有限偏序集上的強濾子及其應用

劉志禹， 姜廣浩， 唐照勇

(淮北師范大學數(shù)學科學學院,安徽淮北 235000)

有限偏序集上的強濾子及其應用

劉志禹， 姜廣浩， 唐照勇

(淮北師范大學數(shù)學科學學院,安徽淮北 235000)

本文在偏序集上引入強濾子的概念,并在有限偏序集上探討強濾子與(非)連通偏序集之間的關系.

強集； 強濾子； 不交并偏序集； (非)連通偏序集

1 引言與預備知識

唐照勇等在文獻[5]中給出了另一種等價的數(shù)學語言來刻畫有限偏序集的連通性,進而將有限偏序集分為連通和非連通兩種類型， 并在有限偏序集上探討了強理想與(非)連通偏序集之間的關系. 受此啟發(fā)， 本文在偏序集上引入強濾子的概念,并在有限偏序集上探討強濾子與(非)連通偏序集的關系. 文中A?B指的是集合A真包含于B.

定義1.2 設F是偏序集(E,≤)的非空子集， 稱F是E的上(下)集， 如果對?a∈F,x∈E,若a≤x(x≤a)蘊含x∈F,即F=↑F(F=↓F) .

定義1.3 稱非空子集F是偏序集(E,≤)的濾子.如果F滿足以下條件:

(1)余定向： ?a,b∈F,?c∈F使得c≤a,c≤b；

(2)上集 ： ?a∈F,b∈E,若a≤b蘊含b∈F.

定義1.4 設F是偏序集(E,≤)的非空子集， 稱F是E的強集， 若F既是上集又是下集.

2 強濾子

定義2.1 設F為偏序集(E,≤)的濾子， 對?a∈F,b,c∈E, 若a≤x,b≤c蘊含b∈F， 則稱F是偏序集(E,≤)的強濾子(簡稱F是E的強濾子).若真子集F為偏序集(E,≤)的強濾子， 則稱F是偏序集(E,≤)的真強濾子.

定理2.1F是偏序集(E,≤)的強濾子當且僅當F是E的余定向強集.

證明 必要性： 設F是偏序集E的強濾子, 則F是濾子， 進而為余定向上集.下證F是下集.假設a∈F,b∈E，b≤a， 易知a∈F，a，b∈E，且a≤a，b≤c.由強濾子定義知b∈F. 故F是下集， 進而F是E的余定向強集.

充分性： 設F是E的余定向強集,假設a∈F，b，c∈E,a≤c,b≤c,下證b∈F.由F為上集及a≤c知c∈F.再由F是下集及b≤c知b∈F.故F是E的強濾子.

3 應用

定義3.1 設(E,≤)是偏序集，a∈E.按以下步驟操作：

定義3.3 設H是有限偏序集(E,≤)的非空子集，a,b∈E. 若[a]=[b]， 則稱元素a和b在E上是連通的， 簡稱a和b是連通的， 記作a∶b.否則， 若[a]Ⅰ[b]=?， 則稱元素a和b在E上是不連通的.若H中任意兩個元素在E上都是連通的, 則稱H是E的連通子集. 否則稱H為非連通子集.特別， 若E自身為非連通(連通)的， 則稱E為非連通(連通)偏序集.

注3.1： 設(E,≤)是有限偏序集，a,b∈E.則要么[a]=[b]， 要么[a]Ⅰ[b]=?[5]. 依據(jù)此可知， 兩個連通分支只有兩種關系.

定義3.4 設(E1,≤1),(E2,≤2)是兩個交為空的偏序集.構(gòu)造集合E=E1∪E2.下面定義E上的一個二元關系≤ ：

?x,y∈E,x≤y?(x,y∈E1,x≤1y)

或(x,y∈E2,x≤2y).

定理3.1 設(E， ≤)是偏序集.若E中存在真強濾子, 則(F， ≤)可以看作不交并偏序集.

引理3.1 設F是有限偏序集(E,≤)的非空子集， 則F是E的連通分支當且僅當F既是強集又是連通子集.

定理3.2 設F是偏序集(E,≤)的非空子集.則F是余定向連通分支當且僅當F是強濾子.

證明 必要性： 設F是余定向連通分支， 由引理3.1可知F是強集,又F是余定向的， 故F是余定向強集.依據(jù)定理2.1知F是強濾子.

引理3.3 設(E,≤)是有限偏序集，a,b∈E.則b∈[a] 的充要條件是a∶b.

定理3.3 設(E,≤)是有限偏序集.若E中存在真強濾子， 則E必是非連通偏序集.

證明 設E1是E的真強濾子， 記E2=EE1， 則E2不空.依據(jù)定理3.2知，E1是連通分支， 記E1=[a].取b∈E2,下證a∶. 反證法， 假設a∶b， 由引理3.3知b∈[a]=E1,但這與b∈E2=EE1矛盾.故E是非連通偏序集.

引理3.4 設(E,≤)是有限偏序集，a∈E.則[a]是E的連通子集.

定理3.4 設(E,≤)是有限偏序集.則以下條件等價:

1)E是非連通偏序集,且至少有一個連通分支是余定向的;

2)E中存在真強濾子;

證明 1)?2)設非連通偏序集E的連通分支F是余定向的， 由定理3.2必要性知F是強濾子.又F是非連通偏序集， 則F?E.否則F=E， 依據(jù)引理3.4可知，E是連通偏序集,這與題設條件矛盾.故F是真強濾子.

2)?1) 設F是E的真強濾子， 由定理3.3可知E是非連通偏序集.再由定理3.2充分性知F是E的一個連通分支且是余定向的.

[1] 方捷.格論導引.現(xiàn)代數(shù)學基礎[M].北京： 高等教育出版社,2014.

[2] Gierz G, Hofmann H, Keimel K, et al. Continuous lattices and domains [M]. Cambridge :Cambridge University Press，2003.

[3] 鄭崇友， 樊磊， 崔宏斌.Frame與連續(xù)格[M].北京： 首都師范大學出版社,2000.

[4] 姜廣浩， 徐羅山.偏序集上的濾子極大理想[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學， 2007， 21(4)： 35-42.

Strong Filter on Finite Poset and Some Applications

LIU Zhi-yu, JIANG Guang-hao, TANG Zhao-yong

(School of Mathematical Science, Huaibei Normal University, Huaibei 235000, China)

In this paper, the concept of strong filter on poset is introduced. In addition, the relation between strong filter and disconnected/connected poset is discussed on finite posets.

strong set; strong filter; disjoint poset; disconnected/connected poset

O144

A

1009-4970(2017)11-0016-03

2017-06-20

國家自然科學基金資助項目(11361028)； 安徽高等學校省級自然科學研究重點項目(KJ2013A236, KJ2017A378)； 淮北師范大學研究生創(chuàng)新基金項目(yjscx201720)

劉志禹(1991—), 男， 安徽亳州人， 碩士. 研究方向：一般拓撲學.

[責任編輯 胡廷鋒]