基于節(jié)點(diǎn)崩潰概率的相依網(wǎng)絡(luò)失效動力學(xué)研究

中圖分類號：0157.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1000-2367（2025）04-0074-09

現(xiàn)實(shí)生活中的很多系統(tǒng)都可以用網(wǎng)絡(luò)來描述，比如電力系統(tǒng)[1-2]、交通系統(tǒng)[3-4]、病毒傳播系統(tǒng)[5]、物流系統(tǒng)[6]等，這些系統(tǒng)大多不是單一存在的，通常以某種方式和其他系統(tǒng)進(jìn)行聯(lián)系，耦合成相依網(wǎng)絡(luò).例如電網(wǎng)和信息網(wǎng)：電網(wǎng)給信息網(wǎng)中的系統(tǒng)供應(yīng)電力以維持其正常工作，信息網(wǎng)中的系統(tǒng)同時(shí)采集電網(wǎng)數(shù)據(jù);還有綜合立體交通網(wǎng)絡(luò)，將機(jī)場、高鐵站作為節(jié)點(diǎn)，航班、車次看作連邊，航空-高鐵立體交通網(wǎng)絡(luò)也是相互依存的.不同系統(tǒng)之間復(fù)雜的耦合方式導(dǎo)致級聯(lián)故障頻頻發(fā)生[7-9]，以 2010 年BULDYREV等[10]的工作為標(biāo)志，相依網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)失效行為日益成為學(xué)者們的研究重點(diǎn).

目前為止，相依網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)故障研究集中于網(wǎng)絡(luò)建模、攻擊策略[11]、網(wǎng)絡(luò)間的耦合方式[12-13]，以及對級聯(lián)失效的預(yù)防和控制[14-15].發(fā)生級聯(lián)故障時(shí)，通常會涉及負(fù)載的流動，在擁堵的交通網(wǎng)絡(luò)中乘客分流，電力網(wǎng)絡(luò)中電力負(fù)荷的輸送等，文獻(xiàn)[16]對已有的ML線性負(fù)載容量模型進(jìn)行改進(jìn)，發(fā)現(xiàn)容量較小的節(jié)點(diǎn)反而有比例較大的剩余容量，提出了非線性負(fù)載容量模型.王建偉等[17]最初考慮到超負(fù)荷邊不會立即從網(wǎng)絡(luò)中移除，提出了崩潰概率的機(jī)制，并在單層網(wǎng)絡(luò)上構(gòu)建了線性負(fù)載容量模型.CHEN等[18]考慮過載邊緣，建立級聯(lián)失效非線性模型來描述加權(quán)單層網(wǎng)絡(luò)中邊的冗余容量.文獻(xiàn)[19]引人節(jié)點(diǎn)過載機(jī)制，采用負(fù)載局部再分配原則研究不同攻擊方式、耦合模式下相依網(wǎng)絡(luò)的魯棒性.余榮斌等[20提出了一種考慮相依邊負(fù)載的級聯(lián)失效模型，發(fā)現(xiàn)攻擊相依邊對網(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響大于攻擊相連邊.

然而在實(shí)際系統(tǒng)中，大多數(shù)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)都會被設(shè)置一定的保護(hù)和監(jiān)控措施，所有的過載節(jié)點(diǎn)不會全部失效，可能會按照一定概率正常工作.如今大多數(shù)研究是在單層網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)上考慮網(wǎng)絡(luò)的保護(hù)措施，以優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)的魯棒性能，沒有考慮系統(tǒng)之間的聯(lián)系，因此，在已有的工作基礎(chǔ)上，將針對雙層網(wǎng)絡(luò)，構(gòu)建考慮過載節(jié)點(diǎn)的崩潰概率的級聯(lián)失效動力學(xué)模型.由于網(wǎng)絡(luò)間有不同的相依方式，主要包括一對一和多對多方式，同時(shí)在不同的相依方式下有同配耦合和異配耦合2種情形，研究在不同耦合方式下蓄意攻擊一對一相依網(wǎng)絡(luò)和多對多相依網(wǎng)絡(luò)魯棒性的變化情況.

1模型建立

假設(shè)雙層相依網(wǎng)絡(luò)是由子網(wǎng)絡(luò)和子網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成，網(wǎng)絡(luò)間的相依關(guān)系用邊來表示，稱為相依邊，2個(gè)具有相依邊互稱為相依節(jié)點(diǎn).每個(gè)子網(wǎng)絡(luò)都具有特定的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部的邊稱為相連邊.構(gòu)建基于度同配耦合（assortative coupling）和度異配耦合（disassortative coupling）下的一對一相依網(wǎng)絡(luò)和多對多相依網(wǎng)絡(luò)模型（圖1）.

一對一相依網(wǎng)絡(luò)：子網(wǎng)絡(luò)A中的節(jié)點(diǎn)與子網(wǎng)絡(luò) B 中的節(jié)點(diǎn)一一對應(yīng)相連，同配耦合就是將2個(gè)子網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的度都進(jìn)行降序排列，按照順序分別選擇每個(gè)子網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)構(gòu)建相依邊.度異配耦合就是對子網(wǎng)絡(luò) A 中節(jié)點(diǎn)的度降序排列，對

子網(wǎng)絡(luò) B 中節(jié)點(diǎn)的度升序排列，按照順序分別選擇每個(gè)子網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)構(gòu)建相依邊.

多對多相依網(wǎng)絡(luò)：將子網(wǎng)絡(luò) A 和 B 中的節(jié)點(diǎn)平均分為 M 組（若節(jié)點(diǎn)數(shù)不能被平均分配，則將最后的余數(shù)單獨(dú)分為一組），取子網(wǎng)絡(luò) A 中的一組節(jié)點(diǎn)與子網(wǎng)絡(luò)B中的一組節(jié)點(diǎn)進(jìn)行全相連，直至所有組連接完畢.同配耦合就是子網(wǎng)絡(luò) A 和 B 中節(jié)點(diǎn)都按照度降序排列，再對其進(jìn)行分組連接.異配耦合則將子網(wǎng)絡(luò) A 中的節(jié)點(diǎn)按照度降序排列，子網(wǎng)絡(luò) B 中的節(jié)點(diǎn)按照度升序排列，再分別對其進(jìn)行分組連接.

基于非線性負(fù)載容量關(guān)系，建立相依網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)失效模型，定義節(jié)點(diǎn)的初始負(fù)載 L_i（0）= （20 ，其中， Γ_i 表示層內(nèi)與節(jié)點(diǎn) i 相連的節(jié)點(diǎn)集合， δ 控制負(fù)載大小，是可調(diào)參數(shù)，節(jié)點(diǎn)權(quán)重用節(jié)點(diǎn)的初始負(fù)載表示.定義節(jié)點(diǎn)容量 C_i=L_i（0）+βL_i（0）^θ ，其中， β 和 θ 是控制節(jié)點(diǎn)容量的可調(diào)參數(shù)，下文中稱 θ （204號為容量指數(shù)參數(shù)，當(dāng) θ=1 時(shí)，容量與負(fù)載呈線性關(guān)系.

當(dāng)子網(wǎng)絡(luò) A 中的節(jié)點(diǎn) i 被移除時(shí)，對于子網(wǎng)絡(luò) A ，將斷開所有的相連邊，失效節(jié)點(diǎn) i 的負(fù)載將依據(jù)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)與其相連節(jié)點(diǎn)的權(quán)重比例進(jìn)行分配，即 （204號

子網(wǎng)絡(luò) A 中鄰居節(jié)點(diǎn) j 接收的額外負(fù)載 ΔL_j^A=L_i^Aπ_j^A ，于是節(jié)點(diǎn) j 所承受的負(fù)載變?yōu)?L_j^A（t）=L_j^A（0）+ ΔL_j^A .對于子網(wǎng)絡(luò) B ，將斷開與子網(wǎng)絡(luò) A 中節(jié)點(diǎn) i 相依的所有邊，層間不進(jìn)行負(fù)載傳遞.當(dāng)子網(wǎng)絡(luò)中的一個(gè)節(jié)點(diǎn)失去了所有的相依邊，這一節(jié)點(diǎn)就失去了與另一網(wǎng)絡(luò)的所有關(guān)聯(lián)，就視此節(jié)點(diǎn)失效.

在實(shí)際網(wǎng)絡(luò)中，為預(yù)防級聯(lián)失效現(xiàn)象發(fā)生，大多數(shù)節(jié)點(diǎn)會設(shè)置有一定的保護(hù)措施，不是所有的過載節(jié)點(diǎn)都將失效，每個(gè)節(jié)點(diǎn)都有抵御過載的能力.為了合理地分配網(wǎng)絡(luò)的保護(hù)資源，將節(jié)點(diǎn)的過載能力與節(jié)點(diǎn)的度相聯(lián)系，度大的節(jié)點(diǎn)抵御過載的能力與度小的節(jié)點(diǎn)不同.使用節(jié)點(diǎn)的失效概率來描述過載節(jié)點(diǎn)的移除機(jī)制，定義節(jié)點(diǎn) i 的失效概率

其中， 1+ak_i^b/?k^b? 為節(jié)點(diǎn)的過載能力，用來調(diào)節(jié)過載節(jié)點(diǎn)從網(wǎng)絡(luò)中移除的彈性，稱 a （0i（t）≤C_i 時(shí)，節(jié)點(diǎn) i 承受的負(fù)載小于其容量，節(jié)點(diǎn)正常運(yùn)行，當(dāng) L_i（t）gt;（1+ak_i^b/?k^b?）C_i 時(shí)，節(jié)點(diǎn) i 直接失效.對于 C_ii（t）≤（1+ak_i^b/?k^b?）C_i 的情況，生成一個(gè)隨機(jī)數(shù) R 位于0和1之間，當(dāng) Rgt; P_i 時(shí)，節(jié)點(diǎn) i 過載但沒有失效，當(dāng) R≤P_i 時(shí)，節(jié)點(diǎn) i 失效.為了保證過載節(jié)點(diǎn)的正常運(yùn)行，節(jié)點(diǎn)的過載部分將會繼續(xù)根據(jù)它的鄰居節(jié)點(diǎn)的權(quán)重比例再次進(jìn)行分配，即 ΔL_m=（L_i（t）-C_i）π_m

因此相依網(wǎng)絡(luò)中一個(gè)節(jié)點(diǎn)的失效分為以下情況：1）節(jié)點(diǎn)自身被移除直接失效;2）節(jié)點(diǎn)失去了所有的相依節(jié)點(diǎn)而失效;3）當(dāng) L_i（t）gt;（1+ak_i^b/?k^b?）C_i 時(shí)，節(jié)點(diǎn) i 失效，或者當(dāng) C_ii（t）≤（1+ak_i^b/?k^b?）C_i 且R≤P_i 時(shí)，節(jié)點(diǎn) i 失效.

采用失效節(jié)點(diǎn)的歸一化指標(biāo)

測度相依網(wǎng)絡(luò)的魯棒性，其中， f 和 表示攻擊節(jié)點(diǎn)的集合和數(shù)量， F_i 表示破壞節(jié)點(diǎn) i 所導(dǎo)致的失效節(jié)點(diǎn)數(shù)， N 表示相依網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)總數(shù).當(dāng) S 為1時(shí)，網(wǎng)絡(luò)中的所有節(jié)點(diǎn)全部失效.當(dāng) S 趨近于0時(shí)，網(wǎng)絡(luò)的失效節(jié)點(diǎn)越小，網(wǎng)絡(luò)變得更加健壯.為了使得網(wǎng)絡(luò)成本更加合理化，引入度量指標(biāo) β_c ，當(dāng) β≥β_c 時(shí)，失效節(jié)點(diǎn)數(shù)為0，網(wǎng)絡(luò)將正常運(yùn)行，當(dāng) βlt;β_c 時(shí)，網(wǎng)絡(luò)中將會產(chǎn)生級聯(lián)故障.

2 網(wǎng)絡(luò)成本及其理論分析

定義節(jié)點(diǎn)容量成本為： X_i=C_i/L_i=1+βL_i^θ-1 ，子網(wǎng)絡(luò)的平均容量資源成本為 ，于是可以得到相依網(wǎng)絡(luò)平均容量資源成本

當(dāng)節(jié)點(diǎn)過載時(shí)，給每一個(gè)節(jié)點(diǎn)分配一定的保護(hù)資源，定義每個(gè)節(jié)點(diǎn)的保護(hù)資源成本 Y_i=1+ak^°_i/?k^°? 顯然，相依網(wǎng)絡(luò)平均保護(hù)資源成本

根據(jù)上述模型結(jié)構(gòu)，當(dāng)子網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)都有相依節(jié)點(diǎn)時(shí)，且相依節(jié)點(diǎn)未失效的前提下，為了避免級聯(lián)失效進(jìn)一步擴(kuò)散，可以分為以下2種情況：

情況（A）當(dāng) L_j（0）+ΔL_j≤C_j 時(shí)，級聯(lián)失效停止.

情況（B）當(dāng) C_jj（0）+ΔL_j≤（1+ak_j^b/?k^b?）C_j 且 R 大于 P_j 時(shí)，節(jié)點(diǎn)過載，但不會導(dǎo)致進(jìn)一步的級聯(lián)失效.

對于情況（A）， L_j（0）+ΔL_j≤C_j ，代人節(jié)點(diǎn)負(fù)載和容量的定義有 .于是

由于 ，其中， P（k∣k_i）=kP（k）/?k? .于是 整理得 1+

若模型為線性，則

對于情況（B），C，P，時(shí)，B=1+β（klt;1+k（1+a）B_Ac ：

若模型為線性，則

當(dāng)過載節(jié)點(diǎn)的過載部分按照權(quán)重被分配給其鄰居節(jié)點(diǎn)時(shí)，若 ΔL_m+L_m≤C_i ，則級聯(lián)故障結(jié)束，或者C_mm（t）+ΔL_m≤（1+ak_*m^b/?k^b?）C_m 且 R 大于 P_m 時(shí)，級聯(lián)故障結(jié)束.

3 數(shù)值模擬

本節(jié)主要討論當(dāng)層間耦合方式不同時(shí)，攻擊網(wǎng)絡(luò)中負(fù)載較大的前10個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，網(wǎng)絡(luò)抗毀能力的變化情況.AC表示同配耦合，DC表示異配耦合.為了避免偶然因素，每個(gè)結(jié)果都是10次模擬的平均值.

3.1 BA-BA相依網(wǎng)絡(luò)數(shù)值模擬

BA無標(biāo)度相依網(wǎng)絡(luò)中的子網(wǎng)絡(luò)分別由500個(gè)節(jié)點(diǎn)生成，節(jié)點(diǎn)平均度都為4，對于多對多相依網(wǎng)絡(luò)，將每個(gè)子網(wǎng)絡(luò)分為125組.

過載參數(shù) a 和 b 控制節(jié)點(diǎn)的過載能力， a 越大，節(jié)點(diǎn)更能抵御失效.圖2模擬了BA-BA相依網(wǎng)絡(luò)在改變過載參數(shù) a 時(shí)的級聯(lián)過程，設(shè)置 δ=0.5，θ=1.2，b=1. 可以看出，隨著過載參數(shù) a 的增加，網(wǎng)絡(luò)所需成本減小，一對一相依網(wǎng)絡(luò)在異配耦合下抵御級聯(lián)失效需要的成本小，表現(xiàn)得更魯棒，而多對多相依網(wǎng)絡(luò)在2種耦合方式下的魯棒性差異不大.在相同的耦合方式下，多對多相依網(wǎng)絡(luò)比一對一相依網(wǎng)絡(luò)更能抵御級聯(lián)失效.一對一相依網(wǎng)絡(luò)中一個(gè)節(jié)點(diǎn)的失效直接引發(fā)與其相依的節(jié)點(diǎn)失效，而多對多相依網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)節(jié)點(diǎn)有多個(gè)相依節(jié)點(diǎn)，一個(gè)節(jié)點(diǎn)失效難以導(dǎo)致其相依節(jié)點(diǎn)失效，

其次，設(shè)置 a=0.2，δ=0.5，θ=1.2 ，在圖3中仿真了參數(shù) B_c 和 b 對BA-BA相依網(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響，結(jié)果顯示隨著平均容量成本的增大，失效節(jié)點(diǎn)越少，網(wǎng)絡(luò)的抗毀能力越強(qiáng).在相同的容量成本下， b 的取值使得網(wǎng)絡(luò)魯棒性指標(biāo)S產(chǎn)生較小的波動，對網(wǎng)絡(luò)魯棒性而言暫無規(guī)律可言，因此在后續(xù)仿真中，統(tǒng)一設(shè)置過載參數(shù) b 的值為1.對比圖3（a-b），當(dāng) B_c∈[1.10，1.16] 時(shí)，在相同參數(shù)下，異配耦合的失效節(jié)點(diǎn)數(shù)較少，一對一相依網(wǎng)絡(luò)的魯棒性較強(qiáng).從圖 3（c-d） 中的多對多相依網(wǎng)絡(luò)中，可以看到耦合方式對網(wǎng)絡(luò)的抗毀能力影響不大，級聯(lián)失效現(xiàn)象都發(fā)生在區(qū)間 B_c∈[1.00，1.16] 上.在圖3，當(dāng) B_cgt;1.16 時(shí)，級聯(lián)失效現(xiàn)象結(jié)束.

θ 控制節(jié)點(diǎn)容量， θ 越大，節(jié)點(diǎn)的容量會呈指數(shù)上升.接下來分析非線性容量指數(shù)參數(shù) θ 對相依網(wǎng)絡(luò)健壯性產(chǎn)生的影響，設(shè)置 a=0.2，δ=0.5，b=1 ，取為 θ 不同值時(shí)，討論魯棒性指標(biāo) S 隨容量參數(shù) β 的變化情況，如圖4所示.

從圖4中可以觀察到，隨著 θ 的增加，避免網(wǎng)絡(luò)失效的關(guān)鍵閾值 β_c 變得越小，網(wǎng)絡(luò)抵御級聯(lián)失效的抗毀性越強(qiáng).在圖4（a-b）中，當(dāng) θ 取0.7和0.9時(shí)，一對一相依網(wǎng)絡(luò)在同配相依時(shí)的魯棒性優(yōu)于網(wǎng)絡(luò)異配相依時(shí).當(dāng) θ 取1.3和1.5時(shí)，一對一相依網(wǎng)絡(luò)在異配相依時(shí)的魯棒性優(yōu)于網(wǎng)絡(luò)同配相依時(shí).觀察圖 4（c-d） 中的多對多相依網(wǎng)絡(luò)，當(dāng) θ 取0.7時(shí)，多對多相依網(wǎng)絡(luò)在同配相依時(shí)更加魯棒，當(dāng) θ 取0.9，1.1，1.3和1.5時(shí)，在2種耦合方式下多對多相依網(wǎng)絡(luò)的魯棒性差異不大.

根據(jù)以上分析，發(fā)現(xiàn)魯棒性最優(yōu)的耦合方式是根據(jù) θ 的取值決定的，于是在圖5中對不同耦合方式下網(wǎng)絡(luò)的關(guān)鍵閾值 β_c 隨 θ 的變化情況進(jìn)行仿真.在圖5（a）一對一相依網(wǎng)絡(luò)中，當(dāng) 1.1lt;θlt;1.5 時(shí)，BA-BA網(wǎng)絡(luò)在異配耦合下的魯棒性更好，當(dāng) θ≥1.5，2 種耦合方式下網(wǎng)絡(luò)的魯棒性一致.

在圖5（b）多對多相依網(wǎng)絡(luò)中，當(dāng) θlt;1 時(shí)，同配相依方式下，BA-BA網(wǎng)絡(luò)的魯棒性較好，當(dāng) θ≥1 ，BA-BA網(wǎng)絡(luò)在2種耦合方式下的魯棒性一致.

3.2電力-信息網(wǎng)絡(luò)數(shù)值模擬

構(gòu)建IEEE118網(wǎng)絡(luò)與信息網(wǎng)絡(luò)耦合而成的相依網(wǎng)絡(luò)，假設(shè)信息網(wǎng)絡(luò)是由 BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的，節(jié)點(diǎn)數(shù)與IEEE118網(wǎng)絡(luò)一致，信息網(wǎng)的平均度 ?k?=3.8. 一對一相依網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建方式與上文一致，對于多對多相依網(wǎng)絡(luò)，將節(jié)點(diǎn)分為30組.

圖6對電力-信息網(wǎng)絡(luò)在不同過載參數(shù)下的魯棒性進(jìn)行仿真，取參數(shù) δ=0.5，θ=1.2，b=1. 在圖6（a-b）中，隨著過載參數(shù) a 的增加，系統(tǒng)變得更加魯棒，一對一相依網(wǎng)絡(luò)在異配耦合時(shí)抵御級聯(lián)失效的能力更強(qiáng)，而在圖6（c-d）多對多電力-信息網(wǎng)絡(luò)中，不同耦合方式對其魯棒性的影響不大.

在不同的網(wǎng)絡(luò)平均容量資源成本 B_c 下，對電力信息網(wǎng)絡(luò)魯棒性隨過載參數(shù)的變化情況進(jìn)行數(shù)值模擬，如圖7所示，取參數(shù) a=0.2，δ=0.5，θ=1.2. 在圖7（a）中當(dāng) B_c=1.36 時(shí)，同配耦合下網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)故障現(xiàn)象全部結(jié)束，在圖7（b）中，當(dāng) B_c=1.3 時(shí)，異配耦合下網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)故障現(xiàn)象全部結(jié)束，顯然，異配耦合下，電力信息一對一相依網(wǎng)絡(luò)有較強(qiáng)的魯棒性.對于多對多相依網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)失效現(xiàn)象在 B_c=1.36 時(shí)同時(shí)結(jié)束，網(wǎng)絡(luò)的抗毀能力基本相同.

附錄圖S1對比了電力-信息網(wǎng)絡(luò)在不同容量指數(shù)參數(shù) θ 下的魯棒性.當(dāng) θ 為0.7時(shí)，一對一相依網(wǎng)絡(luò)和多對多相依網(wǎng)絡(luò)在同配耦合方式下的魯棒性優(yōu)于異配耦合，當(dāng) θ 取0.9至1.5時(shí)，異配耦合下一對一相依網(wǎng)絡(luò)魯棒性較好，多對多相依網(wǎng)絡(luò)在2種耦合方式下的魯棒性幾乎一致.

在圖8（a）中，當(dāng) θ≤0.7 時(shí)，電力-信息一對一相依網(wǎng)絡(luò)在同配耦合下有較強(qiáng)的抗毀能力，當(dāng) 0.7lt;θlt;1.5 （204號時(shí)，電力-信息一對一相依網(wǎng)絡(luò)在異配耦合下有較強(qiáng)的抗毀能力，隨著 θ 的繼續(xù)增加，2種耦合方式下網(wǎng)絡(luò)魯棒性變得一致.在圖8（b）中，當(dāng) θ≥1 時(shí)，耦合方式對網(wǎng)絡(luò)的魯棒性幾乎沒有影響.

4結(jié)束語

為更好地優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)，提高網(wǎng)絡(luò)的魯棒性，考慮實(shí)際生活中的過載保護(hù)機(jī)制和非線性負(fù)載容量關(guān)系，通過建立2種相依方式和耦合方式，對BA-BA相依網(wǎng)絡(luò)和電力信息相依網(wǎng)絡(luò)的魯棒性進(jìn)行分析和數(shù)值模擬，并得到以下結(jié)論：1）可以根據(jù)保護(hù)資源成本，適當(dāng)調(diào)整過載參數(shù)取值以提高相依網(wǎng)絡(luò)的抗毀能力;2）當(dāng)耦合方式相同時(shí)，多對多相依方式下整體網(wǎng)絡(luò)的魯棒性優(yōu)于一對一相依方式下整體網(wǎng)絡(luò)的魯棒性;3）容量指數(shù)參數(shù)和耦合方式共同決定相依網(wǎng)絡(luò)的魯棒性.當(dāng)容量指數(shù)參數(shù)較小時(shí)，在同配耦合方式下2種相依網(wǎng)絡(luò)的魯棒性較好，當(dāng)容量指數(shù)參數(shù)較大時(shí)，相依網(wǎng)絡(luò)的抗毀能力將不受耦合方式的影響.

附錄見電子版（DOI：10.16366/j.cnki.1000-2367.2024.03.24.0001）.

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Cascading failure on interdependent networks based on nodes' collapse probability

Yang Lixin，Li Mengjiao，Dang Yuanchen，Li Jia （SchoolofMathematicsandData Science，Shaanxi Universityof ScienceandTechnology，Xian71Oo21，China

Abstract：According to thenonlinear load and capacity relationship，a realistic cascading failure dynamics model of the interdependent network was established，taking intoaccountof thecolapse probabilityofoverloaded nodes.Forinterdependent networkswithdiferenttopologies，thedynamic behaviorofthenetworkunderdifferent interdependencepatternsandthecoupling modes wereinvestigated bydeliberatelyatacking the node with the maximum load.The simulation results show thatthe robustnessoftheinterdependent network can be improved byappropriatelyadjusting the valueof theoverload parameteraccording tothecostofprotectionresources.Themulti-to-multiinterdependentnetworkismorerobustthantheone-tooneinterdependent network underthesame coupling scheme.When thecapacity index parameteris small，the robustness of the two typesof the interdependent networks under assortativecouplingis beter than thatunder disassortativecoupling，andthero bustness ofinterdependentnetworksunderasortativeand disassortativecoupling graduall tends tobethe same asthecapacity index parameter increases.

Keywords： cascading failure； interdependent network ； robustness; collpse probability