模型論方法在格中的應(yīng)用①

陸煜杰， 陳國(guó)龍

(1.淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000;2.宿州學(xué)院,安徽 宿州 234000)

0 引 言

模型論是數(shù)理邏輯的主要分支學(xué)科之一,是研究形式語(yǔ)言及其解釋(模型)之間關(guān)系的理論。它是一個(gè)年輕的分支,近年來(lái)發(fā)展較快,并開(kāi)始將模型論方法應(yīng)用到多個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中,從而得出各個(gè)不同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)及其理論所特有的性質(zhì)。如利用緊致性定理去解決高等代數(shù)中有限維線(xiàn)性空間問(wèn)題和討論其在群環(huán)域中的相關(guān)應(yīng)用,利用完全理論證明代數(shù)中的向量組擴(kuò)充問(wèn)題及在有限線(xiàn)性域中完全弱理論與模型弱理論等價(jià)問(wèn)題。在此基礎(chǔ)上將緊致性定理和完全理論運(yùn)用到格中去證明相關(guān)性質(zhì)。第一部分給出格,緊致性定理和完全理論的相關(guān)定義及引理。第二部分運(yùn)用緊致性定理證明兩個(gè)格在滿(mǎn)足一定條件下形成子格的關(guān)系和證明冪集格是完備格，運(yùn)用完全理論證明偏序集是任意并的即為意交的(完備∧-半格)。

1 準(zhǔn)備工作

定義1[3]設(shè)P是集,是P上的二元關(guān)系?？紤]以下性質(zhì):

(1)自反性:?a∈P,aa;

(2)反對(duì)稱(chēng)性:?a,b∈P,ab,ba?a=b;

(3)傳遞性:?a,b,c∈P,ab,bc?ac。

定義2[2]設(shè)(L,)是偏序集,若L關(guān)于有限并與有限交都封閉,則稱(chēng)(L,)偏序集為格。

定義3[3]設(shè)(L,)是格,S?L。若S對(duì)于L中的有限并與有限交都封閉,則稱(chēng)S是L的子格。

定義4[4](緊致性定理)L中理論T有模型的充分必要條件是T的每一有限子集都有模型。

定義5[4]設(shè)T是L中的理論。如果對(duì)于T的任何模型μ,β都有μ≡β(初等等價(jià)),則稱(chēng)T為完全的。

引理1[3]設(shè)L1,L2都是格,f:L1→L2是映射,若f保有限并和有限交,則稱(chēng)f為格同態(tài)。單滿(mǎn)的格同態(tài)稱(chēng)為格同構(gòu)。

引理2[3]有任意并的偏序集稱(chēng)為完備∨-半格。有任意交的偏序集稱(chēng)為完備∧-半格。有任意并與任意交的偏序集稱(chēng)為完備格。

2 主要結(jié)果的證明

定理1 假設(shè)L1,L2都是格。若f:L1→L2是映射,并且是序同構(gòu)。證明f(L1)是L2的子格。

證明: 若f(L1)是L2的子格。由定義3可知,f(L1)?L2,f(L1)對(duì)于L2中的有限并與有限交都封閉。因?yàn)長(zhǎng)1,L2都是格,f:L1→L2是映射,并且是序同構(gòu)。所以f是單滿(mǎn)的格同態(tài)。從而f保有限并和有限交,并且f(L1)?L2。由模型論中的緊致性定理可知,f(L1)保有限并與有限交。則在L2中具有封閉性。這就證明了f(L1)對(duì)于L2中的有限并與有限交都封閉。所以f(L1)是L2的子格。

定理2 假設(shè)(P,)是偏序集,偏序集(P,)是任意并的,證明偏序集(P,)是任意交的。

證明: 因?yàn)?P,)是偏序集,所以(P,)滿(mǎn)足定義1中的性質(zhì)。由引理2可知,任意交的偏序集為完備∧-半格,任意并的偏序集為完備∨-半格。從而假設(shè)S?P,a是S的一個(gè)下界。M是S的下界的集合,a=∨M。s∈S且s>a。所以s是S的上界。由定義5可知,a滿(mǎn)足S當(dāng)且僅當(dāng)s滿(mǎn)足S。a與s是初等等價(jià)的。從而a=∧M。這就證明了偏序集(P,)是任意交的。

定理3 假設(shè)L是集合S的有限冪集,證明冪集格是完備格。

證明:L是集合S的有限冪集。從而滿(mǎn)足對(duì)于A,B?L(S)滿(mǎn)足ab?A?B。由定義1可知(L,)是偏序集,并且有限并與有限交都是封閉的。即?a,b∈L(S),a∨b與a∧b都存在。所以偏序集(L,)是格。故有限冪集格是完備格。由模型論中的緊致性定理可知,冪集格是完備格。

3 結(jié) 語(yǔ)

通過(guò)將模型論方法中的緊致性定理和完全理論應(yīng)用到格中,證明了滿(mǎn)足一定條件下的兩個(gè)格是子格關(guān)系,任意并的偏序集(完備∨-半格)即為任意交的偏序集(完備∧-半格)和冪集格是完備格。