“導(dǎo)數(shù)法\"在研究含參函數(shù)極值、最值問(wèn)題上的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)是微積分中的一個(gè)重要概念，針對(duì)高中數(shù)學(xué)中涉及的一元函數(shù)，函數(shù)的變化率就轉(zhuǎn)化成了函數(shù)圖象在 軸上的值如何沿著 x 軸變化[].對(duì)于函數(shù)圖象上某一微小的區(qū)間，從導(dǎo)函數(shù)的定義出發(fā)，有 ，當(dāng)且僅當(dāng)這個(gè)極限存在時(shí)，函數(shù) f（x） 在 x 點(diǎn)處可導(dǎo)，這就涉及函數(shù)的定義域問(wèn)題.高中數(shù)學(xué)接觸到的初等函數(shù)，其定義域并不總是實(shí)數(shù)域R，如對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)?R⁺ .這一點(diǎn)是必須強(qiáng)調(diào)的，沒(méi)有定義域，則函數(shù)在區(qū)間上沒(méi)有定義，更別談什么導(dǎo)函數(shù)[.本文通過(guò)幾個(gè)例題深入講解導(dǎo)數(shù)法在研究含參函數(shù)極值、最值問(wèn)題上的應(yīng)用.

1 實(shí)例應(yīng)用

1. 1 參數(shù)為初等函數(shù)的系數(shù)

參數(shù)僅會(huì)影響函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)號(hào)，不會(huì)導(dǎo)致函數(shù)的增減性在 x 軸上發(fā)生平移，解決這類問(wèn)題可先找出不帶參數(shù)的情形下的關(guān)鍵點(diǎn)，再帶入題中的條件即可.

例1 在區(qū)間[0，1]內(nèi)大于0且在 x=1 處取最小值，求 Ψ_a 的取值范圍.

解析此類情形較為簡(jiǎn)單，在不考慮參數(shù)的情形下設(shè)其函數(shù)為 ，導(dǎo)函數(shù)為 x+1'在區(qū)間[0，1]內(nèi)單調(diào)遞增，但由于函數(shù)在 x=1 處取最小值，且函數(shù) f（x） 在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，所以在 x=1 處保持左連續(xù)，可知 ?0. 又因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間[0，1]內(nèi)大于0，所以 f（1）= 可得 Ψ_a 的取值范圍

例2已知函數(shù) 在點(diǎn)（e， f（e） ）處的切線方程為 y=-bx+2e .若存在x∈[e，e²] 滿足 ，求實(shí)數(shù) b 的取值范圍；

解析 f（x） 在區(qū)間內(nèi)存在 x∈[e，e²] 使得函數(shù)的取值小于等于 ，從其逆命題出發(fā)， f（x） 在區(qū)間內(nèi)不存在 x∈[e，e²] 使得函數(shù)的取值小于等 ，即區(qū)間內(nèi)的函數(shù)取值都大于 ，即

則 g^′（x）= ，由導(dǎo)函數(shù)可知 g（x） 在區(qū)間[e， e²] 上單調(diào)遞增，則在區(qū)間內(nèi) g（x） 的最小值大于 b ，其最小值為 ，所以 回到題中所給的原命題，可得題中要求的 b 的取值范圍為

1.2 參數(shù)和初等函數(shù)中的自變量構(gòu)成新的自變量的函數(shù)

參數(shù)和初等函數(shù)中的自變量構(gòu)成新的自變量的函數(shù)的情形，對(duì)應(yīng)的是參數(shù)與自變量呈線性關(guān)系，但函數(shù)本身不是線性函數(shù)，

例3 f（x）=x²+ax+1，x∈[-1，1] ，若函數(shù) f（x） 在 [-1，1] 上有最小值—1，求實(shí)數(shù) Δ_a 的取值范圍.

解析求導(dǎo)函數(shù)：對(duì)函數(shù) f（x）=x²+ax+1 求導(dǎo)，根據(jù)求導(dǎo)公式 （Xⁿ）^′=nX^n-1 ，可得 f^′（x）= 2x+a ：

分析函數(shù)單調(diào)性：令 f^′（x）=0 ，即 2x+a=0 解得 1

當(dāng) f^′（x）gt;0 時(shí)， ，此時(shí)函數(shù) f（x） 單調(diào)遞增；

當(dāng) f^′（x）lt;0 時(shí)， ，此時(shí)函數(shù) f（x） 單調(diào)遞減.

根據(jù)極值點(diǎn)位置分情況討論：

情況1 當(dāng)- ，即 a?2 時(shí)：

函數(shù) f（x） 在 [-1，1] 上單調(diào)遞增

所以 f（x）_min=f（-1） ，將 x=-1 代人 f（x） ，可得 f（-1）=1-a+1=2-a ：

已知 f（x）_min=-1 ，則 2-a=-1 ，解得 a=3 滿足 a?2

情況2 當(dāng) ，即 a?-2 時(shí)：

函數(shù) f（x） 在[—1，1]上單調(diào)遞減.

所以 f（x）_min=f（1） ，將 x=1 代入 f（x） 可得 f（1）=1+a+1=2+a， 已知 f（x）_min=-1 ，則 2+a=-1 ， 解得 a=-3 ，滿足 a?-2

情況3 當(dāng) ，即 -2

函數(shù) f（x） 在 處取得最小值.

所以

已知 f（x）_min=-1 ，則""，即 a²=8 解得""，但""均不滿足 -2這種情況無(wú)解.

綜上，實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 或a=-3} ：

1.3參數(shù)參與初等函數(shù)的構(gòu)建

在這類情形中，僅考慮冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù).參數(shù)為函數(shù)的指數(shù)或者底數(shù)或者對(duì)數(shù)[3].

例4討論函數(shù) f（x）=a^x+x-a 的極值點(diǎn)問(wèn)題，其中 agt;0

解析函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為 極值點(diǎn)的充要條件為一階導(dǎo)等于0，所以其臨界點(diǎn)滿足 ，可得

當(dāng) agt;1 時(shí)， ，與題目條件相矛盾；當(dāng)0 ，此時(shí) 存在解 x= 所以存在一個(gè)極值點(diǎn)，現(xiàn)討論極值點(diǎn)的類型. f（x） 的二階導(dǎo)為 ，所以極值點(diǎn)為極小值點(diǎn).

2 結(jié)語(yǔ)

本文探討了導(dǎo)函數(shù)在高中數(shù)學(xué)含參函數(shù)中的應(yīng)用，通過(guò)分析參數(shù)與自變量的三種關(guān)系，展示了導(dǎo)數(shù)法在求解極值和最值問(wèn)題中的有效性.盡管題目中不常出現(xiàn)極值或最值的直接表述，但求解過(guò)程中不可避免地需要討論這些概念.由于導(dǎo)函數(shù)揭示了函數(shù)的變化趨勢(shì)，使得直接研究導(dǎo)函數(shù)成為分析函數(shù)性質(zhì)的實(shí)用方法，導(dǎo)數(shù)法為解決含參函數(shù)問(wèn)題提供了一種有效途徑

【基金項(xiàng)目：威海市第四期“四名工程”和全環(huán)境立德樹(shù)人專項(xiàng)課題“大單元視域下高中數(shù)學(xué)情境化課堂教學(xué)實(shí)踐研究”，基金編號(hào)：KY2023118.】

參考文獻(xiàn)：

[1]夏文華.導(dǎo)數(shù)法在高中數(shù)學(xué)解題中的價(jià)值及實(shí)踐[J].數(shù)理天地（高中版），2024（23）：66—67.

[2]陳余杰.“導(dǎo)數(shù)法”在含參函數(shù)極值、最值問(wèn)題中的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2024（11）：76—77.

[3]侯有岐.用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值問(wèn)題———以2022年全國(guó)乙卷理科第16題為例[J].高中數(shù)理化，2023（Z1）：62-64.