任意一個(gè)S-偏序系的內(nèi)射包. 在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步得出對(duì)任意的S -偏序系A(chǔ)S，AS的內(nèi)射包既是A 的極小內(nèi)射擴(kuò)張，又是A 的極大本質(zhì)擴(kuò)張.

以下如果沒(méi)有特殊說(shuō)明，S 表示一個(gè)偏序群.

由文獻(xiàn)［5］的命題7.2 知，偏序群上的偏序系是內(nèi)射的充要條件是它是一個(gè)完全偏序系. 直接證明可以得到進(jìn)一步的結(jié)論:

引理1 設(shè)S 是一個(gè)偏序群.則一個(gè)S-偏序系是內(nèi)射的當(dāng)且僅當(dāng)它是一個(gè)完全偏序集.

由文獻(xiàn)［5］的推論7.4 知每個(gè)偏序群S 上的S-偏序系都存在內(nèi)射包，再由文獻(xiàn)［1］的命題9.19，易證該內(nèi)射包在同構(gòu)意義下唯一. 因此，有:

推論1 設(shè)S 是一個(gè)偏序群，AS是一個(gè)S -偏序系，則AS存在唯一的內(nèi)射包.

接下來(lái)將具體構(gòu)造偏序群S 上任意一個(gè)S -偏序系的內(nèi)射包. 由前面結(jié)論知，這個(gè)內(nèi)射包在同構(gòu)意義下唯一. 更進(jìn)一步，我們將得到每個(gè)S-偏序系的內(nèi)射包都將是它的極小的內(nèi)射擴(kuò)張，同時(shí)也是它的極大的本質(zhì)擴(kuò)張.

設(shè)A 是一個(gè)偏序集，B?A. 記

由文獻(xiàn)［2］知，(DM(A)，?)是A 的Dedekind -MacNeille 完全擴(kuò)張，其嵌入映射為

設(shè)S 是偏序群，AS是一個(gè)S -偏序系，定義一個(gè)作用我們將證明DM(A)在這個(gè)作用下關(guān)于包含關(guān)系做成一個(gè)S-偏序系.

引理2［9］設(shè)A 是一個(gè)偏序集，B1?B2?A. 則

引理3 設(shè)S 是一個(gè)偏序群，AS是一個(gè)S -偏序系.則對(duì)任意的BDM(A)，sS，有

下面證明如下定理.

定理1 設(shè)S 是偏序群，AS是一個(gè)S-偏序系.則DM(A)在作用

下做成一個(gè)S-系，并且關(guān)于包含關(guān)系做成一個(gè)S-偏序系.

證明 首先證明DM(A)關(guān)于定義的作用做成一個(gè)S-系.為此需要證明:對(duì)任意的BDM(A)，s，tS，都有

顯然(ii)是成立的. 我們只需證明(i)成立，即往證，Bs=LU(Bs).

接下來(lái)需要證明DM(A)關(guān)于包含關(guān)系做成一個(gè)S-偏序系.包含關(guān)系是DM(A)上的一個(gè)偏序關(guān)系是顯而易見的，因此只需要證明包含關(guān)系關(guān)于DM(A)上的系作用是相容的.

設(shè)B1，B2DM(A)，s1，s2S 滿足B1?B2，并且s1≤s2. 易證B1s1?B2s1.由引理2 知

由于BisjDM(A)，i，j{1，2}，可得

由式(1)及式(2)得B1s1?B2s2. 由此證明了DM(A)關(guān)于包含關(guān)系及所給的系作用做成一個(gè)S -偏序系. □

設(shè)AS是一個(gè)S-偏序系，記定理1 中DM(A)關(guān)于所定義的作用及包含關(guān)系做成的S - 偏序系為DM(A)S.接下來(lái)要構(gòu)造偏序群S 上的S -偏序系A(chǔ)S的內(nèi)射包.由推論1 知，內(nèi)射包如果存在則唯一，下面將證明DM(A)S就是AS的唯一的內(nèi)射包.

引理4［2］設(shè)A 是一個(gè)偏序集，E 是A 的一個(gè)擴(kuò)張.則E 是A 的一個(gè)本質(zhì)擴(kuò)張當(dāng)且僅當(dāng)它既是并稠密的又是交稠密的.

定理2 設(shè)S 是一個(gè)偏序群，AS是一個(gè)S-偏序系.則DM(A)S是AS的內(nèi)射及本質(zhì)擴(kuò)張，即DM(A)S是AS的內(nèi)射包.

證明 顯然，DM(A)關(guān)于包含關(guān)系做成一個(gè)完全格.由引理1 知DM(A)S是內(nèi)射的.下面證明DM(A)S是AS的一個(gè)本質(zhì)擴(kuò)張. 定義映射

表明(as)↓?a↓s.故ι 是一個(gè)S-系同態(tài).

設(shè)ψ:DM(A)S→BS是一個(gè)S -偏序系同態(tài)，滿足ψι:AS→BS是序嵌入的S -偏序系同態(tài). 下面需要證明ψ 本身也是一個(gè)序嵌入的S-偏序系同態(tài).

由于DM(A)既是并稠密的又是交稠密的，由引理4 可得ψ 是偏序集范疇的本質(zhì)擴(kuò)張映射，故ψ 是一個(gè)序嵌入映射. 又由假設(shè)，ψ 是一個(gè)S -偏序系同態(tài)，最終得到ψ 也是一個(gè)序嵌入的S -偏序系同態(tài)，即DM(A)S是S-偏序系A(chǔ)S的本質(zhì)擴(kuò)張. □

最后將證明對(duì)于一個(gè)偏序群S，及任意一個(gè)S-偏序系A(chǔ)S，AS的內(nèi)射包是它的極小的內(nèi)射擴(kuò)張，同時(shí)也是它的極大的本質(zhì)擴(kuò)張.

定理3 設(shè)S 是一個(gè)偏序群，AS是一個(gè)S -偏序系.則以下命題等價(jià):

(1)ES是AS的內(nèi)射包;

(2)ES是AS的內(nèi)射且本質(zhì)擴(kuò)張;

(3)ES是AS的極小內(nèi)射擴(kuò)張;

(4)ES是AS的極大本質(zhì)擴(kuò)張.

證明 (1)?(2)由定義可得.

(2)?(3). 設(shè)E'S也是AS的內(nèi)射擴(kuò)張且E'?E.由E'S的內(nèi)射性知，存在S-偏序系同態(tài)g:E→E'使得其中idE'是E'上的恒等同態(tài).由于E 是A 的本質(zhì)擴(kuò)張，且是一個(gè)序嵌入的S-偏序系同態(tài)，可知g 也是序嵌入的S -偏序系同態(tài).這說(shuō)明E?g(E)?E'，故E=E'.

(3)?(4). 設(shè)E'S是AS的一個(gè)本質(zhì)擴(kuò)張且E?E'. 先證明E'也是E 的本質(zhì)擴(kuò)張. 設(shè)f:E'S→HS是一個(gè)S-偏序系同態(tài)，滿足是一個(gè)序嵌入. 則也是一個(gè)序嵌入，再由E 是A 的本質(zhì)擴(kuò)張知，f是一個(gè)序嵌入. 由此得E'是E 的本質(zhì)擴(kuò)張.

最后證明E 是A 的本質(zhì)擴(kuò)張.設(shè)ι:AS→DM(A)S，ι':AS→ES是自然的序嵌入. 由E 的內(nèi)射性知存在S-偏序系同態(tài)g:DM(A)→E，使得gι=ι'.這說(shuō)明g也是一個(gè)序嵌入，由于DM(A)也是A 的內(nèi)射擴(kuò)張，并且由已知E 是A 的極小的內(nèi)射擴(kuò)張，只有E =DM(A).又DM(A)是A 的本質(zhì)擴(kuò)張知，E 也是A 的本質(zhì)擴(kuò)張，從而是極大的本質(zhì)擴(kuò)張.

(4)?(1). 設(shè)ES是AS的極大本質(zhì)擴(kuò)張，DM(E)S是E 的內(nèi)射包. 易證DM(E)也是A 的本質(zhì)擴(kuò)張.由E 的極大性知E=DM(E). 因此E 是一個(gè)完全偏序集，從而由引理1 知，E 是內(nèi)射的. 繼而，E 是A 的內(nèi)射且本質(zhì)擴(kuò)張，即A 的內(nèi)射包. □

［1］Adámek J，Herrlich H，Strecker G E. Abstract and concrete categories:The joy of cats［M］. New York:John Wiley and Sons，1990.

［2］Banaschewski B，Bruns G. Categorical characterization of the MacNeille completion［J］. Archiv der Mathematik，1967，18(4):369 -377.

［3］Kilp M，Knauer U，Mikhalev A. Monoids，acts and categories，with applications to wreath products and graphs［M］. Berlin，New York:Walter de Gruyter，2000.

［4］Skornyakov L A. Injectivity of all ordered left polygons over a monoid［J］. Vestnik Moskovskogo Universiteta:Seriya I，1986，3:17 -19.

［5］Fakhruddin S M. On the category of S-posets［J］. Acta Scientiarum Mathematicarum，1988，52:85 -92.

［6］Berthiaume P. The injective envelope of S-sets［J］. Canadian Mathematical Bulletin，1967，10:261 -273.

［7］Lambek J，Barr M，Kennison J F，et al. Injective hulls of partially ordered monoids［J］. Theory and Applications of Categories，2012，26:338 -348.

［8］Birkhoff G. Lattice theory［M］. 2nd ed. New York:American Mathematical Society，1948.

［9］Davey B A，Priestley H A. Introduction to lattices and order［M］. Cambridge:Cambridge University Press，1990.