m-半格的粗糙模糊理想

周 欣,趙 彬

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,西安 710062)

?

m-半格的粗糙模糊理想

周 欣,趙 彬

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,西安 710062)

應(yīng)用粗糙集理論給出m-半格上由模糊(素)理想誘導(dǎo)的同余及關(guān)于這種同余上(下)粗糙模糊近似算子的性質(zhì).通過引入m-半格粗糙模糊(素)理想的概念,討論了m-半格上粗糙模糊(素)理想與模糊(素)理想的關(guān)系及粗糙模糊(素)理想與(素)理想的關(guān)系.

m-半格;上(下)粗糙模糊近似算子;(模糊)理想;粗糙模糊(素)理想

粗糙集理論[1]在人工智能、數(shù)據(jù)分析和認知科學(xué)中應(yīng)用廣泛.文獻[2-3]給出了粗糙集的代數(shù)性質(zhì).自Biswas等[4]引入粗子群的概念以來,許多學(xué)者將粗糙集理論的研究方法應(yīng)用到多種代數(shù)結(jié)構(gòu)[5-7]和格結(jié)構(gòu)[8-11]中.Estaji等[12]在格上研究了模糊子集上、下近似集的性質(zhì);文獻[13-14]分別研究了可換環(huán)與半群上的粗糙素理想及粗糙模糊素理想的結(jié)構(gòu).上述研究方法也可用于m-半格的研究中.m-半格將∨-半格結(jié)構(gòu)與半群的乘法運算相結(jié)合,是剩余格、Frame、Quantale和格序半群的推廣.含最大元的m-半格上所有∨-半格理想組成的集合是一個Quantale,并且每個凝聚式Quantale都同構(gòu)于某個含最大元的m-半格上所有∨-半格理想組成的集合[15].理想是刻畫代數(shù)結(jié)構(gòu)的重要工具.本文通過引入m-半格的粗糙模糊理想的概念,討論m-半格的粗糙模糊(素)理想與模糊(素)理想的關(guān)系,給出了上(下)粗糙模糊理想和理想的等價刻畫,并探討了m-半格的上、下粗糙模糊理想之集的序性質(zhì).

1 預(yù)備知識

定義1設(shè)(S,∨)是∨-半格,·是S上的乘法運算,且滿足:

1)?a,b,c∈S,(a·b)·c=a·(b·c);

2)?a∈S,a·_和_·a都保有限并.

則稱(S,∨,·)是m-半格,簡稱S是m-半格.

由m-半格的定義知(S,·)是半群.定義1是文獻[15]中m-半格定義的推廣.

設(shè)S是m-半格.若?a,b∈S,a·b≤a且a·b≤b,則稱S是負序m-半格.對偶地,可以給出正序m-半格的定義.顯然,若將格中∨視為乘法運算，則格是正序m-半格.本文若無特別說明,S均指m-半格.為簡便,用ab標記a·b(a,b∈S).

設(shè)S和T是兩個m-半格,且φ:S→T是一個映射.若?a,b∈S,φ(a∨b)=φ(a)∨φ(b),且φ(ab)=φ(a)φ(b),則稱φ是m-半格同態(tài).若φ是滿射,則稱φ是滿的m-半格同態(tài).若φ是單射,則稱φ是單的m-半格同態(tài).若φ是雙射,則稱φ是m-半格同構(gòu).

設(shè)θ是S上的等價關(guān)系.如果θ與S的∨和·相容,即?(a,b),(c,d)∈θ?(a∨c,b∨d),(ac,bd)∈θ,則稱θ是S上的m-半格同余,簡稱θ是S的同余.用[a]θ表示a的θ-同余類,用Con(S)表示S上的同余之集,則(Con(S),?)是一個完備格.

定義2設(shè)θ是S上的同余,若?a,b∈S,[a∨b]θ={x∨y:x∈[a]θ,y∈[b]θ},則稱θ是∨-完備的.類似地,如果?a,b∈S,[ab]θ={xy:x∈[a]θ,y∈[b]θ},則稱θ是·-完備的.若同余θ既是∨-完備的又是·-完備的,則稱θ是完備同余.

定義3設(shè)S是m-半格且I?S,若I滿足下列條件1)和2),則稱I是S的∨-半格理想;若I滿足下列條件1)～3),則稱I是S的m-半格理想,簡稱I是S的理想:

1)?a,b∈S,a,b∈I?a∨b∈I;

2)?a,b∈S,b≤a∈I?b∈I;

3)?a,b∈S,b∈I?ab∈I且ba∈I.

設(shè)S是m-半格且f,g∈F(S).定義f°g為:

運算“°”滿足結(jié)合律[17],由文獻[18]引理2.1知,若f,g,h∈F(S)且f?g,則f°h?g°h且h°f?h°g.

設(shè)A?S,χA是A的特征函數(shù)且λ∈[0,1].定義S的模糊子集λχA為:?x∈X,

命題1設(shè)θ是m-半格S上的等價關(guān)系,f∈F(S),則?t∈[0,1],有:

命題2設(shè)θ是m-半格S上的等價關(guān)系,則?f,g∈F(S)及?{fi}i∈I?F(S),有:

2 上(下)粗糙模糊近似算子

定義5設(shè)S是m-半格,f∈F(S),若f滿足下列條件:

1)?x,y∈S,f(x)∧f(y)≤f(x∨y);

2)?x,y∈S,x≤y?f(y)≤f(x);

3)?x,y∈S,f(x)≤f(xy)∧f(yx).

則稱f為S的模糊m-半格理想,簡稱f為S的模糊理想.

設(shè)f是S的非常值模糊理想.若?x,y∈S,f(xy)=f(x)∨f(y),則稱f是S的模糊素理想.

注11)定義5中的條件1)和2)可用條件?x,y∈S,f(x∨y)=f(x)∧f(y)等價替換,并且3)可用?x,y∈S,f(x)∨f(y)≤f(xy)等價替換；

圖1 S上的乘法運算Fig.1 Multiplication of S

設(shè)S是m-半格,f∈F(S)且1∈Imf,定義

其中Imf表示f的像集.

引理1設(shè)S是m-半格,f,g∈F(S),1∈Imf∩Img,則:

且

設(shè)θ1和θ2是m-半格S上的兩個二元關(guān)系,則θ1和θ2的復(fù)合θ1°θ2定義為

θ1°θ2={(x,y)∈S×S:?z∈S,使得(x,z)∈θ1且(z,y)∈θ2}.

命題4若S是正序m-半格,且f∈FIdl(S),則f是常值映射.

證明:設(shè)x,y∈S.因為S是正序的,所以x∨y≤xy.由f∈FIdl(S)知

f(x∨y)=f(x)∧f(y)≤f(x)≤f(xy)≤f(x∨y),

故f(x∨y)=f(x).同理可證f(x∨y)=f(y).因此,f(x)=f(y).

命題5[19]設(shè)S是m-半格.若f,g∈FIdl(S),則f°g∈FIdl(S).特別地,若f,g∈FIdl(S)*,則f°g∈FIdl(S)*.

定理1設(shè)S是m-半格,f,g∈F(S),1∈Imf∩Img,則下列結(jié)論成立:

2)顯然成立.

a∨m′∨n′=m∨m′∨n′=x∨m′∨n′,

從而

故

(x∧bc)∨(x∧b′c)=x∧(bc∨b′c)=x∧(yc∨b′c)=(x∧yc)∨(x∧b′c),

且

因此,

即

因此,

所以

證明:設(shè)S為一個格,θ為S上的格同余,且x,y,z∈S.若x≤yz,b∈[y]θ且c∈[z]θ,則(bc,yz)∈θ,從而(x∧bc,x)=(x∧bc,x∧yz)∈θ,即x∧bc∈[x]θ.由x∧bc≤bc知,

3 粗糙模糊(素)理想

本文給出的m-半格理想和模糊理想分別與文獻[20]和文獻[21]給出的Quantale理想和模糊理想的定義形式相同,所以類似地有下列結(jié)論.

引理2設(shè)θ是m-半格S上的同余,I是S的理想,則下列結(jié)論成立:

引理3[19]設(shè)S是m-半格,f是S的模糊子集,則下列結(jié)論成立:

1)f是S的模糊理想當且僅當?t∈[0,1]∩,ft是S的理想;

2)f是S的模糊理想當且僅當?t∈[0,1]∩,是S的理想;

3)若f是S非常值的模糊子集,則f是S的模糊素理想當且僅當?t∈[0,1]∩,若ft≠S,ft是S的素理想;

4)若f是S非常值的模糊子集,則f是S的模糊素理想當且僅當?t∈[0,1]∩,若

命題7設(shè)θ是m-半格S上的等價關(guān)系,f是S的模糊子集,則下列結(jié)論成立:

1)f是S關(guān)于θ的上粗糙模糊理想當且僅當?t∈[0,1]∩,是S的理想;

2)f是S關(guān)于θ的下粗糙模糊理想當且僅當?t∈[0,1]∩,是S的理想;

命題8設(shè)θ是m-半格S上的∨-完備同余,f是S的模糊理想,則下列結(jié)論成立:

1)f是S關(guān)于θ的上粗糙模糊理想;

2)若S是負序的,則f是S關(guān)于θ的下粗糙模糊理想;

3)若θ是完備同余,則f是S關(guān)于θ的下粗糙模糊理想.

證明:1)設(shè)t∈[0,1]∩,則由引理3知是S的理想,從而由命題1和引理2可得是S的理想.故由引理3知是S的模糊理想.

同理可證2)和3).

命題9設(shè)θ是m-半格S上的完備同余,f是S的模糊素理想,則下列結(jié)論成立:

推論1設(shè)θ是m-半格S上的∨-完備同余,f是S的模糊理想.若S是負序的或θ是完備同余,則f是S關(guān)于θ的粗糙模糊理想.

命題8和命題9表明,在某些條件下,上、下粗糙模糊(素)理想是m-半格的模糊(素)理想的推廣.下面舉例說明命題8中2),3)的逆命題一般不成立.

2)設(shè)S是如圖2(A)所示的∨-半格,令S上的乘法運算·=∨,則(S,·,∨)是m-半格.設(shè)θ是1)中給出的等價關(guān)系,則θ是S上的完備同余.若取f為1)中給出的模糊子集,則易見f是關(guān)于θ的下粗糙模糊理想,但不是S的模糊理想.

下面舉例說明若沒有條件“θ是完備同余”,則命題9的結(jié)論可能不成立.

例3設(shè)S是如圖2(B)所示的格,令S上的乘法運算·=∧,則易驗證(S,·,∨)是m-半格.

設(shè)θ是S上的等價關(guān)系,并且θ的等價類為:

顯然θ是S上的同余.因為

(1)

例4設(shè)S是如圖2(C)所示的格,令S上的乘法運算·=∧,則易驗證(S,·,∨)是m-半格.

設(shè)θ是S上的等價關(guān)系,并且θ的等價類為:

易見θ是S上的同余.因為式(1)成立,且

所以θ既不是∨-完備的也不是·-完備的.因此,θ不是完備同余.定義模糊子集f為

則

易證f是S的模糊素理想.因為

圖2 S的Hasse圖Fig.2 Hasse graph of S

引理4設(shè)S是負序m-半格且滿足?a∈S,a2=a,f是S的模糊素理想.定義S上的關(guān)系θf為

(x,y)∈θf?f(x)=f(y)=0或f(x)和f(y)都不為0,

則θf是S上的完備同余.

定理2設(shè)S是負序m-半格且滿足?a∈S,a2=a,f是S的模糊素理想.若g是S的模糊理想,則g是S的關(guān)于θf的粗糙模糊素理想.

證明:由引理4知θf是S的完備同余.設(shè)x,y∈S.因為

且

由

知,

類似地,也可證若f(xy)=f(y),則

引理5設(shè)A是m-半格S的子集,且θ是S上的等價關(guān)系,則?x∈S,有:

命題10設(shè)A是m-半格S的子集,θ是S上的等價關(guān)系,則:

推論3設(shè)A是m-半格S的子集,θ是S上的等價關(guān)系,則:

引理6設(shè)S和S′是兩個m-半格,φ:S→S′是一個滿的m-半格同態(tài),θ′是S′上的同余.令θ={(x,y)∈S×S:(φ(x),φ(y))∈θ′},則?A?S,有:

1)θ是S上的同余;

證明:可參考文獻[20]中命題6.3、引理6.5和定理6.6的證明.

設(shè)S和S′是兩個m-半格,φ:S→S′是一個映射,且f∈F(S).定義模糊子集φ(f)為:?y∈S′,φ(f)(y)=∨{f(x):φ(x)=y,x∈S}.φ(f)稱為模糊子集f在映射φ下的標準Zadeh像[22].易見若φ是雙射,則φ(f)(x′)=f(x),其中φ-1(x′)=x.

命題11設(shè)S和S′是兩個m-半格,φ:S→S′是一個滿的m-半格同態(tài),θ′是S′上的同余.若θ是引理6給出的S上的同余,則?f∈F(S),有:

證明:易驗證?t∈[0,1]∩及?f∈F(S)都成立:① (φ(f)且???;② 若φ是m-半格同構(gòu),則(φ(f))t=φ(ft),且???.

2)證明過程與1)類似.

推論4設(shè)S和S′是兩個m-半格,φ:S→S′是m-半格同構(gòu),θ′是S′上的同余.若θ是引理6中S上的同余,則?f∈F(S),f是S關(guān)于θ的粗糙模糊(素)理想當且僅當φ(f)是S′關(guān)于θ′的粗糙模糊(素)理想.

所以∪{〈fA〉_:A是S有限子集}?f.設(shè)x∈S,取B={x},則

f(x)=fB(x)≤〈fB〉_(x)≤(∪{〈fA〉_:A是S有限子集})(x).

從而f?∪{〈fA〉_:A是S有限子集}.因此,

f=∪{〈fA〉_:A是S有限子集}.

[1] Pawlak Z.Rough Sets [J].International Journal of Computer and Information Sciences,1982,11(5):341-356.

[2] J?rvinen J.Lattice Theory for Rough Sets [C]//Transactions on Rough Sets Ⅳ.Berlin:Springer,2007:400-498.

[3] LIU Guilong,ZHU William.The Algebraic Structures of Generalized Rough Set Theory [J].Information Sciences,2008,178(21):4105-4113.

[4] Biswas R,Nanda S.Rough Groups and Rough Subgroups [J].Bulletin of the Polish Academy of Sciences Mathematics,1994,42(3):251-254.

[5] Dawaz B.Roughness in Rings [J].Information Sciences,2004,164(1/2/3/4):147-163.

[6] Kuroki N.Rough Ideals in Semigroups [J].Information Sciences,1997,100(1/2/3/4):139-163.

[7] Dubois D,Prade H.Editorial [J].Fuzzy Sets and Systems,1987,24(3):259-262.

[8] CHEN Degang,ZHANG Wenxiu,Yeung D,et al.Rough Approximations on a Complete Completely Distributive Lattice with Applications to Generalized Rough Sets [J].Information Sciences,2006,176(13):1829-1848.

[9] Estaji A A,Hooshmandasl M R,Davvaz B.Rough Set Theory Applied to Lattice Theory [J].Information Sciences,2012,200:108-122.

[10] LIU Guilong.Generalized Rough Sets over Fuzzy Lattices [J].Information Sciences,2008,178(6):1651-1662.

[11] QI Guilin,LIU Weiru.Rough Operations on Boolean Algebras [J].Information Sciences,2005,173(1/2/3):49-63.

[12] Estaji A A,Khodaii S,Bahrami S.On Rough Set and Fuzzy Sublattice [J].Information Sciences,2011,181(18):3981-3994.

[13] Kazanci O,Dawaz B.On the Structure of Rough Prime (Primary)Ideals and Rough Fuzzy Prime (Primary)Ideals in Commutative Rings [J].Information Sciences,2008,178(5):1343-1354.

[14] XIAO Qimei,ZHANG Zhenliang.Rough Prime Ideals and Rough Fuzzy Prime Ideals in Semigroups [J].Information Sciences,2006,176(6):725-733.

[15] Rosenthal K I.Quantales and Their Applications [M].New York:Longman Scientific and Technical,1990.

[16] Zadeh L A.Fuzzy Sets [J].Information and Control,1965,8:338-353.

[17] Kehayopulu N,Tsingelis M.The Embedding of an Ordered Groupoid into a Poe-Groupoid in Terms of Fuzzy Sets [J].Information Sciences,2003,152:231-236.

[18] XIE Xiangyun,TANG Jian.Fuzzy Radicals and Prime Fuzzy Ideals of Ordered Semigroups [J].Information Sciences,2008,178(22):4357-4374.

[19] 周欣,趙彬.m-半格的模糊理想 [J].西北大學(xué)學(xué)報,2015,45(2):202-206.(ZHOU Xin,ZHAO Bin.Fuzzy Ideals ofm-Semilattices [J].Journal of Northwest University,2015,45(2):202-206.)

[20] YANG Lingyun,XU Luoshan.Roughness in Quantales [J].Information Sciences,2013,220:568-579.

[21] LUO Qingjun,WANG Guojun.Roughness and Fuzziness in Quantales [J].Information Sciences,2014,271:14-30.

[22] Rodabaugh S E.Relationship of Algebraic Theories to Powersets over Objects in Set and Set×C [J].Fuzzy Sets and Systems,2010,161(3):453-470.

(責(zé)任編輯：趙立芹)

RoughFuzzyIdealsofm-Semilattices

ZHOU Xin,ZHAO Bin

(CollegeofMathematicsandInformationScience,ShaanxiNormalUniversity,Xi’an710062,China)

Using rough set theory,we proposed the congruences induced by fuzzy (prime)ideals of anm-semilattice and studied the properties of the upper (lower)rough fuzzy approximation operators with respect to these congruences.Then we introduced the notions of rough fuzzy (prime)ideals ofm-semilattices,and established the relationships between rough fuzzy (prime)ideals and fuzzy (prime)ideals and the relationships between rough fuzzy (prime)ideals and (prime)ideals ofm-semilattices.

m-semilattice;upper (lower)rough fuzzy approximation operator;(fuzzy)ideal;rough fuzzy (prime)ideal

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2015.03.15

2014-10-09.

周 欣(1986—),女,漢族,博士研究生,從事格上拓撲與模糊推理的研究,E-mail:sxxzx1986@163.com.通信作者：趙 彬(1965—),男,漢族,博士,教授,博士生導(dǎo)師,從事格上拓撲與模糊推理的研究,E-mail:zhaobin@snnu.edu.cn.

國家自然科學(xué)基金(批準號:11171196;11301316)和中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項基金(批準號:GK201302003;GK201501001).

O153.1

：A

：1671-5489(2015)03-0429-10