相容濾子完備偏序集上投射算子的幾個(gè)性質(zhì)

朱潤秋，盧 濤

(淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,安徽 淮北 235000)

0 引言

連續(xù)格理論集序結(jié)構(gòu)、代數(shù)結(jié)構(gòu)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的研究于一體，是拓?fù)鋵W(xué)和理論計(jì)算機(jī)科學(xué)研究者共同關(guān)注的一個(gè)重要領(lǐng)域[1-3]．隨著研究的深入，人們將連續(xù)格中關(guān)鍵的雙小于關(guān)系移植到偏序集上，產(chǎn)生了連續(xù)偏序集的概念，得到了豐富的成果[4-8]．

近年來，徐羅山教授針對(duì)實(shí)數(shù)集、自然數(shù)集的序結(jié)構(gòu)特點(diǎn)(不是定向完備的)在文獻(xiàn)[9-11]中提出了相容定向集、相容定向完備偏序集的概念，將實(shí)數(shù)集和自然數(shù)集引入到研究對(duì)象中來，推廣了Domain理論的研究范圍，得到了許多好的結(jié)果．本文對(duì)偶地引入了相容濾子集、相容濾子完備偏序集的概念，并研究了偏序集及相容濾子完備偏序集上投射算子的幾個(gè)性質(zhì)，得到的相應(yīng)結(jié)果豐富了偏序集上的算子理論．

1 預(yù)備知識(shí)

先介紹一些預(yù)備知識(shí)．

定義1[4]設(shè)L是一個(gè)偏序集，L的非空子集A稱為濾子的，若對(duì)任意的a,b∈A,存在c∈A，使得c≤a,c≤b．若L中的每一個(gè)濾子集都有下確界，則稱L是濾子完備偏序集．

定義2設(shè)L是一個(gè)偏序集，?≠F?L，若F是濾子且存在d∈L使得F?↑d，則稱F為L的相容濾子集．

定義3設(shè)L是一個(gè)偏序集，若對(duì)L中每一個(gè)相容濾子集F，F(xiàn)在L中的下確界infF存在，則稱L是相容濾子完備偏序集．

定義4[4]設(shè)L是一個(gè)偏序集，

(1) 若p:L→L是單調(diào)的，冪等的(即p=p°p)，則p稱為投射算子(簡稱投射)．

(2) 若c是L上的投射算子且lL≤c，則稱c為閉包算子．

(3) 若k是L上的投射算子且k≤lL，則稱k為核算子．

注：以下我們記p(L)是L在p下的像(關(guān)于L的誘導(dǎo)序)，注意到p:L→L是冪等的，則對(duì)任意的x∈p(L)，我們有p(x)=x．

2 主要結(jié)果

命題1設(shè)L是相容濾子完備偏序集，p:L→L是投射算子，則

(2) 若p是核算子，則p(x)=max{y∈p(L)|y≤x},?x∈L；

(3) 若p是Scott連續(xù)的，則p(L)為相容濾子完備偏序集．

(2) 若p是核算子，則?x∈L，p(x)≤x,p(x)∈p(L)，即

p(x)∈{y∈p(L)|y≤x}

又?y∈{y∈p(L)|y≤x}，有y=p(y)≤p(x)，故

p(x)=max{y∈p(L)|y≤x},?x∈L．

(3) 設(shè)F?p(L)是相容濾子集，由L是相容濾子完備偏序集,故下確界infF在L中存在，又p：L→L是Scott連續(xù)的投射算子，則p(infF)=infp(F)=infF，即infF∈p(L),故p(L)為相容濾子完備偏序集．

引理1設(shè)g:L→M是完備格間的保交映射，則g(L)在M中關(guān)于交封閉．

證明：令Y?g(L)且X=g-1(Y)，則g(X)=Y．由g保交知

infY=infg(X)=g(infX)

因此infY∈g(L)，即g(L)在M中關(guān)于交封閉．

注：上述結(jié)論對(duì)于g保濾子交時(shí)不成立，即若g:L→M是完備格間的保濾子交映射，則g(L)在M中不一定關(guān)于濾子交封閉．但當(dāng)映射為投射時(shí)，我們有下面的結(jié)論成立．

命題2設(shè)P：L→L是偏序集L上的投射算子，p(L)是L在p下的像，若X?p(L)且infLX存在，則infp(L)X存在且infp(L)X=p(infLX)．

證明：設(shè)X?p(L)且infLX存在，?x∈X,由infLX≤x以及p是單調(diào)的，有p(infLX)≤p(x)，又p是冪等的，則p(infLX)≤p(x)=x，從而p(infLX)是X在p(L)中的一個(gè)下界．令a∈p(L)是X在p(L)中的另一個(gè)下界，則a≤infLX，因此由p是單調(diào)的、冪等的知a=p(a)≤p(infLX)，故p(infLX)是X在p(L)中的最小的下界，即infp(L)X存在且infp(L)X=p(infLX)．

命題3設(shè)p:L→L是偏序集L上的投射算子，p(L)是L在p下的像，若p保濾子交，則p(L)在L中對(duì)濾子交封閉，即對(duì)每一個(gè)濾子集F?p(L)且infLF存在，則infp(L)F存在且infp(L)F=infLF．

證明：設(shè)F?p(L)是濾子集且infLF存在，則由命題1知，infp(L)F存在且infp(L)F=p(infLF),若p保濾子交，則p(infLF)=infLp(F)，又p是冪等的，則有infLp(F)=infLF，從而infp(L)F=infLF．

命題4設(shè)p:L→L是偏序集L上的投射算子，若p保相容濾子交，則p(L)在L中對(duì)相容濾子交封閉，即對(duì)每一個(gè)相容濾子集F?p(L)且infLF存在，則infp(L)F存在且infp(L)F=infLF．

證明：設(shè)F?p(L)是相容濾子集且infLF存在，則由命題1知infp(L)F=p(infLF),若p保相容濾子交，則p(infLF)=infLp(F)，又p是冪等的，則有infLp(F)=infLF，從而infp(L)F=infLF．

注：若L為相容濾子完備偏序集，p:L→L是保相容濾子交的投射算子，則命題3，命題4可簡述為：infp(L)F=p(infLF)=infLF，其中F?p(L)為相容濾子集．

[1]Gierz G. A Compendium of Continuous Lattices [M]. Berlin: Springer-Verlag,1980.

[2]Engelking R.General topology[M]. Warszawa:Polish Sic Publ,1977.

[3]鄭崇友,樊 磊,崔宏斌.Frame與連續(xù)格[M]. 北京:首都師范大出版社,2000.

[4]Gierz G, Hofmann K H, Keimel K, etal. Continuous Lattice and Domains [M].Cambridge: Cambridge University Press, 2003.

[5]鄧自克. 廣義連續(xù)格I,II [J]. 湖南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 1996,23(3): 1-3; 1996,23(5):1～3.

[6]何衛(wèi)民. 相容連續(xù)Domain的遺傳性[J]. 模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué), 2010,24(1): 56～59.

[7]肖 璨,姜廣浩,楊 慧. 偏序集上的理想極大濾子及其應(yīng)用[J]. 吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2013,34(1):13～15.

[8]劉德金. 關(guān)于子基的正規(guī)空間和相對(duì)正規(guī)性[J]. 吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2013,34(4): 87～89.

[9]徐羅山. 區(qū)間數(shù)系的內(nèi)蘊(yùn)拓?fù)浼岸攘勘硎綶J]. 揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 1999,2(1):1～5.

[10]徐羅山. 相容連續(xù)偏序集及其定向完備化[J]. 揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2000,3(1): 1～10.

[11]徐羅山. 相容L-domain及其相關(guān)范疇性質(zhì)[J]. 揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2002,5(1): 1～7.