大單元視角下函數(shù)概念的教學(xué)方案

函數(shù)是數(shù)學(xué)甚至所有科學(xué)的基本概念，應(yīng)用廣泛且抽象性強(qiáng)，理解和掌握并非易事。傳統(tǒng)教學(xué)重定義灌輸導(dǎo)致部分學(xué)生理解困難。以大單元理念為指導(dǎo)，教學(xué)分為4個(gè)階段，即初步感知、形式化表達(dá)、深入感知和綜合應(yīng)用。

一、初步感知階段

教師通過(guò)生活實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生直觀感受變量之間的關(guān)系，從而為后續(xù)更抽象的概念打下基礎(chǔ)。第一步，要選擇合適的實(shí)際問題或生活場(chǎng)景，如物價(jià)隨時(shí)間的變化、汽車行駛距離與時(shí)間的關(guān)系等。第二步，引入簡(jiǎn)單的圖表表示，讓學(xué)生自己動(dòng)手制作簡(jiǎn)單的表格，記錄不同時(shí)間點(diǎn)的數(shù)據(jù)對(duì)比，并利用折線圖、柱狀圖等形式將上述表格數(shù)據(jù)可視化，幫助學(xué)生看到數(shù)值變化的趨勢(shì)，這有助于他們理解輸入值和輸出值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。第三步，引導(dǎo)學(xué)生提出假設(shè)并驗(yàn)證，鼓勵(lì)學(xué)生基于已有經(jīng)驗(yàn)和觀察，提出對(duì)某一現(xiàn)象背后規(guī)律的猜想，再組織學(xué)生驗(yàn)證，教師則適時(shí)幫助學(xué)生總結(jié)出一般性的結(jié)論。第四步，強(qiáng)調(diào)因果關(guān)系與規(guī)則提煉，在具體情境中，要明確指出哪些因素影響了其他因素，以及這種影響是如何發(fā)生的。然后從多個(gè)相似的情境中抽象出共同的模式或規(guī)律，進(jìn)而引出函數(shù)的基本思想，即一個(gè)量的變化會(huì)引起另一個(gè)量相應(yīng)的變化

以物價(jià)變動(dòng)模擬為示例，方案如下。

（1）活動(dòng)目標(biāo)：通過(guò)模擬商品價(jià)格隨時(shí)間變化的過(guò)程，學(xué)生直觀感受到變量之間的依賴關(guān)系。（2）準(zhǔn)備材料：模擬紙幣、商品標(biāo)簽、數(shù)據(jù)記錄表、紙張、鉛筆、尺子。（3）設(shè)定背景：扮演店主和顧客，模擬一家小店的商品銷售情況。設(shè)定初始價(jià)格，并規(guī)定每隔一周，店主根據(jù)市場(chǎng)需求調(diào)整價(jià)格（4）角色分配：一部分學(xué)生扮演店主，負(fù)責(zé)制定價(jià)格策略；另一部分學(xué)生扮演顧客，根據(jù)價(jià)格決定是否購(gòu)買商品。（5）數(shù)據(jù)收集：每次價(jià)格調(diào)整后，記錄當(dāng)前時(shí)間和對(duì)應(yīng)的售價(jià)。（6）數(shù)據(jù)分析：全體學(xué)生一起整理所有記錄的數(shù)據(jù)，制作成圖表，觀察價(jià)格隨時(shí)間的變化趨勢(shì)。（7）討論總結(jié)：引導(dǎo)學(xué)生思考為什么價(jià)格會(huì)變化？這些變化是否有規(guī)律可循？最后，引出函數(shù)的概念，即一個(gè)量（時(shí)間）決定了另一個(gè)量（價(jià)格）的變化。

二、形式化表達(dá)階段

讓學(xué)生學(xué)會(huì)用符號(hào)和公式來(lái)描述變量之間的關(guān)系，并理解這些符號(hào)背后的數(shù)學(xué)意義。第一步，復(fù)習(xí)與引入，簡(jiǎn)要復(fù)習(xí)之前通過(guò)具體情境所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)情境中的變化規(guī)律，解釋為什么需使用符號(hào)簡(jiǎn)化表達(dá)復(fù)雜的變量關(guān)系，使溝通更清晰、準(zhǔn)確。第二步，逐步引入符號(hào)，首先明確自變量（輸入值）和因變量（輸出值），并用字母表示，通用的如 f（x）=2x+3 ；其次區(qū)分變量與常量的概念，說(shuō)明哪些因素在給定情況下保持不變。第三步，練習(xí)符號(hào)表達(dá)，引導(dǎo)學(xué)生將之前學(xué)習(xí)的具體情境轉(zhuǎn)化為符號(hào)表達(dá)。第四步，理解和應(yīng)用函數(shù)公式，詳細(xì)講解每個(gè)符號(hào)的意義及其在公式中的作用，如在二次函數(shù) f（x）=ax²+bx+c 中，a控制開口方向及寬度，b影響對(duì)稱軸位置，而c決定了圖象與y軸交點(diǎn)的位置。第五步，強(qiáng)化圖形與符號(hào)的聯(lián)系，教學(xué)生如何根據(jù)符號(hào)表達(dá)繪制函數(shù)圖象，反之亦然

以線性函數(shù)的應(yīng)用為例組織教學(xué)活動(dòng)，方案如下：

（1）活動(dòng)目標(biāo)：通過(guò)生活實(shí)例，讓學(xué)生掌握線性函數(shù)的符號(hào)表示方法，并靈活應(yīng)用于問題解決

（2）準(zhǔn)備材料：紙筆、數(shù)據(jù)記錄表。

（3）設(shè)定背景：假設(shè)你正在經(jīng)營(yíng)一家咖啡店，每杯咖啡售價(jià)為10元，每天固定成本為200元。你想知道一天內(nèi)售出多少杯咖啡才能達(dá)到盈虧平衡點(diǎn)。

（4）構(gòu)建函數(shù)模型：設(shè) x 表示售出的咖啡數(shù)量（自變量）;總收入 R（x） 為 10× ；總成本 C（x） 為 200+0?x （假設(shè)每杯咖啡的成本忽略不計(jì)）;盈利 P（x）=R（x） -C（x）=10x-200 求解盈虧平衡點(diǎn)：設(shè)置 P（x）=0 ，即10x-200=0 ，解得 x=20 這意味著你需要賣出20杯咖啡才剛好收回成本。

（5）拓展思考：進(jìn)一步探討如果想要獲得額外利潤(rùn)，應(yīng)如何調(diào)整售價(jià)或降低成本？引導(dǎo)學(xué)生修改函數(shù)模型，并重新計(jì)算新的盈虧平衡點(diǎn)。

（6）歸納總結(jié)：回顧整個(gè)過(guò)程，強(qiáng)調(diào)符號(hào)表達(dá)的重要性以及它在實(shí)際問題解決中的應(yīng)用價(jià)值。

三、深入感知階段

第一步，復(fù)習(xí)與過(guò)渡，簡(jiǎn)要復(fù)習(xí)之前學(xué)習(xí)的函數(shù)符號(hào)表達(dá)法，確保學(xué)生對(duì)常見類型的函數(shù)（線性、二次、指數(shù)、三角等）有清晰的認(rèn)識(shí)，解釋為什么需研究函數(shù)的性質(zhì)，這有助于更全面地理解和預(yù)測(cè)函數(shù)的變化趨勢(shì)。第二步，給出定義與分類，根據(jù)不同類型的函數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生觀察其圖象并歸納出相應(yīng)的性質(zhì)。第三步，圖象與解析式的結(jié)合，學(xué)生親手繪制一些常見的函數(shù)圖象，通過(guò)直觀感受加深對(duì)函數(shù)性質(zhì)的理解；引導(dǎo)學(xué)生如何從圖象中提取信息并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述出來(lái)，比如觀察拋物線開口方向可以判斷二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)，查看函數(shù)是否有對(duì)稱軸可以幫助確定奇偶性。反過(guò)來(lái)，給定一個(gè)函數(shù)解析式，要求學(xué)生預(yù)測(cè)其大致圖像形狀及重要特征點(diǎn)的位置。第四步，性質(zhì)探究活動(dòng)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)探究函數(shù)的性質(zhì)。

對(duì)函數(shù)性質(zhì)探究的示例方案如下，本示例僅作為探討函數(shù)性質(zhì)的目的，因此所采用的指數(shù)函數(shù)模型并不超綱。（1）活動(dòng)目標(biāo)：通過(guò)實(shí)驗(yàn)，學(xué)生深入理解函數(shù)的基本性質(zhì)，并學(xué)會(huì)使用這些性質(zhì)解決問題。（2）準(zhǔn)備材料：圖紙、數(shù)據(jù)記錄表、實(shí)驗(yàn)器材。（3）設(shè)定背景：假設(shè)你們正在研究一種新型藥物的效果，已知其有效成分濃度隨時(shí)間變化遵循某種函數(shù)關(guān)系，為了更好地了解這種變化規(guī)律，你們決定進(jìn)行一系列實(shí)驗(yàn)。（4）構(gòu)建函數(shù)模型：假設(shè)藥物濃度C（t）隨時(shí)間t變化的函數(shù)形式為 C（t）=A?e^+t+BC ，其中 A，k 和B是待定參數(shù)。（5）實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)：設(shè)計(jì)不同初始條件下的實(shí)驗(yàn)組，記錄每次測(cè)量的時(shí)間點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的藥物濃度值。使用圖形計(jì)算器繪制實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)，并嘗試擬合最佳函數(shù)曲線。（6）性質(zhì)分析：觀察所得到的函數(shù)圖像，分析其單調(diào)性、奇偶性和周期性（如果有）。如果發(fā)現(xiàn)C（t）隨時(shí)間逐漸減小，則說(shuō)明這是一個(gè)單調(diào)遞減函數(shù)。討論每個(gè)參數(shù) A，k 和B對(duì)函數(shù)性質(zhì)的影響。比如，k值越大，衰減速率越快;B決定了最終穩(wěn)定狀態(tài)下的濃度水平。（7）拓展思考：進(jìn)一步探討如果改變給藥方式或者劑量，會(huì)如何影響函數(shù)的形式及其性質(zhì)？引導(dǎo)學(xué)生修改模型，并重新計(jì)算新的變化趨勢(shì)。（8）歸納總結(jié)：回顧整個(gè)過(guò)程，強(qiáng)調(diào)函數(shù)性質(zhì)的重要性以及它在實(shí)際問題解決中的應(yīng)用價(jià)值。

四、綜合應(yīng)用階段

通過(guò)解決復(fù)雜的、真實(shí)世界中的問題，幫助學(xué)生鞏固對(duì)函數(shù)概念的理解，并培養(yǎng)他們的問題解決能力和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。第一步是引入現(xiàn)實(shí)情境，挑選學(xué)生熟悉的或感興趣的場(chǎng)景作為問題背景，如經(jīng)濟(jì)、環(huán)境、科技等，確保問題具有一定的復(fù)雜性和開放性，促使學(xué)生思考多種解決方案。第二步，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，幫助學(xué)生識(shí)別問題中的關(guān)鍵變量和關(guān)系，確定需要建立的函數(shù)模型類型，指導(dǎo)學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)、調(diào)查或查閱資料等方式獲取必要的數(shù)據(jù)，為構(gòu)建準(zhǔn)確的函數(shù)模型提供依據(jù)。鼓勵(lì)學(xué)生根據(jù)已有信息嘗試建立一個(gè)初始的函數(shù)表達(dá)式，并繪制對(duì)應(yīng)的圖像以直觀展示其預(yù)測(cè)結(jié)果。第三步，優(yōu)化與驗(yàn)證模型，如果模型與實(shí)際情況存在偏差，引導(dǎo)學(xué)生反思可能的原因，并通過(guò)修改參數(shù)值改進(jìn)模型，使用額外數(shù)據(jù)點(diǎn)或?qū)嶋H觀測(cè)結(jié)果檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷挠行?，必要時(shí)重復(fù)調(diào)整過(guò)程直至滿意為止。讓學(xué)生意識(shí)到任何模型都有其適用范圍和局限性，討論這些限制可能會(huì)對(duì)未來(lái)研究產(chǎn)生怎樣的影響。第四步，多角度分析與解釋，教授學(xué)生如何利用解析式計(jì)算特定條件下的輸出值，如最大值、最小值、交點(diǎn)等；訓(xùn)練學(xué)生用文字語(yǔ)言清晰地表達(dá)函數(shù)的變化趨勢(shì)及其背后的意義，如增長(zhǎng)速度、周期性變化等；強(qiáng)調(diào)圖象在理解函數(shù)行為方面的重要性，鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)合圖象解釋模型的特點(diǎn)。第五步，團(tuán)隊(duì)合作與交流分享。組織學(xué)生分組合作解決問題，促進(jìn)思想碰撞和共同進(jìn)步，每個(gè)小組負(fù)責(zé)不同部分的工作，最后匯總成完整的解決方案；安排時(shí)間讓各小組向全班匯報(bào)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)和結(jié)論，接受其他同學(xué)的提問與建議，教師給予建設(shè)性的評(píng)價(jià)，指出優(yōu)點(diǎn)和改進(jìn)之處，幫助學(xué)生進(jìn)一步完善自己的思維方式。第六步，跨學(xué)科聯(lián)系與拓展，尋找機(jī)會(huì)將函數(shù)概念與其他學(xué)科的知識(shí)相融合，如物理學(xué)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律、化學(xué)反應(yīng)速率等，增強(qiáng)學(xué)生的綜合應(yīng)用能力。介紹一些前沿技術(shù)或社會(huì)熱點(diǎn)話題，如人工智能算法、氣候變化預(yù)測(cè)等，激發(fā)學(xué)生對(duì)未來(lái)發(fā)展的興趣。

以城市交通流量?jī)?yōu)化作為示例，活動(dòng)方案如下。

（1）活動(dòng)目標(biāo)：通過(guò)模擬城市交通流量，讓學(xué)生應(yīng)用函數(shù)概念解決實(shí)際問題，提升數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析的能力。

（2）準(zhǔn)備材料：計(jì)算器、數(shù)據(jù)記錄表、地圖。

（3）設(shè)定背景：假設(shè)你們正在參與一項(xiàng)城市規(guī)劃項(xiàng)目，目的是優(yōu)化某市中心區(qū)域的交通流量，減少擁堵現(xiàn)象。已知該地區(qū)有若干條主要道路交匯于幾個(gè)重要節(jié)點(diǎn)。

（4）收集數(shù)據(jù)：使用地圖應(yīng)用程序或其他工具獲取每條道路在不同時(shí)段內(nèi)的平均車流量數(shù)據(jù)，記錄天氣狀況、節(jié)假日等因素對(duì)交通的影響。

（5）構(gòu)建函數(shù)模型：根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，選擇合適的函數(shù)形式（如線性、二次或指數(shù)函數(shù)）來(lái)描述每條道路上車輛數(shù)量隨時(shí)間的變化關(guān)系。對(duì)于多個(gè)變量的情況，可以考慮多元函數(shù)或分段函數(shù)的形式。

（6）分析優(yōu)化：繪制所有相關(guān)函數(shù)的圖象，觀察整個(gè)交通網(wǎng)絡(luò)的整體變化趨勢(shì)。尋找瓶頸路段（容易發(fā)生擁堵的地方），并探討可能的緩解措施，如調(diào)整信號(hào)燈時(shí)長(zhǎng)、增加公共交通供給等。模擬不同方案的效果，評(píng)估哪種方法最能有效改善交通狀況

（7）驗(yàn)證模型：收集更多實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)或參考?xì)v史記錄，對(duì)比模型預(yù)測(cè)結(jié)果是否符合實(shí)際情況。如果發(fā)現(xiàn)差異較大，返回上一步繼續(xù)優(yōu)化模型

（8）總結(jié)報(bào)告：編寫一份詳細(xì)的報(bào)告，包括問題描述、數(shù)據(jù)來(lái)源、建模過(guò)程、優(yōu)化建議及最終效果評(píng)估等內(nèi)容。準(zhǔn)備一次課堂演示，向?qū)W生展示研究成果，并回答大家提出的問題。

（9）反思改進(jìn)：討論本次活動(dòng)中遇到的困難及解決辦法，思考還有哪些方面可以做得更好。鼓勵(lì)學(xué)生提出新的想法或改進(jìn)建議，為今后類似問題的研究積累經(jīng)驗(yàn)。

五、結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，對(duì)函數(shù)概念的教學(xué)，從“數(shù)與代數(shù)\"大單元視角下進(jìn)行漸進(jìn)式教學(xué)具有可行性，這為初中數(shù)學(xué)教學(xué)提供一種更為科學(xué)合理、貼近學(xué)生實(shí)際的教學(xué)模式，能夠有效提升教學(xué)質(zhì)量，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展。

【參考文獻(xiàn)】

[1王其桂.大概念背景下初中數(shù)學(xué)大單元教學(xué)實(shí)踐研究[J].新課程導(dǎo)學(xué)，2024（32）：87-90.