m-半格矩陣的M-P廣義逆

趙 娜

(長治醫(yī)學(xué)院 數(shù)學(xué)教研室,山西 長治 046000)

廣義逆矩陣是矩陣論的重要分支,在數(shù)理統(tǒng)計(jì)、優(yōu)化計(jì)算、圖像處理、控制論等眾多領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用[1]．m-半格把∨-半格的結(jié)構(gòu)與半群的乘法運(yùn)算結(jié)合起來,從而剩余格,Frame,Quantale,格序半群等都是特殊的m-半格[2]．關(guān)于一些非交換代數(shù)如體、環(huán)、坡、Quantale等代數(shù)結(jié)構(gòu)上矩陣的廣義逆已有一些研究[3-10],本文受此啟發(fā),給出了m-半格矩陣M-P廣義逆的定義,得到了m-半格矩陣存在M-P廣義逆的一些等價(jià)刻畫和顯示表達(dá)式．

1 預(yù)備知識

定義1 設(shè)(Q,∨)是一個(gè)半格,*是Q上的二元運(yùn)算．若Q滿足:

(i)?a,b,c∈Q,有(a*b)*c=a*(b*c);

(ii)?a∈Q,a*_和_*a都保有限并;

則稱(Q，∨)是m-半格,簡稱Q是m-半格．用0,1分別表示Q中的最小元、最大元．這里的定義比文獻(xiàn)[2]定義的m-半格更一般化．

定義2 設(shè)Q是m-半格,如果?a,b∈Q,有a*b=b*a,則稱Q是交換m-半格．

定義3 設(shè)Q是m-半格,e∈Q,泉若?x∈Q,e*x=x*e=x,則稱e是Q的單位元;若Q有單位元1,則稱Q為單位m-半格．

如果不加特殊說明,以下文中給出的m-半格都是單位交換m-半格．為了方便,?a,b∈Q,記ab=a*b,a+b=a∨b．

Mm×n(Q)(m,n∈N+)表示m-半格Q上所有m×n矩陣構(gòu)成的集合,aij表示m-半格矩陣A的第i行第j列元素．如果m=n,則將Mm×n(Q)記為Mn(Q)．

對于任意A=(aij),B=(bij),C=(cij)∈Mm×n(Q),D=(dij)∈Mn×m(Q),定義:

A≤B?aij≤bij;C=A+B?cij=aij+bij;C=aB?cij=abij;A=B?aij=bij;D=AT?dij=aji;

對于任意A=(aij)∈Mm×k(Q),B=(bij)∈Mk×n(Q),C=(cij)∈Mn×m(Q),E∈Mn(Q),

性質(zhì)1m-半格矩陣滿足以下運(yùn)算律:

(i)A+A=A;(ii)AE=EA=A;(iii)(AB)C=A(BC);(iv)A(B+C)=AB+AC;(A+B)C=AC+BC;(v)(AB)T=BTAT;

推論1Mm×n(Q)是一個(gè)單位非交換m-半格．

定義4 設(shè)Q是m-半格,A,E∈Mn(Q),如果存在m-半格矩陣B∈Mn(Q),使得AB=BA=E,則稱A為可逆的,B為A的逆,記為A-1．若A可逆,A-1=AT唯一,(A-1)-1=A．

定義5 設(shè)Q是m-半格,A∈Mm×n(Q),如果AGA=A,則稱G∈Mn×m(Q)為A的廣義逆,記為A-．若A可逆,A-=A-1．一般地,A-不唯一,(A-)-≠A．

引理設(shè)Q是m-半格,A,B∈Mm×n(Q),若?b∈Mn×1(Q),Ab=Bb,則A=B．

定理1 設(shè)Q是m-半格,A∈Mm×n(Q),則G∈Mn×m(Q)是A的廣義逆的充分必要條件是對于?b∈Mm×1(Q),若方程AX=b有解,則Gb必是其解．

引理、定理1是文獻(xiàn)[4]中引理2.1、定理2.1的推廣,證明過程類似．

2 m-半格矩陣的M-P逆

定義6 設(shè)Q是m-半格,A∈Mm×n(Q),如果存在G∈Mn×m(Q),滿足AGA=A,GAG=G,(AG)T=AG,(GA)T=GA,則稱A是M-P可逆的,G為A的M-P廣義逆或偽逆,記為A+．

顯然,A的M-P廣義逆A+是A的廣義逆．當(dāng)A可逆時(shí),A+=A-1．

性質(zhì)2 設(shè)Q是m-半格,A∈Mm×n(Q)存在M-P廣義逆A+,則

(i)(A+)+=A;

(ii)(AT)+=(A+)T;

(iii)A+唯一.

證明 (i)(ii)由定義中條件的對稱性直接可得．

(iii)設(shè)X,Y均為A的M-P廣義逆,

AXA=A?AXAY=AY,AY=(AY)T=(AXAY)T=(AY)T(AX)T=AYAX=AX,

同理YA=XA．

AY=AX?YAY=YAX=XAX?Y=X．

定理2 設(shè)Q是m-半格,A∈Mm×n(Q?,則A是M-P可逆的充分必要條件是AAT,ATA可逆．

證明 必要性 設(shè)G是A的M-P廣義逆,?b∈Mn×1(Q),AATGTGb=A(GA)TGb=AGAGb=AGb,由定理1知,AATGTGb=b,由引理得,AATGTG=E,同理GTGAAT=E,即AAT可逆,(AAT)-1=GTG．

同理可證ATA可逆,(ATA)-1=GGT．

充分性設(shè)AAT,ATA可逆,令G=ATAAT=AT(AAT)-1=(ATA)-1AT,滿足M-P廣義逆的定義．

此定理一定程度上表明了M-P可逆與可逆之間的關(guān)系,m-半格矩陣的M-P廣義逆是m-半格方陣的逆的一般化．

推論2 (i)若A是M-P可逆的,則A+=ATAAT;

(ii)AA+=Em,A+A=En;

(iii)(AB)+=B+A+,特別地,(ATA)+=A+(AT)+.

定理3是文獻(xiàn)[9]定理3.3的推廣,證明過程類似．特別地,(A+B)+=A++B+．由性質(zhì)2(i),推論2(iii)知,M-P廣義逆在定理3條件下是Mm×n(Q)上的對合運(yùn)算,Mm×n(Q)是對合m-半格．

定理4 設(shè)Q是m-半格,A∈Mm×n(Q),則A是M-P可逆的充分必要條件是存在G∈Mn×m(Q)使得GAAT=AT,AGGT=GT．

證明 充分性GAAT=AT?GAATGT=ATGT?GA(GA)T=(GA)T?GA(GA)T=GA?GAATGT=GA?ATGT=GA?(GA)T=GA,代回GAAT=AT得(GA)TAT=AT?AGA=A．由對稱性可證AGGT=GT?(AG)T=AG,GAG=G．

必要性AGA=A,(GA)T=GA?A(GA)T=A?GAAT=AT．由對稱性可證GAG=G,(AG)T=AG?AGGT=GT．

定理5 設(shè)Q是m-半格,A∈Mm×n(Q),則G∈Mn×m(Q)是A的M-P廣義逆的充分必要條件是?b∈Mm×1(Q),若方程AX=b有解,則Gb是唯一解．

證明 必要性 設(shè)G是A的M-P廣義逆,則G是A的廣義逆,由定理1知,若方程AX=b有解,則Gb是解．設(shè)Z也是AX=b的解,則Gb=ATAATb=(ATA)-1ATAZ=Z．

充分性 假設(shè)G不是A的M-P廣義逆,?b∈Mm×1(Q),AA+b=AAT(AAT)-1b=b,A+b是AX=b的解,與Gb是唯一解矛盾,故G是A的M-P廣義逆．

定義7 設(shè)Q是m-半格,A∈Mn(Q),如果存在m-半格矩陣X∈Mn(Q),滿足AkXA=Ak,XAX=X,AX=XA,則稱X為A的Drazin逆,記為AD．若A是Drazin可逆的,AD唯一．若A可逆,AD=A-1．特別地,當(dāng)k=1時(shí),稱X為A的群逆,記為A#．

定理6 設(shè)Q是m-半格,A∈Mm×n(Q),則A是M-P可逆的充分必要條件是AAT群逆存在且方程A=AATX有解．

證明 充分性 若AAT的群逆(AAT)#存在且方程A=AATX有解,令B=(AAT)#A,則

BATA=(AAT)#AATA=AAT(AAT)#A=AAT(AAT)#AATX=AATX=A;(ABT)T=(BATABT)T=BATABT=ABT;(XTA)T=(XTAATX)T=XTAATX=XTA;令G=XTABT,則AGA=AXTABTA=AATXBTA=ABTA=BATA=A;GAG=XTABTAXTABT=XTBATAATXBT=XTAATXBT=XTABT=G;AG=AXTABT=AATXBT=ABT?(AG)T=AG;GA=XTABTA=XTBATA=XTA?(GA)T=GA,即G是A的M-P廣義逆矩陣．

必要性 若G是A的M-P廣義逆,則AG=Em,GA=En．令Y=GTG,則AATYAAT=AATGTGAAT=AAT;YAATY=GTGAATGTG=GTG=Y;AATY=AATGTG=E=GTGAAT=YAAT,即Y是AAT的群逆．

AATGT=A(GA)T=A,即GT是方程A=AATX的解．

定理6′ 設(shè)Q是m-半格,A∈Mm×n(Q),則A是M-P可逆的充分必要條件是ATA群逆存在且方程A=XATA有解．

定理7 設(shè)Q是m-半格,A∈Mm×n(Q),則A是M-P可逆的充分必要條件是方程組AATX=A,XATA=A有解．

證明 必要性 由定理6,6′知(A+)T是方程組的解．

充分性 設(shè)方程組AATX=A,XATA=A的解為G,AGTA=AGT(AATG)=A(GTAAT)G=AATG=A,下證GTAGT是A的M-P廣義逆．

A(GTAGT)A=(AGTA)GTA=AGTA=A;(GTAGT)A(GTAGT)=GT(AGTA)GTAGT=GTAGTAGT=GT(AGTA)GT=GTAGT;

[A(GTAGT)]T=(GTAGT)TAT=GATGAT=GAT=GATAGT=AGT=(GAT)T=(GATGAT)T=A(GTAGT);

[(GTAGT)A]T=AT(GTAGT)T=ATGATG=ATG=GTAATG=GTA=(ATG)T=(ATGATG)T=(GTAGT)A．

定理8 設(shè)Q是m-半格,A∈Mm×n(Q),則下列條件等價(jià):

(i)A是M-P可逆的;

(ii)AT是M-P可逆的;

(iii)AAT,ATA可逆;

(iv)存在G∈Mn×m(Q),使得AG=Em,GA=En;

(v)存在G∈Mn×m(Q),使得GAAT=AT,AGGT=GT;

(vi)(AAT)#存在,且方程A=AATX有解;

(vii)(ATA)#存在,且方程A=XATA有解;

(viii)方程組AATX=A,XATA=A有解;

(ix)?b∈Mm×1(Q),若方程AX=b有解,則A+b是唯一解.

定義8 設(shè)Q是m-半格,A∈Mm×n(Q),A的第i行(列)與第j行(列)是正交的,如果對?l,k∈N+,當(dāng)k≠l,總有aikajl=0(akialj=0)．特別地,當(dāng)i=j時(shí),則稱第i行(列)是正交的．

定理9 設(shè)Q是m-半格,A∈Mm×n(Q),AT是A的M-P廣義逆矩陣的充分必要條件是A每行每列都是1的分解且都是正交的．

證明 設(shè)A=(aij)∈Mm×n(Q),則

即A每行每列都是1的分解且都是正交的?AAT=Em,ATA=En?A+=AT．

推論3A∈Mn(Q),A-1=AT?A每行每列都是1的分解且都是正交的．