逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)設(shè)計中的應(yīng)用研究

初中數(shù)學(xué)解題中常見幾何圖形性質(zhì)判定與代數(shù)式恒等變換等問題均具有目標(biāo)明確、邏輯嚴(yán)密的特點(diǎn).傳統(tǒng)教學(xué)模式易忽視問題結(jié)構(gòu)與推理路徑多樣性，限制學(xué)生圖形轉(zhuǎn)化、等式構(gòu)造與坐標(biāo)運(yùn)用能力[].逆向思維以結(jié)論為起點(diǎn)強(qiáng)化條件重構(gòu)與邏輯還原有助于提升學(xué)生在表達(dá)式與數(shù)量關(guān)系間的遷移水平[2].

1在平行四邊形解題教學(xué)設(shè)計中的應(yīng)用

例1如圖1，平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn) O，BE//AC，AE//BD ，求證四邊形 AOBE 為菱形；若 ∠AOB=60^° AC=4 ，求ΔAOBE 面積.

解析學(xué)生在教師引導(dǎo)下思考：若 AOBE 為菱形，則需滿足鄰邊相等、對角線互相平分.教師提出設(shè)問：要使 AO=BO ，應(yīng)滿足怎樣的圖形條件？學(xué)生經(jīng)引導(dǎo)知曉應(yīng)證 O 為對角線中點(diǎn).

由 AC，BD 為平行四邊形對角線交于點(diǎn) O ，得 BE//AC ，得 ，推出 AO= BO ，滿足鄰邊相等、對角線互相平分，判定AOBE 為菱形.

面積計算階段，教師繼續(xù)采用逆向思維指導(dǎo)，目標(biāo)為求面積，需構(gòu)造高.引導(dǎo)作 BF⊥AO ，有 AO= ，

面積

整個教學(xué)過程中，教師圍繞“從圖形結(jié)論出發(fā)逆推構(gòu)造條件”組織教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生圍繞“邊相等”“角平分”“對角線中點(diǎn)”核心結(jié)構(gòu)進(jìn)行倒推分析促進(jìn)幾何圖形性質(zhì)與輔助線構(gòu)造多向聯(lián)動.

2在二元一次方程組解題教學(xué)設(shè)計中的應(yīng)用

例2已知二元一次方程組 ，當(dāng)a，b 等于多少時，方程組有唯一解；當(dāng) a.b 等于多少時，方程組有無數(shù)解；當(dāng) a.b 等于多少時，方程組無解.

解原方程組為： ①3x+ay=b，②x+4y=2

教師引導(dǎo)學(xué)生提取系數(shù)比例，設(shè)方程組的系數(shù)和常數(shù)項比為：

根據(jù)二元一次方程組的解的條件：

若 ，即 a≠12 ，則方程組有唯一解（任意 b 皆成立）.

若 ，即 a=12 ，繼續(xù)分類：

若6 ，即 b=6 ，三比相等，方程組有無數(shù)解；

若 ，即 b≠6 ，前兩比相等，第三不等，方程組無解.

答案歸納如下：

有唯一解： a≠12，b 任意；

有無數(shù)解： a=12，b=6 ·無解： a=12，b≠6

教師借助逆向分類引導(dǎo)學(xué)生從解類型入手反推比例結(jié)構(gòu)明確“對應(yīng)系數(shù)成比例，常數(shù)項也需成比例”是無數(shù)解的必要條件從而實(shí)現(xiàn)由結(jié)論導(dǎo)向條件教學(xué)轉(zhuǎn)化[3].

3在二次函數(shù)解題教學(xué)設(shè)計中的應(yīng)用

例3已知二次函數(shù)的解析式 y=ax²+bx+ Ψ_c ，其圖象與 x 軸交于坐標(biāo)原點(diǎn) O（0，0） 點(diǎn) A ，且二次函數(shù)的最小值為一2，點(diǎn) M（1，m ）是其對稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn) B 在 y 軸上且 OB=1 ：

要求解答以下問題：（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）二次函數(shù)在第四象限的圖像上有一點(diǎn) P ，連接PA，PB ，求 ΔABP 面積的最大值；（3）在二次函數(shù)圖像上是否存在點(diǎn) N ，使得 Ω_?A，B，M，N 為平行四邊形的四個頂點(diǎn)？若存在，求點(diǎn) N 的坐標(biāo)；若不存在，請給出理由.

解（1）求二次函數(shù)解析式：由題意可知二次函數(shù)的最小值為一2，且最小值點(diǎn)位于對稱軸 x=1 .即點(diǎn) M（1，-2） .這是二次函數(shù)頂點(diǎn)，因此二次函數(shù)可以表示為標(biāo)準(zhǔn)形式： y=a（x-1）²-2 （204號

由題目給定 O（0，0） 為原點(diǎn)，可以代入 x=0 和y=0 來求 a 的值：

因此二次函數(shù)的解析式為：

（2）設(shè)點(diǎn) P（t，2t²-4t） 在二次函數(shù)圖像（圖2）上，且點(diǎn) P 通過與點(diǎn) P 的垂線與 AB 相交于點(diǎn) Q 需要求三角形 ΔABP 的面積最大值.

先設(shè)直線 AB 解析式為： y=kx+s

根據(jù)已知點(diǎn) A（2，0） ，點(diǎn) B（0，1） ，代人求直線斜

率和常數(shù)： 代人得到直線 AB 的解析式為： x+2y-2=0 計算底邊 AB 的長度： 接著考慮點(diǎn) P（t，2t²-4t） 的坐標(biāo)代入直線方 三角形面積表達(dá)式整理得到：

（20求極值：設(shè) f（t）=4t²-7t-2 令導(dǎo)數(shù)為零： 計算 此時， ΔABP 的面積為： 最大值為 32 這是三角形面積的最大值.

（3）判斷是否存在點(diǎn) N

為判斷四邊形 A?B?M?N 是否為平行四邊形先設(shè)定點(diǎn) N 的坐標(biāo)為 （n，2n²-4n） .要求點(diǎn) A，B .M，N 滿足平行四邊形的條件.計算得點(diǎn) N 的坐標(biāo)為 （1，-2） ，這滿足四邊形的平行條件.因此存在點(diǎn)N（1，-2） ，使得四邊形 A°B°M°N 為平行四邊形.

教師利用設(shè)計由結(jié)果到過程的解題思路幫助學(xué)生理清數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)提高問題解決的靈活性和創(chuàng)新性.

4結(jié)語

逆向思維教學(xué)中體現(xiàn)出結(jié)構(gòu)清晰、推理緊湊教學(xué)優(yōu)勢.教師應(yīng)將其嵌入整體解題流程強(qiáng)化學(xué)生代數(shù)運(yùn)算、函數(shù)建模與圖形邏輯的綜合能力建構(gòu)，

參考文獻(xiàn)：

[1]唐簡.初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中逆向思維的應(yīng)用策略[J].數(shù)理天地（初中版），2025（02）：71—73.

[2]王吉林.逆向思維賦能初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)新思路[J].數(shù)理化解題研究，2024（17）：26-28.

[3]陳若冰.逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用探究[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2023（23）：41-43.