引言為燈，觀念指路，圓來搭橋，素養(yǎng)自得

單元教學(xué)，是教師對具有同“根\"同“源”屬性的對象與內(nèi)容進(jìn)行整合研究的一種教學(xué)方式。它旨在構(gòu)建起具有知識整體性、思想一致性和方法延續(xù)性的學(xué)習(xí)單元，是將課程標(biāo)準(zhǔn)和教材內(nèi)容有效落實(shí)到課堂教學(xué)中的關(guān)鍵橋梁。通過單元教學(xué)，教師能夠從宏觀視角把握課程，深度揭示數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)內(nèi)涵。在實(shí)施單元教學(xué)時，教師需依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，精心設(shè)計(jì)契合學(xué)生實(shí)際的學(xué)習(xí)路徑，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行邏輯性思考與系統(tǒng)性研究，逐步積累思維經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)的培育與發(fā)展。本文將以人教A版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊第五章三角函數(shù)為例，深人探討單元教學(xué)的思路與實(shí)踐。

一、著眼全局，樹立觀念

（一）從數(shù)學(xué)發(fā)展視角看：與時俱進(jìn)的函數(shù)思想

三角學(xué)起源于生活，最初主要用于確定方向和計(jì)算距離。在17世紀(jì)以前，三角學(xué)側(cè)重于計(jì)算，是常量數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，其首要任務(wù)是制作三角函數(shù)表，而三角恒等變形在制表過程中扮演了極為關(guān)鍵的角色，備受關(guān)注。然而，隨著微積分和解析幾何的蓬勃發(fā)展，變量數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的地位日益重要，三角學(xué)的受重視程度有所下降。后來，無窮級數(shù)的引入為三角函數(shù)帶來了新的發(fā)展契機(jī)。18世紀(jì)中葉，歐拉（Euler）將三角函數(shù)定義為線段的比值，使得三角函數(shù)與圖形建立了緊密聯(lián)系。到了19世紀(jì)，解析幾何占據(jù)主導(dǎo)地位，主流的函數(shù)思想達(dá)到鼎盛。計(jì)算機(jī)發(fā)明后，三角函數(shù)表的制作變得極為簡便，三角公式的重要性相對降低，三角恒等變形逐漸退居次要位置。但三角函數(shù)依然順應(yīng)時代潮流，不斷發(fā)展，擺脫了靜態(tài)的固有模式，以動態(tài)函數(shù)的全新面貌融入各個領(lǐng)域，尤其在描述自然和生活中的振動、波動及各種周期性現(xiàn)象時表現(xiàn)卓越。因此，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，三角函數(shù)需與主流函數(shù)思想緊密接軌。

（二）從課程標(biāo)準(zhǔn)視角看：謀局布勢的運(yùn)動思想

課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出三角函數(shù)是一類最典型的周期函數(shù)，凸顯了周期性這一本質(zhì)屬性。新課標(biāo)自始至終借助單位圓對三角函數(shù)概念進(jìn)行抽象概括。實(shí)際上，三角函數(shù)從誕生之初就與圓緊密相連，圓可謂是其根源。為突出這一特殊屬性，教材編寫者進(jìn)行了精心設(shè)計(jì)。其一，章頭圖起到拋磚引玉的作用。從數(shù)學(xué)發(fā)展史來看，三角函數(shù)起源于圓周運(yùn)動，例如章頭圖中的“月相變化”與天體運(yùn)動相關(guān)，天體做周期性的勻速旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，可抽象為點(diǎn)在圓上繞圓心做勻速圓周運(yùn)動，旋轉(zhuǎn)一周后相對于起點(diǎn)的位置周而復(fù)始，角的旋轉(zhuǎn)特性在圓中得以充分體現(xiàn)。而三角函數(shù)作為角的函數(shù)，在直角坐標(biāo)系中，只需考慮角的終邊，借助單位圓能直觀地觀察到角旋轉(zhuǎn)一周后繼續(xù)旋轉(zhuǎn)時，終邊位置的周期性變化，教材通過這種方式從一開始就引導(dǎo)學(xué)生形成正確的思維路徑。其二，預(yù)備知識埋下伏筆。旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的本質(zhì)是位置變化，涉及起始位置、終止位置及旋轉(zhuǎn)方向和大小等要素。為此，教材先將“角\"的概念擴(kuò)充到“任意角”，還原了旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象的本來面目，讓學(xué)生自然地觀察和體會角的擴(kuò)充過程。

（三）從教材視角看：優(yōu)化重構(gòu)的建模思想

對比分析普通高中數(shù)學(xué)教科書2004版（以下簡稱“舊教材\"和2019新版（以下簡稱“新教材\"），可以得出幾點(diǎn)認(rèn)識：

在教材編排方面，章節(jié)位置有所調(diào)整?！叭呛瘮?shù)\"與“三角恒等變換\"在舊教材中分屬兩章，而新教材將其合并為一章，兩角差余弦公式依舊借助單位圓進(jìn)行推導(dǎo)。

教材內(nèi)容也發(fā)生了變化。新教材刪除了三角函數(shù)線，同時在\"函數(shù) y=Asin（ωx+φ） \"這一章節(jié)增添了“勻速圓周運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型”，這明顯體現(xiàn)出對數(shù)學(xué)建模的重視。此外，內(nèi)容順序也有所不同?！昂瘮?shù) y=Asin（ωx+φ） 的圖象”及“三角恒等變換”在新舊教材中的先后順序有別。新教材遵循函數(shù)“背景一概念一圖像與性質(zhì)一應(yīng)用\"的邏輯框架展開，以相似的研究思路探討不同數(shù)學(xué)對象，讓學(xué)生體會到盡管研究對象各異，但方法保持不變。通過不斷積累相同的問題思考經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生能夠逐步形成自身的思維邏輯脈絡(luò)。

基于上述分析，在主流函數(shù)思想的引領(lǐng)下，教師應(yīng)抓住本質(zhì)，使“三角函數(shù)是刻畫周期性變化規(guī)律的一類最典型的周期函數(shù)模型\"這一單元核心觀念得以牢固確立。

二、整體架構(gòu)，指向素養(yǎng)

（一）引言呈現(xiàn)概貌

引言是學(xué)生學(xué)習(xí)本章的燈塔。本章引言共有三段話。第一段，列舉了生活及其他學(xué)科中多種多樣的周期現(xiàn)象，彰顯了學(xué)習(xí)三角函數(shù)的必要性。第二段，提及學(xué)生已對一些特殊函數(shù)開展過研究，積累了一定的研究經(jīng)驗(yàn)，指明了本章的學(xué)習(xí)路徑。第三段，以直接的問題引出正文，明確點(diǎn)出了學(xué)習(xí)內(nèi)容。這三段話傳達(dá)出教材編者的意圖，即以一脈相承的思想，引導(dǎo)學(xué)生探究新的研究對象。

（二）邏輯線指引教學(xué)

通過回顧已學(xué)的具體函數(shù)，明確了本章的學(xué)習(xí)路徑：從背景引入，到概念構(gòu)建，再到圖象與性質(zhì)的研究，最后是函數(shù)的應(yīng)用。第5.1節(jié)是鋪墊內(nèi)容；第5.2節(jié)聚焦概念；第5.3節(jié)由概念推導(dǎo)出一般性性質(zhì)，涵蓋特殊角與任意角之間的運(yùn)算；第5.4節(jié)借助定義與運(yùn)算，深人探討三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)；第5.5節(jié)是關(guān)于任意角與任意角之間的運(yùn)算，梳理了已學(xué)三角公式間的關(guān)系，為三角函數(shù)模型的應(yīng)用提供了有力的運(yùn)算支持，是第5.3節(jié)的延續(xù)；第5.6節(jié)中函數(shù) y=Asin（ωx+φ） 的圖象可由 _y=sinx 通過變換得到，是第5.4節(jié)圖象研究的后續(xù)；第5.7節(jié)則是三角函數(shù)的應(yīng)用環(huán)節(jié)。在整個學(xué)習(xí)過程中，蘊(yùn)含著從個別到整體的思想，遵循循序漸進(jìn)、階梯式上升的原則。

（三）單位圓串聯(lián)內(nèi)容

人類最初接觸天體運(yùn)動時，便認(rèn)為其運(yùn)行軌道是圓。圓作為源頭，是封閉圖形，具有豐富的對稱性。以單位圓主導(dǎo)研究過程，既能延續(xù)歷史，又能凸顯本質(zhì)，化繁為簡，取得事半功倍的效果。概念的抽象過程直接針對單位圓中角與點(diǎn)坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系展開，三角函數(shù)在單位圓中得以定義和研究，并順利利用單位圓的軸對稱與原點(diǎn)對稱圖形直觀性，推導(dǎo)出兩角差余弦公式（借助其旋轉(zhuǎn)變換不變性）。在研究完圖象性質(zhì)后，又回歸生活去刻畫圓周運(yùn)動。單位圓如同橋梁，打通了各小節(jié)知識的脈絡(luò)，將各節(jié)內(nèi)容串聯(lián)成一個整體，實(shí)現(xiàn)以形助數(shù)、以數(shù)論形。

（四）函數(shù)模型推動素養(yǎng)

現(xiàn)實(shí)世界中，水車、摩天輪、潮起潮落等，這些現(xiàn)象是已學(xué)函數(shù)難以刻畫的。結(jié)合已學(xué)的 y=sinx 的性質(zhì)探討，同時拋出‘ 的圖象可用變換方法研究\"的問題。借助學(xué)生熟知的摩天輪，啟發(fā)學(xué)生學(xué)會類比，以類比思想進(jìn)行研究。在最后一節(jié)，探討了三角函數(shù)與其他學(xué)科相關(guān)聯(lián)的問題以及實(shí)際應(yīng)用，讓學(xué)生切實(shí)感受到三角函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的強(qiáng)大應(yīng)用性。

三角函數(shù)是特殊的函數(shù)，在生活中的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值頗高，在建構(gòu)活動時也具有重要價(jià)值。任意角定義和弧度制的引入，是為研究三角函數(shù)模型做準(zhǔn)備，主要培養(yǎng)學(xué)生的抽象素養(yǎng)。在“三角函數(shù)概念和性質(zhì)\"的研究階段，借助單位圓的對稱性搭建橋梁，簡單直觀，有助于培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)；在應(yīng)用階段，則主要培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

三、精準(zhǔn)設(shè)計(jì)，落實(shí)課堂

（一）通盤感知，因材分解

在單元教學(xué)中，單元以主題作為紐帶，為數(shù)學(xué)教學(xué)賦予了活力與張力。為提升教學(xué)的可操作性，在確保知識連貫性的前提下，可突破傳統(tǒng)課時的限制，重新規(guī)劃和組織教學(xué)內(nèi)容，依據(jù)不同的“素材”，將教學(xué)內(nèi)容拆解為若干小單元。以“三角函數(shù)”單元為例：

基于內(nèi)容：可按照教材編排的順序進(jìn)行分解。

基于方法：能夠細(xì)分為“換元法在三角函數(shù)中的運(yùn)用\"\"單位圓中的三角運(yùn)算\"\"三角函數(shù)性質(zhì)在單位圓中的應(yīng)用\"等。

基于素養(yǎng)：可拆解為“三角函數(shù)定義中的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)\"\"三角函數(shù)應(yīng)用中的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)\"\"誘導(dǎo)公式中的邏輯推理素養(yǎng)\"等。

不同的設(shè)計(jì)者有著各異的思路。接下來，我們將從立足章節(jié)引言出發(fā)，以大觀念為指引，探討如何組織和分解單元內(nèi)容。基于前文對本章單元大觀念的分析，在教學(xué)實(shí)施過程中，可以借助子觀念來引領(lǐng)教學(xué)，使相應(yīng)的單元內(nèi)容與之精準(zhǔn)對應(yīng)：

圓周旋轉(zhuǎn)的刻畫：圓周上點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)能夠借助圓心角大小的變化來描述。與之對應(yīng)的單元內(nèi)容為任意角和弧度制。通過對圓心角與點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)關(guān)系的研究，為后續(xù)三角函數(shù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，讓學(xué)生理解角的概念在三角函數(shù)體系中的重要性。

周期現(xiàn)象的模型構(gòu)建：周期性重復(fù)的現(xiàn)象可以通過三角函數(shù)模型進(jìn)行刻畫。對應(yīng)的單元內(nèi)容涵蓋三角函數(shù)的概念、誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、三角恒等變換以及函數(shù) y=Asin（ωx+φ） 的圖象和性質(zhì)。這些內(nèi)容系統(tǒng)地構(gòu)建了三角函數(shù)模型，使學(xué)生能夠從多角度認(rèn)識和運(yùn)用三角函數(shù)來描述和分析各種周期現(xiàn)象。

解決周期問題的工具：三角函數(shù)模型是解決各類周期問題的有效工具。相應(yīng)的單元內(nèi)容為三角函數(shù)的應(yīng)用。這一部分內(nèi)容強(qiáng)調(diào)了三角函數(shù)的實(shí)用性，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際生活中涉及周期變化的問題，實(shí)現(xiàn)從理論到實(shí)踐的跨越。

在子觀念的指導(dǎo)下，單元的劃分應(yīng)保持整章內(nèi)容的完整性，不能因拆解而破壞知識體系的連貫性。單元目標(biāo)的確立需依托教材內(nèi)容，深人理解課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，并在主問題的框架下設(shè)計(jì)支撐結(jié)構(gòu)，將單元目標(biāo)細(xì)致地分解到每一個課時當(dāng)中，確保教學(xué)目標(biāo)的有序?qū)崿F(xiàn)和教學(xué)過程的系統(tǒng)性。

（二）聚焦課時，教學(xué)相融

數(shù)學(xué)學(xué)科具有整體性，擁有完整且循序漸進(jìn)的知識結(jié)構(gòu)。課堂教學(xué)是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)學(xué)習(xí)能力的重要平臺，而課時教學(xué)設(shè)計(jì)則是其中的關(guān)鍵要素。然而，常規(guī)教學(xué)常以單個課時為基礎(chǔ)，存在知識結(jié)構(gòu)碎片化的問題。每節(jié)課的課堂教學(xué)活動應(yīng)緊密圍繞核心概念展開，做好充分預(yù)設(shè)，順應(yīng)學(xué)生思維發(fā)展，以增強(qiáng)課堂教學(xué)的效益和連貫性。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生體會概念產(chǎn)生的必要性，嘗試表達(dá)概念抽象的過程，親身經(jīng)歷概念生成環(huán)節(jié)，感受一般性的數(shù)學(xué)方法。因此，教師需深入理解教材、關(guān)注學(xué)情，以單元整體觀為指導(dǎo)，精準(zhǔn)定位課時目標(biāo)，精心設(shè)計(jì)教學(xué)流程，讓學(xué)生深度參與概念探究，在知識的發(fā)生發(fā)展過程中揭示其本質(zhì)。

課時知識之間應(yīng)體現(xiàn)關(guān)聯(lián)性。在章節(jié)起始課、中間課時以及章末復(fù)習(xí)課中，要以最核心的知識和方法為載體，展現(xiàn)這種關(guān)聯(lián)。例如，三角函數(shù)以單位圓為依托，借助其幾何直觀探究三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、奇偶性和最值等性質(zhì)。在完成圖象和性質(zhì)的研究后，為了讓三角函數(shù)更好地用于研究廣泛的周期性現(xiàn)象，便不再局限于單位圓，這使得知識之間形成了豐富的聯(lián)系。

課時方法之間應(yīng)突出層次性。起始課應(yīng)總覽全章，解決“為何學(xué)\"的問題；中間課時聚焦“怎樣學(xué)”，引導(dǎo)學(xué)生親身思考、探索，直面問題本質(zhì)，積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)；復(fù)習(xí)課則著重完成“構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)”“形成數(shù)學(xué)思想\"等任務(wù)。如此，各課時之間便能形成邏輯連貫、層次分明的知識體系。

課時前后應(yīng)能承上啟下。在進(jìn)行課時設(shè)計(jì)時，設(shè)置恰當(dāng)?shù)暮魬?yīng)點(diǎn)以及適時、精準(zhǔn)的問題，大膽地給予學(xué)生思考的時間和空間，讓學(xué)生在思考過程中暴露思維誤區(qū)，展現(xiàn)犯錯、糾錯以及優(yōu)化思維的歷程，使學(xué)生在知識的發(fā)生發(fā)展過程中獲得參與感與成就感，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)有效教學(xué)。

為切實(shí)落實(shí)對學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，教師在設(shè)計(jì)課時教學(xué)時應(yīng)注重過程而非僅僅關(guān)注結(jié)果。從最簡單的問題入手，整合概念的發(fā)展過程與學(xué)生的認(rèn)知過程，使教學(xué)簡明易懂，自然地引導(dǎo)學(xué)生主動探究，實(shí)現(xiàn)從舊知到新知、從無到有的轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生從學(xué)會知識轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)會學(xué)習(xí)，促進(jìn)教與學(xué)深度融合，讓數(shù)學(xué)教學(xué)充滿思想性。

正所謂“不謀全局者，不足謀一域”。教師只有從數(shù)學(xué)本質(zhì)出發(fā)，挖掘簡單知識背后蘊(yùn)含的思想，引導(dǎo)學(xué)生觀察、表達(dá)、思考，促進(jìn)學(xué)生之間相互合作、合理質(zhì)疑，才能使知識的背景、生成、應(yīng)用及聯(lián)系自然且合理。要講究教學(xué)格局，關(guān)注細(xì)節(jié)，深入挖掘教材，立足引言，抓住知識主線，在大觀念的指引下，精心設(shè)計(jì)單元教學(xué)的各個環(huán)節(jié)，疏通知識脈絡(luò)，并將其切實(shí)落實(shí)到課堂教學(xué)中，讓學(xué)生在潛移默化中提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

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責(zé)任編輯：趙瀟晗