關(guān)于圖的距離無符號拉普拉斯譜半徑的下界

朱銀芬，王國平，陳 星

(1.新疆工程學(xué)院數(shù)理學(xué)院，烏魯木齊 830029;2.新疆師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，烏魯木齊830017)

如果一個連通圖G的點集是V(G)={v1，v2，…，vn}，那么圖G的距離矩陣D(G)=(dij)，其中dij表示點vi與vj之間的距離.令TrG(vi)表示點vi到圖G中其它所有點的距離之和，Tr(G)表示對角線位置的元素是TrG(vi)的對角矩陣.

圖G的距離拉普拉斯矩陣及距離無符號拉普拉斯矩陣分別被表示為LD(G)=Tr(G)-D(G)與QD(G)=Tr(G)+D(G)，它們的最大特征值λL(G)和λQ(G)分別是圖G的距離拉普拉斯譜半徑與距離無符號拉普拉斯譜半徑．

Aouchiche和Hansen在文獻[1]中引入了圖的距離拉普拉斯譜與距離無符號拉普拉斯譜的概念，并且在文獻[2]中證明了樹中星圖具有最小距離拉普拉斯譜半徑.近年來，關(guān)于距離拉普拉斯譜與距離無符號拉普拉斯譜的研究已經(jīng)有了長足的進展.Xing與Zhou[3]確定了雙圈圖中具有最小距離譜半徑與最小距離無符號拉普拉斯譜半徑的唯一圖.文獻[4]確定了在樹、單圈圖、雙圈圖、給定懸掛點數(shù)與連通度的圖中具有最小距離無符號拉普拉斯譜半徑的圖.Liu與Lu[5]確定了給定團數(shù)的距離無符號拉普拉斯譜半徑的界.Lin和Zhou[6]刻畫了在給定懸掛點數(shù)與邊連通度的圖中具最小的距離拉普拉斯譜半徑的唯一圖的特性.牛愛紅等[7]確定了給定匹配數(shù)或給定連通度的二部圖中具有最小距離拉普拉斯譜半徑的極圖．

本文確定了給定匹配數(shù)的圖的距離無符號拉普拉斯譜半徑的下界．

1 引理

先給出一些已知的結(jié)果．

引理1[1]圖G是連通圖，若uv?E(G)，那么λQ(G+uv)<λQ(G)．

引理2[1]設(shè)圖G是n階連通圖，那么λQ(G)≥λQ(Kn)=2(n-1)．

引理4[8]設(shè)A1與A2是n階實對稱矩，那么

λn(A2)+λi(A1)≤λi(A1+A2)，

其中λi(A)是A的第i大特征值．

引理5[8]設(shè)A是n階實對稱矩陣，M是A的s(s

λi+n-s(A)≤λi(M)≤λi(A)(1≤i≤s)，

其中λi(A)是A的第i大特征值.

若有X?V(G)，那么圖G的子圖G-X是將圖G的X中的點與X點相關(guān)聯(lián)的邊同時刪除后得到的.圖G的一個匹配是圖G中不相鄰的邊的集合，那么所有匹配中含有最大的邊數(shù)叫做圖G的匹配數(shù).若圖G的某個連通分支的點數(shù)是奇數(shù)，那么稱這個連通分支是圖G的奇連通分支;否則，稱這個連通分支是偶連通分支．

引理6[9-10]如果圖G是匹配數(shù)為m的n階圖，那么

n-2m=max{o(G-X)-|X|:X?V(G)}，

其中o(G-X)是圖G-X的奇連通分支數(shù)．

引理7[11]如果圖G是連通圖，那么λQ(G)>λL(G)．

2 定理及推論

?

Kn，則由引理1知λQ(G)>λQ(Kn)．

設(shè)G-X0的所有連通分支為H1，H2，…，Hk，Hk+1，…，Ht，其中H1，H2，…，Hk是G-X0的奇連通分支，Hk+1，…，Ht是G-X0的偶連通分支．

這樣，λQ(G)>2n-m．

下面假定s

情況1t=k.

在這種情況下G-X0的所有連通分支H1，H2，…，Hk都為奇連通分支.設(shè)|V(Hi)|=ni，則ni是奇數(shù)(i=1，2，…，k)．

下面先就G?Ks∨(Kn1∪Kn2∪…∪Knk)的情況進行驗證．

為方便書寫，不妨假定n1≤n2≤…≤nk.若n1=…=nk=1，則n=k+s．

注意到n-2m=k-s，這樣就有s=m，這與s

令M={v1u1，v2u2，…，vsus}∪Mp∪Mp+1∪…∪Mk，則M就是G的一個匹配．這樣，

注意到當p≤i≤k時，ni≥np.因此，

若p≥3，則n1=n2=1.設(shè)u與v分別是Kn1與Kn2中的那個點.在QD(G)中取2×2階主子矩陣:

因為k≥3，所以m≥s+1，進而

TrG(v)=TrG(u)=

s+2(n-s-1)≥2n-m-1，

令

由引理4與引理5，得到

λQ(G)≥λQ(A)≥λQ(A′)=2n-m+1>2n-m.

若p=2，那么n1=1，而對于所有的2≤i≤k都有ni≥3.設(shè)u∈Kn1且v∈Ks，類似可得，在QD(G)中取2×2階主子矩陣：

因為k≥3，于是得到m≥s+2.進而

TrG(v)=s+2(n-s-1)≥2n-m，

且

TrG(u)=n-1．

令

由引理4與引理5，得到

λQ(G)≥λQ(B)≥λQ(B′)=

2n-m.

若p=1，則對于所有的1≤i≤k都有ni≥3.下面針對k≥3的取值情況分類討論．

若k≥4，設(shè)u和v是Kn1中不同的兩個點.在QD(G)中取2×2階主子矩陣:

TrG(v)=TrG(u)=
s+n1-1+2(n-s-n1)≥2n-m.

令

由引理4與引理5得

λQ(G)≥λQ(C)≥λQ(C′)=

2n-m+1>2n-m.

當k=3且n3=3時，設(shè)u∈Kn1，v∈Kn2.在QD(G)中取2×2階主子矩陣：

TrG(v)=TrG(u)=s+n1-1+2(n-s-n1)
≥2n-s-4≥2n-m-1.

令

由引理4與引理5，得

λQ(G)≥λQ(D)≥λQ(D′)=

2n-m+1>2n-m.

當k=3且n3≥5時，設(shè)u和v是Kn1中不同的兩個點.在QD(G)中取2×2階主子矩陣:

進而有

TrG(v)=TrG(u)=

s+n1-1+2(n-s-n1)≥2n-m.

令

由引理4與引理5，得

λQ(G)≥λQ(E)≥λQ(E′)=2n-m+1>2n-m.

綜上所述，當G?Ks∨(Kn1∪Kn2∪…∪Knk)時，λQ(G)>2n-m.當GKs∨(Kn1∪Kn2∪…∪Knk)時，由引理1可知，

λQ(G)>λQ(Ks∨(Kn1∪Kn2∪…∪Knk))，

進而有λQ(G)>2n-m．

情況2t>k．

此時，G-X0不僅有k個奇連通分支，且有t-k個偶連通分支.將圖G的每一個偶連通分支Hj(k+1≤j≤t)中的某個點，與奇連通分支H1中的某個點連接一條邊后得到的圖記作G′.

顯然G′-X0也有k個奇連通分支，且圖G′的最大匹配數(shù)m(G′)≥m.由引理6，有

n-2m≥n-2m(G′)≥o(G′-X0)-|X0|=

o(G-X0)-|X0|=n-2m.