廣義Sierpinski墊片及其推廣形式的Hausdorff上測度的探究①

張?jiān)担?齊 雪

(安徽科技學(xué)院信息與網(wǎng)絡(luò)工程學(xué)院，安徽 鳳陽 233100)

0 引 言

對于普通經(jīng)典集合類和函數(shù)類的探究可使用微積分知識進(jìn)行，但是對于一些非曲線的不規(guī)則集即分形的研究確實(shí)是很困難的，但它們卻能更好地反映自然界萬象。所以有必要研究自相似分形集合的Hausdorff測度與維數(shù)，但自相似分形集的Hausdorff測度與維數(shù)是很難精確求出的，即使自相似分形集的Hausdorff測度的上界估計(jì)都沒有統(tǒng)一的說法，例如Sierpinski墊片的Hausdorff上測度的探究，文獻(xiàn)[1～3]都做出過探究，文獻(xiàn)[1]得出Sierpinski墊片的Hausdorff一個(gè)最大上界為：0.8701。文獻(xiàn)[2]得出Sierpinski墊片的Hausdorff一個(gè)最大上界為：0.870031853。文獻(xiàn)[3]得出Sierpinski墊片的Hausdorff一個(gè)最大上界為：0.8393?？梢钥闯鑫墨I(xiàn)[3]的結(jié)果誤差較大，而文獻(xiàn)[2]的結(jié)果較為精確。而這也是可以理解的，同一個(gè)自相似分形利用不同的方法所得到的Hausdorff測度的上界是不一樣的。文章先利用八邊形覆蓋的方法來探索一類廣義Sierpinski墊片的Hausdorff測度上界的值，然后再將廣義Sierpinski墊片試著進(jìn)一步推廣并探究其Hausdorff上測度，需要注意Sierpinski墊片有的文獻(xiàn)里也稱Sierpinski地毯。

1 廣義Sierpinski墊片的形成

圖1 自相似集合F的迭代過程

這是一種Hausdorff維數(shù)的近似估計(jì)方法，接下來視圖探討廣義Sierpinski墊片F(xiàn)的Hausdorff上測度的估計(jì)方法。在此之前先介紹幾個(gè)定理。

2 幾個(gè)相關(guān)定理

定理3Hs(F)引自文獻(xiàn)[5])。

證明第一步假設(shè)D是閉集，D的補(bǔ)集記為Dc，故有F=(F∩D)∪(F∩Dc),從而推得,有

(1)

又因?yàn)镕i∩Fj的維數(shù)至多為1，所以

(2)

再由定理2可得:

(3)

且有：

(4)

(5)

(6)

令(6)中的ε→0得：

Hs(D∩F)|U|s

(7)

(8)

1

(9)

當(dāng)Hs(F)>0時(shí)，令(9)式中的ε→0得：

(10)

又

(11)

聯(lián)立(10)，(11)兩式可得：

3 探究廣義Sierpinski墊片F(xiàn)的Hausdorff上測度

結(jié)論1 廣義Sierpinski墊片F(xiàn)的Hausdorff上測度的粗糙估計(jì)為Hs(F)1.6608。

結(jié)論2 廣義Sierpinski墊片F(xiàn)的Hausdorff上測度的近似估計(jì)為Hs(F)0.6481。

這個(gè)結(jié)果相比結(jié)論1的結(jié)果精確度更高。

圖2 Borel集合 D的選取方式)

4 廣義Sierpinski墊片F(xiàn)的推廣

圖3 自相似集合G的迭代過程

5 G的Hausdorff上測度估計(jì)

圖4 Borel集合 E的選取方式

5 結(jié) 語

利用了八邊形覆蓋的方法探索了一類廣義Sierpinski墊片的Hausdorff測度上界的值，然后再將廣義Sierpinski墊片做了進(jìn)一步推廣并探究了其Hausdorff上測度，最后得到的數(shù)據(jù)比文獻(xiàn)[3]的結(jié)論要更加精確。