基于置換思想的代數(shù)方程求解理論探析

趙增遜,馬 梅,王 偉

(陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)課部,陜西 渭南 714000)

1545年G·卡爾達(dá)諾出版《大術(shù)》，至此，歷經(jīng)數(shù)千年后,數(shù)學(xué)家解決了四次以下的代數(shù)方程求解問題[1]1-14,306-330。此后,數(shù)學(xué)家致力于解更高次代數(shù)方程[2]79-86。Lagrange提出用置換思想解代數(shù)方程，代數(shù)方程求解由尋找計算技巧轉(zhuǎn)變?yōu)閷ふ彝ㄓ梅椒╗3]1-128,從尋找求根公式變?yōu)閷ふ翌A(yù)解式[4]。Lagrange提出的一些重要概念,如域、置換群等,促使代數(shù)方程求解問題最終解決[5]。很多研究者,如伊夫斯[6]208-211、李迪[7]302-305、R·R·Hamburg[8]等,指出Lagrange的杰出貢獻(xiàn)是提出了置換思想。筆者深入研究Lagrange于1770—1771年發(fā)表的法語論文RéflexionssurlaRésolutionalgébriquedeséquations原文[9]205-421,嘗試還原Lagrange置換思想的產(chǎn)生過程。

1 置換思想產(chǎn)生的原因

事實上,到Lagrange時期,解代數(shù)方程已經(jīng)取得了一定的成果。Cardano,Ferrari,Tschirnhaus,Bezut,Euler等采用各自的方法,已經(jīng)解決三次、四次方程的求解問題。Lagrange發(fā)現(xiàn),他們的方法區(qū)別在于運算技巧,而本質(zhì)相同。Lagrange深受啟發(fā),提出輔助方程理論,即解三次方程需要預(yù)解一個二次的輔助方程,解四次方程需要預(yù)解一個三次的輔助方程,這樣，四次以下的方程可以通過解輔助方程而得到原方程的解。而在后續(xù)的研究中,Lagrange發(fā)現(xiàn)解五次方程需要預(yù)解一個二十四次的輔助方程(雖然其可化為六次)[10]27-59,很顯然,五次方程無法通過解輔助方程而得到解。此時,尋找一種區(qū)別于運用計算技巧的方法勢在必行。置換思想應(yīng)運而生。

2 置換思想產(chǎn)生過程

2.1 對已知解法的思考

解代數(shù)方程的關(guān)鍵是解其輔助方程。Cardano得到的三次方程的輔助方程為

不失一般性,設(shè)

x3+mx2+nx+p=0

x′3+n′x′+p′=0,

(1)

因此

即

(2)

(3)

式(2)、式(3)聯(lián)立,

(4)

知道

x3-1=(x-1)(x-α)(x-β)。

(5)

對式(5)求導(dǎo),

3x2=(x-α)(x-β)+(x-1)(x-β)+

(x-1)(x-α),

令x=1,α,β,有

(6)

將式(6)代入式(4)有

(7)

r即是輔助方程的根y的值,而對于式(7),可以任意交換a,b,c的位置,即

即輔助方程的根有6個,那么原方程的輔助方程必為六次。關(guān)于y的方程次數(shù)依賴于預(yù)解式在原方程根下置換的不同值的個數(shù)[9]213-217。

既然輔助方程的次數(shù)由預(yù)解式在原方程根下置換的不同值的個數(shù)確定[11]1-20,那么需要找到這個預(yù)解式,進(jìn)而確定輔助方程的次數(shù),構(gòu)造相應(yīng)的輔助方程,通過解輔助方程解原方程,其關(guān)鍵因素是置換思想。

2.2 用置換思想解代數(shù)方程

Lagrange嘗試用置換思想解代數(shù)方程。設(shè)

x3+mx2+nx+p=0

r=Aa+Bb+Cc,

則

αr=αAa+αBb+αCc

應(yīng)等于其他5個中的1個。若

αr=Ab+Bc+Ca,

則C=αA,B=α2A,α3A=A。令A(yù)=1,則C=α,B=α2,若

r=a+αb+α2c,

s=a+αc+α2b,

則輔助方程的根為r,ar，a2r;s,as,a2s。設(shè)輔助方程是關(guān)于y的方程,由

(y-r)(y-ar)(y-a2r)=y3-r3,

(y-s)(y-as)(y-a2s)=y3-s3,

故有

y6-(r3+s3)y3+r3s3=0。

由根與系數(shù)關(guān)系

a+b+c=-m,

ab+ac+bc=n,

abc=-p,

可知

r3+s3=-m3+9mn-27p,

r3s3=(m2-3n)3。

故輔助方程為

y6-(-2m3+9mn-27p)y3+(m2-3n)3=0。

令z=y3,得

z2-(-2m3+9mn-27p)z+(m2-3n)3=0。

(8)

與a+b+c=-m聯(lián)立方程組,得到原方程的根，

Lagrange用置換思想順利得到了三次方程的解。解方程關(guān)鍵是解輔助方程,確定輔助方程次數(shù)的核心是找到合適的預(yù)解式。

3 用置換思想求解代數(shù)方程的內(nèi)涵

一般意義上講,解代數(shù)方程就是解輔助方程,需要尋找一個預(yù)解式,該預(yù)解式在原方程根的置換下取不同值的個數(shù)即為輔助方程的次數(shù)。如果解n次方程能得到一個r(r

事實上并不簡單。Lagrange嘗試用置換思想解n次(五次及五次以上)代數(shù)方程,發(fā)現(xiàn)r次的輔助方程并不好找。但運用置換方法解代數(shù)方程的思想已經(jīng)形成,代數(shù)學(xué)家開始按這種思路解高次的代數(shù)方程,Gauss將它運用在分圓方程上取得了輝煌的成就,Ruffini繼續(xù)了Lagrange的工作,最終宣布五次及五次以上代數(shù)方程一般沒有根式解,Abel給出了五次及五次以上代數(shù)方程沒有一般解的證明,Galois最終取得了解代數(shù)方程的勝利。

4 結(jié)束語

用置換思想解代數(shù)方程是一元代數(shù)方程求解史上的偉大發(fā)現(xiàn)之一,直接動因是Lagrange解五次及五次以上代數(shù)方程,它也是Lagrange輔助方程理論的直接結(jié)果。置換思想是代數(shù)方程求解發(fā)展到一定階段的必然產(chǎn)物,是Lagrange經(jīng)過認(rèn)真計算、縝密思考、嚴(yán)格實踐得出的。