偏序集的內(nèi)蘊(yùn)拓?fù)溥B通性

徐羅山, 唐照勇

(1.揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇揚(yáng)州225002;2.揚(yáng)州大學(xué)廣陵學(xué)院,江蘇揚(yáng)州225127)

§1 引 言

按Bourbaki學(xué)派的觀點(diǎn),序結(jié)構(gòu),拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和代數(shù)結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)中的三大母結(jié)構(gòu),這些結(jié)構(gòu)相互交叉與滲透且可派生更多的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)[1-2].Domain理論[2],或更一般的連續(xù)偏序集理論主要研究偏序集,體現(xiàn)了序,代數(shù)與拓?fù)涞南嗷B透.其中一個(gè)基本而重要的的結(jié)果是:一個(gè)偏序集是連續(xù)的當(dāng)且僅當(dāng)它上面的Scott拓?fù)涫峭耆峙涓馵3-4].這說明,一方面利用內(nèi)蘊(yùn)拓?fù)淇裳芯科蚪Y(jié)構(gòu),另一方面利用偏序結(jié)構(gòu)也可研究相關(guān)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)[3-6].Domain理論受到了計(jì)算機(jī)科學(xué)和數(shù)學(xué)領(lǐng)域諸多學(xué)者的關(guān)注,且不斷地向信息科學(xué),邏輯學(xué),分析學(xué)及各種應(yīng)用學(xué)科滲透.

偏序集的連通性直觀性很強(qiáng),這一性質(zhì)在文獻(xiàn)[7]和[8]中有所研究.這些研究純粹是從序的方面直接考量的,稱這種連通為序連通.本文則從序與拓?fù)涞慕徊婵紤],進(jìn)一步研究偏序集在多種內(nèi)蘊(yùn)拓?fù)湎碌倪B通性和局部連通性.結(jié)果表明,偏序集的序連通與它的Alexandrov拓?fù)溥B通,它的Scott拓?fù)溥B通均是等價(jià)的.本文還證明了每一偏序集賦予Alexandrov拓?fù)浜唾x予Scott拓?fù)渚蔷植窟B通的.構(gòu)造了反例說明偏序集的下拓?fù)溥B通不能保證偏序集本身是序連通的.

§2 預(yù)備知識(shí)

下面給出預(yù)備知識(shí),具體內(nèi)容詳見文獻(xiàn)[2],[9]和[10].

設(shè)P為集合,則P上的自反,反對(duì)稱且傳遞的二元關(guān)系稱為P上的偏序關(guān)系,記作.設(shè)為P上一個(gè)偏序關(guān)系,則稱(P,)為一個(gè)偏序集,此時(shí)也簡(jiǎn)稱P為偏序集.P的對(duì)偶偏序集(P,)記為Pop.

設(shè)P為偏序集.D為P的非空子集.若對(duì)任意a,b∈D,存在c∈D使ac且bc,則稱D為P的定向集.

設(shè)A?P,記↓A={y∈P|?x∈A,yx},↑A={y∈P|?x∈A,xy}.如果A=↑A,則稱A為上集;如果A=↓A,則稱A為下集.簡(jiǎn)記↓{y}為↓y及↑{y}為↑y,并分別稱之為P中由y決定的主理想和P中由y決定的主濾子.元素z∈P稱為A的一個(gè)下界,若A?↑z.集A的全體下界之集記作lb(A).對(duì)偶地,稱z∈P為A的一個(gè)上界,若A?↓z.集A的全體上界之集記作ub(A).用supPA或A表示A在P中的最小上界(也稱上確界),簡(jiǎn)記為A或sup A.對(duì)偶地,P用infPA或PA表示A在P中的最大下界(也稱下確界),簡(jiǎn)記為A或inf A.若偏序集P中任意有限子集都有下確界(上確界),則稱P是交半格(并半格).若P中任意有限子集都有下確界和上確界,則稱P是格.

引理2.1設(shè)P是偏序集,U?P為非空上集,A?U.則supUA=supA.

證當(dāng)supUA存在時(shí),supUA為A在P中的上界.又若A在P中另有上界y∈P,則由U?P為上集知y∈U為A在U中的上界,從而supUA6y.這說明supUA是A在P中的最小上界,即supA=supUA.

類似地,當(dāng)supA存在時(shí)也有supUA存在且supUA=supA.

定義2.1[2,9]設(shè)P為是偏序集,A?X.如果(1)A=↓A;(2)對(duì)任意定向集D?A,當(dāng)上確界supD存在時(shí)便有supD∈A,則稱A為P的Scott閉集.P上的全體Scott閉集記為σ?(X).P上Scott閉集的補(bǔ)集稱為Scott開集,P上全體Scott開集形成的拓?fù)浞Q為P的Scott拓?fù)?記作σ(P).

易知U?P為Scott開集當(dāng)且僅當(dāng):(1)U=↑U;(2)對(duì)P中任一定向集D,當(dāng)supD存在且supD∈U時(shí),有D∩U?.偏序集上的Scott拓?fù)渚鶠門0拓?fù)?又若P是有限偏序集,則σ(P)={↑A|A?X}為P的全體上集構(gòu)成.

引理2.2設(shè)P是連續(xù)偏序集,U?P為非空Scott開集.則U上的Scott拓?fù)渑cU繼承的P的Scott子空間拓?fù)湎嗟?即σ(U)={U∩V|V∈σ(P)}.

證設(shè)V∈σ(P),W=U∩V,要證W∈σ(U).若W=?,則W∈σ(U).下面設(shè)W?.作為兩上集的交,W自然是上集.又對(duì)U的任一定向集D當(dāng)supUD∈W=U∩V時(shí),由引理2.1,supD=supUD∈W=U∩V,特別supD∈V∈σ(P).于是D∩V?,從而由D?U得D∩V=(D∩U)∩V=D∩W6?.這說明W∈σ(U),故σ(U)?{U∩V|V∈σ(P)}.

反過來,設(shè)W∈σ(U),要證W∈σ(P).首先(1)由U?P為上集且W?U又為U的上集知,W也為P的上集.又對(duì)P的任一定向集D,當(dāng)supD∈W?U時(shí),由U∈σ(P)得D∩U?,從而D∩U為U中定向集且有sup(D∩U)=supD∈W.由引理2.1,supU(D∩U)=sup(D∩U)∈W.由W∈σ(U)得(D∩U)∩W=D∩W?,故Scott開集條件(2)對(duì)W也成立.于是W∈σ(P),從而W=U∩W∈{U∩V|V∈σ(P)}.綜合得σ(U)={U∩V|V∈σ(P)}.

定義2.2[2,9]拓?fù)淇臻gX上的特殊化序s定義為xsy當(dāng)且僅當(dāng)x∈{y}?,其中{y}?為獨(dú)點(diǎn)集{y}的閉包.當(dāng)X為T0空間時(shí),s是X上一個(gè)偏序,稱偏序集(X,s)為X的特殊化偏序集.

易知,在特殊化序下,拓?fù)淇臻gX的開集一定是上集;閉集一定為下集;點(diǎn)x的主理想就是該點(diǎn)的閉包{x}?.

定義2.3[2,9]設(shè)P為偏序集.則P的全體上集形成P的一個(gè)拓?fù)?稱為P的Alexandrov拓?fù)?記作α(P).而P的全體下集形成的拓?fù)浞Q為對(duì)偶Alexandrov拓?fù)?記作α?(P).P的以集族{P?↑x|x∈P}(分別地,{P?↓x|x∈P})為子基生成的拓?fù)浞Q為P的下拓?fù)?分別地,上拓?fù)?,記作ω(P)(分別地,ν(P)).

定義2.4[10]設(shè)X是拓?fù)淇臻g.如果X中不存在兩個(gè)非空閉集A,B使A∪B=X且A∩B=?,則稱X是連通空間.如果X的子集A作為子空間是連通空間,則稱A是X的連通子集.

眾所周知,拓?fù)淇臻gX是連通空間當(dāng)且僅當(dāng)X中不存在兩個(gè)非空開集A,B使得A∪B=X且A∩B=?.

§3 偏序集的序連通性

文獻(xiàn)[7-8]研究了偏序集的連通性,為了與后文的拓?fù)溥B通性區(qū)分,稱偏序集的這種連通性為序連通性.本節(jié)對(duì)序連通性做進(jìn)一步探討.

定義3.1[8]設(shè)P是偏序集,a∈P.集合列稱為a的步集列.令,并稱為a在P中的序連通分支.

定義3.2[8]設(shè)P是偏序集,如果每一a∈P,a的序連通分支,則稱P是序連通的.不是序連通的偏序集稱為不連通偏序集.

命題3.1設(shè)P是偏序集,a,b∈P.則

(3)偏序集P是序連通的充要條件為其對(duì)偶偏序集Pop是序連通的;

(4)如果偏序集P有最小元,或有最大元,則P是序連通的;

(5)如果偏序集P是一個(gè)交半格,或并半格,則P是序連通的;特別任一全序集,任一格均是序連通的.

證(1)設(shè).則存在i使得,這樣,從而得知是下集.對(duì)偶地可得也是上集.

(3)對(duì)任意a∈P,由定義3.1,在對(duì)偶偏序集Pop=(P,)中定義的與在(P,6)中定義的相等,故結(jié)論(3)成立.

(4)若a∈P為P的最小元,則,從而成立,故P是序連通的.如果P有最大元,則Pop有最小元從而是序連通的.由(3)知P是序連通的.

(5)以交半格為例證之.若偏序集P是一個(gè)交半格,則任意a,b∈P,存在由(2),知,即P只有一個(gè)序連通分支,故P是序連通的.

定理3.1設(shè)P是偏序集.則P不序連通當(dāng)且僅當(dāng)存在P的兩個(gè)非空子集A,B?P使得A∩B=?,A∪B=P且A,B既是上集又是下集.

證=?:設(shè)P不序連通.任取a∈P,令則A,B均為P的真子集,A∩B=?,A∪B=P.由命題3.1(1),知A既是上集又是下集,作為A的補(bǔ)集,B也既是上集又是下集.

?=:設(shè)P有兩個(gè)非空子集A,B使得A∩B=?,A∪B=P且A,B既是上集又是下集.任取a∈P,則a∈A或a∈B.不妨設(shè)a∈A.則,從而由a∈P的任意性得P不序連通.

§4 內(nèi)蘊(yùn)拓?fù)涞倪B通性

本節(jié)考慮偏序集賦予諸如(對(duì)偶)Alexandrov拓?fù)?Scott拓?fù)?上拓?fù)?下拓?fù)涞葍?nèi)蘊(yùn)拓?fù)浜笏猛負(fù)淇臻g的連通性.

定理4.1設(shè)P是偏序集.則下列各條件等價(jià).

(1)P序連通;

(2)(P,α(P))連通;

(3)(P,α?(P))連通;

(4)(P,σ(P))連通.

證(1)?(2):用反證法.如(P,α(P))不是連通空間,則存在兩個(gè)非空開集A,B?P使得A∩B=?,A∪B=P.則A,B均是上集.此時(shí),易證A,B也均是下集.于是由定理3.1得P不序連通,矛盾于(1).

(2)?(3):直接由拓?fù)淇臻g連通性的一般刻畫定理推得.

(3)?(4):用反證法.如(P,σ(P))不是連通空間,則存在兩個(gè)非空Scott閉集A,B?P使得A∩B=?,A∪B=P.此時(shí)作為Scott閉集,A,B均是下集,矛盾于(3).

(4)?(1):用反證法.若P不序連通,由定理3.1得P中存在兩個(gè)非空子集A,B?P使得A∩B=?,A∪B=P且A,B既是上集又是下集.此時(shí),對(duì)A中任一定向集D,當(dāng)supD存在時(shí),由A是上集得supD∈A.又由A也是下集得A是Scott閉集.同理B是Scott閉集,這樣便得(P,σ(P))不連通,矛盾于(4).

集合X上拓?fù)洇哟钟讦鞘侵甫?η,此時(shí)也稱η細(xì)于τ.細(xì)的拓?fù)溥B通則較粗的拓?fù)浔剡B通.

命題4.1設(shè)P是偏序集,若(P,σ(P))連通,則空間(P,ν(P))和(P,ω(P))均連通,反之不成立.

證由定理4.1, 當(dāng)(P,σ(P))連通時(shí),(P,α(P))和(P,α?(P)均連通.由于α(P)和α?(P)分別細(xì)于ν(P)和ω(P),故(P,ν(P))和(P,ω(P))均連通也都連通.但反之不成立.取兩個(gè)平行放置的開線段H={0}×(0,1)∪{1}×(0,1)作成偏序集使得不同線段上的兩點(diǎn)不可比較,同一線段上的兩點(diǎn)按第二坐標(biāo)決定大小.則顯然H不是序連通的,從而由定理4.1,(H,σ(H))不是連通空間.然而,注意到非空的ν(H)?開集均含有兩平行開線段的上部的一小段,從而兩非空開集均相交不空.于是(H,ν(H))是連通空間.同理,(H,ω(H))也是連通空間.

當(dāng)P是有限偏序集時(shí),由定理4.1及命題4.1立得:

推論4.1設(shè)P是有限偏序集.則下列各條等價(jià).

(1)P序連通;

(2)(P,α(P))連通;

(3)(P,α?(P))連通;

(4)(P,σ(P))連通;

(5)(P,ν(P))連通,和(或)(P,ω(P))連通.

定理4.2設(shè)(X,τ)是拓?fù)淇臻g,s是空間X上的特殊化序.若偏序集(X,s)是序連通的,則拓?fù)淇臻g(X,τ)是連通的.

證用反證法.如(X,τ)不是連通空間,則存在兩個(gè)非空開集A,B?X使得A∩B=?,A∪B=X.此時(shí)作為開集,A和B均是特殊化偏序集(X,s)的上集.這樣關(guān)于偏序集(X,s),Alexandrov空間(X,α(X))便不連通.從而由定理4.1得(X,s)不序連通,矛盾.

需要注意的是,如果拓?fù)淇臻g(X,τ)是連通的,一般得不到特殊化偏序集(X,s)序連通.例如實(shí)數(shù)空間是連通的,而其特殊化序是離散序,不是序連通的.

§5 內(nèi)蘊(yùn)拓?fù)涞木植窟B通性

本節(jié)考慮偏序集賦予諸如(對(duì)偶)Alexandrov拓?fù)?Scott拓?fù)涞葍?nèi)蘊(yùn)拓?fù)浜笏猛負(fù)淇臻g的局部連通性.

定義5.1[10]設(shè)(X,τ)是拓?fù)淇臻g,x∈X,如果x的任一鄰域均含有x的一個(gè)連通鄰域,則稱拓?fù)淇臻g(X,τ)在x處局部連通.如果(X,τ)在每點(diǎn)都局部連通,則稱(X,τ)是局部連通空間.

按這一定義,連通空間不必局部連通.值得注意的是,雖然細(xì)的拓?fù)溥B通能得到粗的拓?fù)湟欢ㄟB通,但細(xì)的拓?fù)?例如離散拓?fù)?局部連通卻推不到粗的拓?fù)湟簿植窟B通.

定理5.1任一偏序集P,空間(P,α(P))和(P,α?(P))是局部連通的.

證以空間(P,α(P))為例證之.對(duì)任一x∈P及任一含x的上集U,有↑x?U且↑x有最小元從而是序連通的.又由定理4.1,賦予Alexandrov拓?fù)洹黿是連通的,從而(P,α(P))在X處是局部連通的.由x的任意性得空間(P,α(P))局部連通.

為研究偏序集賦予Scott拓?fù)涞木植窟B通性,先回憶一下連通分支的概念和性質(zhì).

定義5.2[10]設(shè)(X,τ)是拓?fù)淇臻g,x,y∈X,如果存在X的一個(gè)連通集A使x,y∈A,則稱點(diǎn)x,y在拓?fù)淇臻g(X,τ)中是連通的.容易證明X中點(diǎn)的上述連通關(guān)系是X上的等價(jià)關(guān)系,這個(gè)等價(jià)關(guān)系的每個(gè)等價(jià)類稱為空間X的連通分支.

引理5.1[10]設(shè)(X,τ)是拓?fù)淇臻g.則下列結(jié)論成立.

(1)空間X的連通分支是X的極大連通子集;

(2)空間X的每一連通分支都是X的閉集;

(3)空間X的不同連通分支不相交,且X的全體連通分支之并為X.

定理5.2任一偏序集P,空間(P,σ(P))是局部連通的.

證對(duì)任一x∈P及任一含x的Scott開集U,由引理2.2,(U,σ(U))是(P,σ(P))的開子空間.設(shè)子空間(U,σ(U))的連通分支全體為{Ci}i∈J.由引理5.1(3),存在i使得x∈Ci.再由引理5.1(1)得Ci?U是U的含x的連通子集,從而也是空間(P,σ(P))的連通子集.又任一y∈Ci及z∈P,當(dāng)yz時(shí),由U是上集得z∈U.這樣存在(U,σ(U))的連通分支Cj使z∈Cj.由引理5.1(2)得Cj為U的閉集,從而是U的下集,于是y∈Cj成立.再由不同連通分支不相交知z∈Ci∩Cj=Cj=Ci.這說明Ci為上集.又對(duì)P的任一定向集D,當(dāng)supD存在且supD∈Ci?U時(shí),由U是Scott開集,得D∩U?.取y∈D∩U,則ysupD∈Ci.由Ci為U的閉集從而是下集得y∈Ci?U.這說明Ci?U為P的含x的連通的Scott開集.于是(P,σ(P))在任一點(diǎn)x處局部連通,從而是局部連通空間.