泛函微分方程波形松弛方法的收斂穩(wěn)定

范振成

(閩江學院數(shù)學與數(shù)據(jù)科學學院,福建福州350108)

§1 引 言

在芯片(大規(guī)模集成電路)設計領(lǐng)域,仿真計算作用重大.描述芯片的數(shù)學模型一般是超高維的微分代數(shù)方程組,使用諸如線性多步法和Runge-Kutta方法等經(jīng)典數(shù)值方法進行仿真計算時,因其計算量太大,效果不理想.描述芯片的高維微分代數(shù)方程組,一般是由若干聯(lián)系微弱的小方程組構(gòu)成,針對這個特點,基于解代數(shù)方程組的迭代法,Lelarasmee等提出了解微分方程的波形松弛方法[1],其基本想法是先利用迭代技術(shù)將大系統(tǒng)分成若干獨立的小系統(tǒng),然后根據(jù)各小系統(tǒng)的特點選用適合的經(jīng)典數(shù)值方法進行求解計算.與經(jīng)典方法相比,波形松弛方法因具有并行性和多速率兩個優(yōu)點,而更具優(yōu)勢.在物理,電子,生物等領(lǐng)域,事物將來的狀態(tài)往往不僅與現(xiàn)在狀態(tài)有關(guān),而且受過去狀態(tài)影響,此時泛函微分方程是更理想的模型.研究泛函微分方程的波形松弛方法是必要的.

考慮泛函微分方程(FDEs)

取分裂函數(shù)F(t,x,x,y(·))=f(t,x,y(·)),令x0(t)是(1)精確解x(t)的初始近似,滿足x0(t)=g(t),t∈I.建立迭代格式

由此可得x(t)的近似解序列{{xk(t):t∈I∪J},k=0,1,2,···},稱此方法為(1)的波形松弛方法.

[2]考慮延遲微分方程(一種特殊的泛函微分方程)的波形松弛方法

假設分裂函數(shù)F(xk+1(t),xk(t),xk(θ(t)))關(guān)于括號里第一項滿足單邊Lipschitz條件,關(guān)于第二三項滿足全局Lipschitz條件,在這兩個條件下,利用內(nèi)積的性質(zhì),得到了波形松弛解和對應準確解的差的不等式,在此基礎上證明了波形松弛方法是超線性收斂的.[3-5]研究泛函微分方程(2)的收斂性.在分裂函數(shù)F關(guān)于xk+1(t)滿足單邊Lipschitz條件,關(guān)于xk(t)和xk(·)滿足全局Lipschitz條件時,部分借鑒[2]的方法,文獻[3]證明了(2)是收斂的,文獻[4]得到了(2)生成的近似解的誤差估計,該估計揭示了延遲和誤差的的關(guān)系.文獻[5]針對分裂函數(shù)F滿足線性和非線性條件,和推廣的依賴時間的Lipschitz條件兩種情況,得到了新的誤差估計,并從不同的角度與全局Lipschitz條件下的誤差估計進行了比較.

近些年,圍繞收斂性,泛函微分方程波形松弛方法的研究工作持續(xù)推進.如推廣到中立型泛函微分方程,分數(shù)階泛函微分方程,隨機泛函微分方程等,參見[6-12].

在(2)的計算過程中,誤差不可避免.如果初始值或分裂函數(shù)的微小改變,將引起解的劇烈變動,即方法不穩(wěn)定,則方法沒有意義.目前罕見關(guān)于(2)穩(wěn)定的研究工作.考慮(2)的擾動系統(tǒng)

其中Fk+1≈F,k+1≈g,0≈x0.[3]研究了(2)和(3)的解的關(guān)系,證明了在某些條件下,當k→∞,Fk+1→F,k+1→g時,k→x.此結(jié)果說明了在某些條件下,初始值和分裂函數(shù)的微小改變不會引起解的劇烈變化,據(jù)作者所知這是唯一的與(2)穩(wěn)定性相關(guān)的工作.

本文借鑒文獻[2-4]提出的技術(shù),研究(2)的穩(wěn)定性.分析波形松弛方法(2)和它的擾動系統(tǒng)(3)的解的差,利用[2-4]的方法,推導得出了k?xk的估計式,進而根據(jù)該估計得到(2)的穩(wěn)定條件,改進了[3]的結(jié)果.

§2 主要結(jié)果

這說明了推論2.1改進了[3]的結(jié)果.

§3 定理的證明

§4 數(shù)值算例

圖1 波形松弛方法(25)與其擾動系統(tǒng)(26)的解的差

如果(25)中初始值和右端函數(shù)發(fā)生小的改變,則得到擾動系統(tǒng)

其中k=0,1,···,0(t)=x0(t)+ε0(t),對t∈[?1,100].

使用步長h=0.01的改進Euler方法(2階Runge-Kutta方法)分別求(25)和(26)在節(jié)點tn=nh,n=?1/h,?1/h+1,···,100/h的近似解{xk,n}和{k,n}.如果兩個近似解的差有界,則(25)穩(wěn)定,否則(25)不穩(wěn)定.為了滿足(H3)-(H5)并盡可能接近實際情況,取δk(tn)=rξk,n,εk(tn)=rζk,n,這里{ξk,n,ζk,n}是相互獨立的服從U(?1,1)(區(qū)間(-1,1)上的均勻分布)的隨機變量序列,r是一個正常數(shù).記ek,n=|k,n?xk,n|,在圖1中分別畫出了k=10,r=1,k=10,r=0.01,k=100,r=1和k=100,r=0.001時(25)和(26)的解的差{ek,n}.結(jié)果表明波形松弛方法(25)是穩(wěn)定的.

§5 結(jié)論

假設泛函微分方程波形松弛方法的初始值和每一步計算都有微小擾動,分析了生成的擾動系統(tǒng)的解的變化情況,得出了擾動系統(tǒng)和原系統(tǒng)的解的差的估計式.該估計說明,在很一般的條件下擾動系統(tǒng)的解變化不大,即波形松弛方法有較強的抗干擾能力.改進了文獻[3]的結(jié)果.文中提出的收斂穩(wěn)定不同于絕對穩(wěn)定,A穩(wěn)定等常見數(shù)值近似方法的穩(wěn)定,更接近零穩(wěn)定.眾所周知收斂蘊含零穩(wěn)定,目前尚不清楚收斂是否一定收斂穩(wěn)定.以后將繼續(xù)研究二者的關(guān)系.