關(guān)于一致半格的注記

程彥亮, 邵勇

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院, 陜西 西安 710127)

1 引言

設(shè)(S,·) 是交換半群. 若對(duì)任意a ∈S有a2=a成立, 則稱(S,·) 為半格. 設(shè)(S,·)為半格, 在S上定義偏序如下:

由偏序的定義, 對(duì)任意a,b ∈S, 易知,ab是a與b的最大下界. 若存在c ∈S,有a ≤c ≤b ?c=a或c=b, 則稱b覆蓋a或a被b覆蓋, 記為a ?b[2]. 設(shè)X是偏序集(S,≤) 的非空子集, 若存在a ∈X, 使得對(duì)任意x ∈X, 有x ≤a ?x=a,則稱a為X的極小元. 若存在b ∈X, 使得對(duì)任意y ∈X, 有b ≤y ?b=y, 則稱b為X的極大元. 設(shè)(S,·) 為半格, 對(duì)任意M ?S,M ?=?, 若M含有極小元, 則稱S滿足極小條件. 若M含有極大元, 則稱S滿足極大條件. 設(shè)(S,≤) 為偏序集, 若對(duì)任意a,b ∈S,總有a ≤b或b ≤a成立, 則稱S為鏈. 若鏈滿足極小條件, 則稱該鏈為良序鏈.

定義1.1[1]設(shè)E是鏈, 若對(duì)e ∈E, 集合{x ∈E|x

定義1.2[3]設(shè)E是半格, 若對(duì)任意e ∈E, 有Ee={f ∈E|f ≤e}, 則稱Ee為由e生成的主理想.

定義1.3[4]設(shè)E是半格, 若對(duì)任意e,f ∈E, 有Ee～=Ef, 則稱E為一致半格.

若Ee～=Ef ?e=f, 則稱E為反一致半格.

例1.1設(shè)E=Cω={e0,e1,e2,···}, 其中e0>e1>e2>···, 則對(duì)任意en ∈Cω,由en生成的主理想為Cωen={en,en+1,en+2,···}. 易知對(duì)任意em,en ∈Cω, 其中m,n ∈N={0,1,2,···}, 有Cωem～=Cωen成立. 因此Cω為一致半格.

定義1.4[1]設(shè)S是半群, 若對(duì)任意a ∈S,a有唯一的逆元, 則稱S為逆半群. 若在逆半群S上, 格林D關(guān)系為泛關(guān)系, 即D=S×S, 則稱S為雙單逆半群.

由文獻(xiàn)[5] 知, 若S是雙單逆半群, 則由S的冪等元形成的半格為一致半格, 而半格為一致半格的逆半群并非都是雙單逆半群. 例如, 一致半格自身是逆半群, 但是它不是雙單逆半群. 但是, 的確存在一個(gè)這樣的雙單逆半群, 即由該一致半格對(duì)應(yīng)的Munn半群. 由文獻(xiàn)[1] 知, 不同類型的一致半格所對(duì)應(yīng)的雙單逆半群具有不同的結(jié)構(gòu), 例如,半格同構(gòu)于Cω的雙單逆半群為雙單逆ω- 半群. 文獻(xiàn)[3] 通過半格之間的一個(gè)類型積構(gòu)造了一致半格M(r). 文獻(xiàn)[6] 探究了半格同構(gòu)于M(r) 的雙單逆半群的結(jié)構(gòu). 顯然,Cω是滿足極大條件的無限鏈, 本文探究了滿足極大條件的無限鏈與Cω的關(guān)系, 并且給出了滿足極大條件的無限鏈的等價(jià)刻畫. 討論了極小條件與一致半格以及極大條件與反一致半格的關(guān)系.

若E為半格,E中僅含有一個(gè)元素e, 即E={e}, 則稱E為平凡半格[7], 易知,平凡半格既是一致的又是反一致的. 下文中所提到的半格, 若無特別說明, 均為至少包含兩個(gè)元素的非平凡半格.

2 主要結(jié)論

引理2.1設(shè)E是一致半格, 則E必是無限的.

證明假設(shè)E是有限的, 不妨設(shè)E={e1,e2,··· ,en},那么存在

因此, 對(duì)任意k ∈{1,2,··· ,n}, 有ei ≤ek. 故ei是E的最小元. 進(jìn)而,Eei={ei}. 然而對(duì)任意ej ∈E,(j ?=i), 則有Eej至少包含兩個(gè)元素{ei,ej}, 因此|Eej|≥2, 顯然,Eei?Eej,(i ?=j), 這與E是一致的矛盾, 故E是無限的.

由該引理知, 一致半格必是無限的, 因此在探究極大條件與一致半格的關(guān)系時(shí), 僅從無限的角度出發(fā).

引理2.2任何滿足極大條件的無限鏈同構(gòu)于Cω, 即它是一致半格.

證明設(shè)E是滿足極大條件的無限鏈, 則E含有最大元, 記為f0.

通過以下方式定義映射φ:Cω →E.

首先,Cω={e0,e1,e2,···}, 其中e0>e1>e2>···, 令φ將Cω中的最大元映到E中的最大元, 即e0φ=f0.

然后, 由E是無限鏈知,E {f0} ?=?. 又由E滿足極大條件知, 存在唯一的f1∈E {f0}, 使得對(duì)任意的x1∈E {f0}, 有x1≤f1. 因此, 令φ將e1∈Cω映到E{f0}中的最大元, 即e1φ=f1.

以此類推知,E {f0,f1,··· ,fi?1} ?=?. 又由E滿足極大條件知, 存在唯一的fi ∈E{f0,f1,··· ,fi?1}, 使得對(duì)任意的xi ∈E{f0,f1,··· ,fi?1}, 有xi ≤fi. 因此,令φ將ei ∈Cω映到E{f0,f1,··· ,fi?1}中的最大元, 即eiφ=fi.

綜上所述,

容易驗(yàn)證,φ是良定義的, 下證φ是雙射:

對(duì)于任意ei ?=ej,(i ?=j), 有

由E是鏈知, 當(dāng)i ?=j時(shí), 有fi ?=fj成立, 從而eiφ ?=ejφ, 故φ是單射.

要證φ是滿射. 只需說明以上取法能夠取遍E, 即證對(duì)于E{f0}中任意元素, 總存在另一元素將其覆蓋, 這是因?yàn)? 若對(duì)任意f ∈E{f0}, 存在唯一元素f′∈E, 使得f ?f′, 那么f就是集合E{f0,f1,··· ,f′}的最大元, 又由f的任意性知, 以上取法取遍E.

要證對(duì)于E{f0}中的任意元素, 總存在另一元素將其覆蓋, 由E中元素的任意性知, 只需證對(duì)于任意f′∈E, 存在唯一的元素f ∈E, 使得f ?f′. 假設(shè)E中不存在f, 使得f ?f′成立, 那么集合E{f0,f1,··· ,f′} ?E沒有最大元. 又由E是無限鏈知,E{f0,f1,··· ,f′}沒有極大元, 且E{f0,f1,··· ,f′}?=?. 這與E滿足極大條件矛盾, 從而對(duì)任意的f′∈E, 存在唯一的f ∈E, 使得f ?f′.

因此以上取法能夠取遍E. 故對(duì)于任意的f?∈E, 總存在k ∈N, 使得fk=f?, 由于存在ek ∈Cω, 使得ekφ=fk=f?, 因此φ是滿射, 故φ是雙射. 下證φ和φ?1都是保序的:

定義

對(duì)任意fi,fj ∈E,其中i ?=j. 不妨設(shè)i

由以上引理可知, 若E是滿足極大條件的無限鏈, 那么E是一致半格. 而一致半格并非都是滿足極大條件的無限鏈. 如下例2.1:

例2.1設(shè)E是鏈,并且E的鏈序同構(gòu)于整數(shù),即E={··· ,e?2,e?1,e0,e1,e2,···},并且···

證明對(duì)于任意em,en ∈E,m,n ∈Z={··· ,?2,?1,0,1,2,···}, 則有

定義映射

容易驗(yàn)證,φ是同構(gòu)映射, 故Eem～=Een. 因此,E是一致半格.

顯然,E是無限鏈, 但E不滿足極大條件, 這是由于E自身沒有最大元.E的Hasse 圖如圖1:

圖1

例2.2設(shè)E=Cω×Cω, 其中Cω={e0,e1,e2,···},e0>e1>e2>···, 則E是一致半格, 并且滿足極大條件, 但E不是無限鏈.

證明設(shè)E=Cω×Cω={em,n|m,n ∈N}, 其中

E的Hasse 圖如圖2:

圖2

對(duì)于任意em,n,ep,q ∈E, 則有

類似的,

定義映射

容易驗(yàn)證,φ是雙射, 下證φ是同態(tài)映射:

對(duì)任意er1,s1,er2,s2∈Eem,n, 其中ri,si ∈N,ri ≥m,si ≥n,i=1,2.

從而φ是同構(gòu)映射, 因此E是一致半格, 顯然E有最大元e0.0, 并且E的任意非空子集都含有極大元, 因此E滿足極大條件, 但E不是無限鏈.

以上例子說明, 一致半格不一定為滿足極大條件的無限鏈.

由文獻(xiàn)[1] 知, 滿足極小條件的反一致半格必為良序鏈. 由例2.2 表明, 滿足極大條件的一致半格未必是無限鏈.

定理2.1設(shè)E是滿足極大條件的半格, 則E是無限鏈當(dāng)且僅當(dāng)E是含有幺元的一致半格, 并且每一個(gè)主理想都是鏈.

證明設(shè)E是一致半格,|E|≥2. 由引理2.1 知,E是無限的. 由于E含有幺元,并且每一個(gè)主理想都是鏈. 設(shè)幺元為e, 則E=Ee, 即E是由e生成的主理想, 故E是無限鏈.

另一方面, 若E是滿足極大條件的無限鏈, 由引理2.2 知,E是一致半格. 由于E是無限鏈, 且滿足極大條件, 因此,E含有幺元. 顯然,E的每一個(gè)主理想都是鏈.

該定理中的任何條件不可缺失, 若E不滿足每一個(gè)主理想都是鏈, 則由例2.2 知,E=Cω×Cω,E包含幺元e0,0, 并且E是滿足極大條件的一致半格, 易見,E不是無限鏈.

若E不含有幺元, 設(shè)E={e1,e2,e3,e4,...},E的Hasse 圖如圖3:

圖3

由圖3 可知,E有3 個(gè)極大元, 故E不含有幺元, 顯然,E是滿足極大條件的一致半格, 并且每一個(gè)主理想均為鏈, 但E不是無限鏈.

對(duì)于定理2.1 而言, 條件“E滿足極大條件” 是必要的. 一方面, 若E是含有幺元的一致半格, 并且每一個(gè)主理想都是鏈, 由引理2.1 知,E是無限的, 又由E=Ee知,E是無限鏈, (e是E的幺元). 另一方面, 若E是無限鏈, 則E可能是反一致的半格,例如,E是一個(gè)鏈序同構(gòu)于非負(fù)整數(shù)的無限鏈. 即使E包含幺元, 并且每一個(gè)主理想都是鏈,E也未必是一致半格. 如下例:

則E是含有幺元的無限鏈, 且每一個(gè)主理想都是鏈, 但E不是一致半格.

證明顯然, 在(1) 式所定義的偏序下,E是無限鏈, 從而E的每一個(gè)主理想均為鏈, 又由對(duì)于?(q,m)∈E(q ≥0, m ≥0),

(i) 如果q=0,m ≥0, 那么(q,m)=(0,m)≤(0,0);

(ii) 如果q>0,m ≥0, 那么(q,m)≤(0,0).

因此, (0,0) 是E的幺元, 從而E是含有幺元的無限鏈, 下證E不是一致的:

假設(shè)E是一致的, 則對(duì)任意(q,m),(r,n)∈E, 有E(q,m)～=E(r,n), 設(shè)φ是E(q,m) 到E(r,n) 的同構(gòu)映射. 只需取(q,m) = (q,0),(q ?= 0), (r,n) = (r,rε), 考慮E(q,0) 和E(r,rε),E(q,0) 有最大元(q,0),E(r,rε) 有最大元(r,rε), 由同構(gòu)映射保序, 故φ將(q,0) 映到(r,rε). 由于集合{x ∈E|x< (r,rε)}沒有最大元, 由定義1.1知, (r,rε) 沒有緊接后元, 集合{x ∈E|x< (q,0)}(q ?= 0) 有最大元(q,1), 從而(q,0)有緊接后元, 這與φ是同構(gòu)映射矛盾, 故E不是一致半格.

經(jīng)過上述分析, 定理2.1 中的條件缺一不可, 由例2.3 知, 該定理中的條件“E滿足極大條件” 是必要的.

在文獻(xiàn)[1] 中, 探討了極小條件與反一致半格的關(guān)系, 類似地, 由定理2.1 探究了極大條件與一致半格的關(guān)系, 現(xiàn)在繼續(xù)討論一致半格與極小條件以及反一致半格與極大條件的關(guān)系.

定理2.2E是滿足極小條件的一致半格當(dāng)且僅當(dāng)E是平凡半格(|E|=1).

證明首先, 若E是平凡半格, 設(shè)E={e}, 顯然,E是一致的. 由E的非空子集只能是自身, 從而極小元為e, 故E是滿足極小條件的一致半格.

另一方面,設(shè)E是一致半格,并且滿足極小條件.假設(shè)E不是平凡半格,即|E|≥2.由于E滿足極小條件, 從而E包含唯一的極小元e, 這是因?yàn)? 假設(shè)E包含兩個(gè)不同的極小元e,f, 則有ef ≤e,ef ≤f, 由于e,f都是極小元, 從而ef=e,ef=f,故e=f. 因此,E包含唯一的極小元e. 進(jìn)而, 由e生成的主理想Ee={e}. 由E不是平凡半格, 故存在f ∈E,f ?=e, 則由f生成的主理想Ef至少包含兩個(gè)元素{e,f},從而Ee?Ef. 這與E是一致半格矛盾, 故E必為平凡半格.

由文獻(xiàn)[1] 知, 設(shè)E是有限半格, 若E為鏈, 則E必是反一致的. 接下來探究E是非鏈的情況.

引理2.3若E是非鏈的有限半格, 則E既不是一致的也不是反一致的.

證明設(shè)E是非鏈有限半格, 由引理2.1 知, 非平凡一致半格一定是無限的, 故E不是一致的. 下證E不是反一致的:

假設(shè)E是反一致的, 由于E是有限半格, 故E滿足極小條件, 因此,E是滿足極小條件的反一致半格, 則E是良序鏈, 這與E是非鏈的矛盾. 因此E不是反一致的.

定理2.3若E是滿足極大條件的反一致半格, 則

證明若|E|< +∞, 即E是有限半格, 假設(shè)E不是鏈, 即E是非鏈的有限半格,由引理2.3 知,E不是反一致的, 矛盾. 從而,E是鏈.

另一方面, 若E是鏈, 假設(shè)E是無限的, 即E是無限鏈, 由E滿足極大條件, 即E為滿足極大條件的無限鏈, 又由引理2.2 知,E是一致半格, 這與E是反一致的矛盾,從而E是有限的, 即|E|<+∞.

由以上定理可知, 設(shè)E是滿足極大條件的反一致半格, 則E只可能出現(xiàn)兩種情況,一種是有限鏈, 另一種是非鏈的無限半格.

例2.4設(shè)E是半格,E的Hasse 圖如圖4:

圖4

由圖4 可知, 對(duì)于任意e,f ∈E,(e ?=f), 有Ee?Ef, 即

由定義1.4 可知,E是反一致半格, 顯然,E滿足極大條件, 從而E是滿足極大條件的反一致半格. 由圖4 可見,E是無下界的非鏈半格, 即E是非鏈無限半格.

上述例子表明, 滿足極大條件的反一致半格是非鏈的無限半格. 易知, 任何有限鏈都是滿足極大條件的反一致半格.