超磁致伸縮致動(dòng)器非線性動(dòng)力學(xué)的時(shí)滯反饋控制研究

中圖分類號：TB381；TP273 DOI： 10.16578/j.issn.1004.2539.2025.07.006

0 引言

超磁致伸縮致動(dòng)器（GiantMagnetostrictiveActua-tor，GMA）具有結(jié)構(gòu)穩(wěn)定、精度高、可靠性高等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于能量采集、精密控制、伺服閥等領(lǐng)域[1-5]。為便于實(shí)現(xiàn)GMA的最佳工作條件與超磁致伸縮棒的大量程膨脹和收縮，可使用碟形彈簧預(yù)壓結(jié)構(gòu)對超磁致伸縮棒施加一定的預(yù)壓力。但碟形彈簧的引入導(dǎo)致GMA系統(tǒng)存在嚴(yán)重的幾何非線性問題，GMA中出現(xiàn)非線性不穩(wěn)定性甚至分岔現(xiàn)象，這在極大程度上削弱了其穩(wěn)定性6。LIU等提出一種在諧波磁場和隨機(jī)擾動(dòng)下GMA非線性動(dòng)力學(xué)模型，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定性隨參數(shù)的改變而變化，從而引起隨機(jī)分岔現(xiàn)象。孫華剛建立了含碟簧二次方、三次方非線性的磁電力GMA耦合模型，表明GMA系統(tǒng)在一定參數(shù)條件下存在倒倍分岔行為，嚴(yán)重影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。閆洪波等建立了含分?jǐn)?shù)階阻尼的GMA非線性動(dòng)力學(xué)模型，研究發(fā)現(xiàn)，阻尼的分?jǐn)?shù)階次越小，系統(tǒng)越容易產(chǎn)生失穩(wěn)現(xiàn)象?，F(xiàn)有的大多數(shù)研究都集中于通過GMA系統(tǒng)的磁滯補(bǔ)償控制來提高GMA的非線性穩(wěn)定性[11-13]；對GMA系統(tǒng)的幾何非線性不穩(wěn)定性和控制的研究卻很少，而這對于為GMA穩(wěn)定結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)提供全面的理論指導(dǎo)是至關(guān)重要的。

近年來，為了控制系統(tǒng)中非線性不穩(wěn)定性和分岔行為，研究者通過建立基于非線性延遲微分方程的模型來分析系統(tǒng)的振動(dòng)。PENG等4建立了由時(shí)滯反饋控制的斜拉梁的非線性動(dòng)力學(xué)微分方程，發(fā)現(xiàn)位移和加速度反饋控制優(yōu)于速度反饋控制；選擇合理的時(shí)滯反饋參數(shù)來抑制振動(dòng)，可達(dá)到最佳的控制效果。AMER等5研究了具有時(shí)滯反饋參數(shù)的激勵(lì)Duffing振蕩器的非線性振動(dòng)，結(jié)果表明，當(dāng)時(shí)滯參數(shù)值在2.2＼～2.3時(shí)，非線性系統(tǒng)的振動(dòng)可以得到抑制。ZHAO等研究了一個(gè)具有參數(shù)激勵(lì)擺的2自由度動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)；結(jié)果表明，通過選擇適當(dāng)?shù)臅r(shí)滯反饋參數(shù)，與原始系統(tǒng)相比，主系統(tǒng)的振動(dòng)可以抑制約 56% 。LIU等分析了具有時(shí)延反饋的中間集總質(zhì)量懸臂梁的1次和2次共振；結(jié)果表明，位移反饋增益僅將峰值振幅移動(dòng)到低頻，而速度反饋增益與延遲參數(shù)有關(guān)，可以有效提高懸臂梁的穩(wěn)定性，抑制懸臂梁的非線性振動(dòng)。

為提高GMA系統(tǒng)的穩(wěn)定性，本文設(shè)計(jì)了一種速度時(shí)滯反饋控制器，用于控制GMA系統(tǒng)的主共振分岔和混沌運(yùn)動(dòng)；基于多尺度法求解GMA系統(tǒng)的解析解和主共振響應(yīng)，利用Matlab數(shù)值模擬軟件研究了系統(tǒng)關(guān)鍵結(jié)構(gòu)參數(shù)和時(shí)滯反饋參數(shù)對系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響，以期為選擇合理的控制參數(shù)從而設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的GMA提供參考。

1GMA磁-機(jī)耦合動(dòng)態(tài)模型

圖1所示為GMA系統(tǒng)的簡化模型。其基本工作原理是通過施加激勵(lì)磁場和偏置磁場使超磁致伸縮材料（GiantMagnetostrictiveMaterial，GMM）發(fā)生形變，從而實(shí)現(xiàn)機(jī)械位移的轉(zhuǎn)換。

基于其工作原理，可以將其等效為一質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)，如圖2所示。根據(jù)牛頓第二定律，GMA系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

m=m_M/3+m_L

式中， F 為GMM棒的輸出力； σ₀ 為GMM棒上的應(yīng)力； s 為GMM棒的橫截面積； ?_m 為系統(tǒng)的等效質(zhì)量；x 為輸出桿的位移； ∣c∣ 為系統(tǒng)的等效阻尼系數(shù)； m_M 為GMM棒的等效質(zhì)量； m_L 為負(fù)載的質(zhì)量； F_z 為碟形彈簧的恢復(fù)力，其表達(dá)式為

F_z=k_ex+α₁x²+α₂x³

式中， k_e ！ α₁ 和 α₂ 分別為碟形彈簧的1次剛度系數(shù)、2次剛度系數(shù)和3次剛度系數(shù)。

輸出桿的位移 x 表示為

x=ε_sl

式中， ε_s 為GMM棒的應(yīng)變； l 為輸出桿的長度。

將2次疇轉(zhuǎn)模型引入線性壓磁方程，推導(dǎo)得到， 非線性壓磁方程為

ε_s=σ₀/E+γM²

式中， E 為GMM棒的彈性模量； γ 為GMM棒的非線

性磁彈性系數(shù)； M 為系統(tǒng)的磁化強(qiáng)度。

基于磁通泄漏的安培電路定理，當(dāng)偏置磁場為H_b 時(shí)，合成磁場總強(qiáng)度 H 為

H=H_b+k_coilI

式中， k_coil 為激勵(lì)系數(shù)。

通過式（1）＼～式（6），可以得到以電流 I 為輸入、位移 x 為輸出的GMA非線性動(dòng)力學(xué)方程，即

式中， k 為系統(tǒng)的等效剛度系數(shù)， k=k_e+ES/l F（I） 為GMM棒的輸出力， F（I）=γESM（I）² ; M（I） 為輸入電流 I 的磁化強(qiáng)度。

為便于研究GMA系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，引入無量綱位移 u=x/γ₀ 和無量綱時(shí)間 τ₁=ω₀t ，其中， γ_?0= ， ，則式（7）可轉(zhuǎn)換為

式中， 2μ 為無量綱阻尼系數(shù)， ； α 為無量綱2次剛度系數(shù)， f 為無量綱激振力， ；其中， ω 為無量綱激勵(lì)頻率， 為激勵(lì)頻率， ω_?0 為固有頻率）。

2GMA系統(tǒng)主共振的時(shí)滯反饋控制

當(dāng)GMA系統(tǒng)處于主共振狀態(tài)時(shí)，一個(gè)較小的外部激勵(lì)便可以產(chǎn)生較大的輸出響應(yīng)；此時(shí)，系統(tǒng)中會(huì)產(chǎn)生鞍結(jié)分岔，出現(xiàn)跳躍和滯后現(xiàn)象，導(dǎo)致GMA的穩(wěn)定性遭到破壞。為消除GMA系統(tǒng)中的跳躍和滯后現(xiàn)象，可在系統(tǒng)中通過加入時(shí)滯信號來構(gòu)造時(shí)滯反饋控制器。如圖3所示，在GMA系統(tǒng)中引入速度時(shí)滯反饋控制來控制GMA系統(tǒng)的輸出位移，具體方法如下：GMA系統(tǒng)的位移信號通過位移傳感器放大和轉(zhuǎn)換后傳遞到控制器中，產(chǎn)生反饋信號，該反饋信號可以用來調(diào)節(jié)GMA系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，從而實(shí)現(xiàn)更加精準(zhǔn)的運(yùn)動(dòng)控制。

將速度時(shí)滯反饋控制器引入到GMA系統(tǒng)中，則可得到如下動(dòng)力學(xué)方程：

（9式中， g 和 τ 分別為速度反饋增益系數(shù)和時(shí)滯參數(shù)。

為便于對GMA系統(tǒng)進(jìn)行擾動(dòng)分析，將式（9）中的非線性項(xiàng)前冠以小參數(shù) ε ，則可將其改寫為

當(dāng)GMA系統(tǒng)的外部激勵(lì)頻率接近系統(tǒng)的固有頻率時(shí)會(huì)產(chǎn)生主共振響應(yīng)，可通過引入 ω=1+εσ （其中，σ 為調(diào)諧參數(shù)）度量兩者的接近程度。利用多尺度法對GMA振動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行分析，引人如下不同的時(shí)間變量： T₀=τ₁ 、 T₁=ετ₁ 。則式（10）的1階解析解可表示為

x=u₀（T₀，T₁）+εu₁（T₀，T₁）

將式（11）代入式（10），并令方程兩邊的 ε 的同次冪系數(shù)相等，整理得到

式（12）的解可設(shè)為

式中，i為虛數(shù)單位。

將式（14）代人式（13），并令式中長期項(xiàng)的系數(shù)為0，則可整理得到

3仿真結(jié)果及討論

3.1GMA系統(tǒng)主共振特性分析

根據(jù)式（8），GMA系統(tǒng)基本參數(shù)選擇如下： 2μ= 0.1， α=0.05 ， f=0.2 圖4所示為當(dāng) g=τ=0 時(shí)，不同系統(tǒng)參數(shù)對GMA主共振幅頻特性曲線的影響（圖中藍(lán)色曲線代表GMA系統(tǒng)穩(wěn)定，紅色曲線代表GMA系統(tǒng)不穩(wěn)定）。由圖4（a）可知，當(dāng)系統(tǒng)2次剛度系數(shù) α 從0.05增大到1.6時(shí)，系統(tǒng)共振骨架曲線會(huì)向左移動(dòng)，其彎曲程度呈先減小后增大的變化趨勢；在 α=0.05 和1.6時(shí)出現(xiàn)“跳躍”現(xiàn)象，系統(tǒng)響應(yīng)曲線出現(xiàn)多值解（即紅色曲線部分）。這是由于 α=0.05 時(shí)，其數(shù)值大于 10α²/9≈0.0028 ；當(dāng) α=1.6 時(shí)，其數(shù)值大于10α²/9≈2.84 ，使非線性GMA系統(tǒng)表現(xiàn)出彈簧硬化特性；當(dāng) α=0.95 時(shí)，其數(shù)值較為接近 10α²/9≈1 ，GMA系統(tǒng)中的平方非線性和立方非線性相互抵消，非線性項(xiàng)對系統(tǒng)沒有產(chǎn)生影響。

并代入式（15），分離其實(shí)部和虛部，得到

式中， α_a 為系統(tǒng)的振幅； φ=σT₁-? 。

為了獲得GMA系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解，令 代入式（16，最終可得到時(shí)滯反饋控制下GMA系統(tǒng)主共振的幅頻響應(yīng)方程，即

式中，μe=μ-

由式（17）可知，受控GMA系統(tǒng)幅頻特性響應(yīng)是外部激振力和速度時(shí)滯反饋控制參數(shù)的函數(shù)。當(dāng) 時(shí)，振幅 a² 可取得最大值，其主共振響應(yīng)的峰值振幅 a_max=f/2μ_e0 （2號

系統(tǒng)振幅 a 呈先增大后減小的變化趨勢，其共振骨架曲線逐漸向右偏轉(zhuǎn)，出現(xiàn)跳躍和滯后現(xiàn)象。當(dāng)阻尼系數(shù) 2μ 增大時(shí)，共振骨架曲線呈向內(nèi)收縮趨勢，峰值和共振面積減小，響應(yīng)曲線的多值解區(qū)域減??；當(dāng)激振力f增大時(shí)，共振骨架曲線呈向外擴(kuò)展趨勢，峰值和共振面積增大，響應(yīng)曲線的多值解區(qū)域增大。因此，適當(dāng)增加阻尼系數(shù)和減小激振力會(huì)提高GMA系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

3.2時(shí)滯反饋參數(shù)對系統(tǒng)共振特性影響

從上述分析結(jié)果可知，GMA系統(tǒng)會(huì)由于非線性因素致使系統(tǒng)產(chǎn)生跳躍和滯后現(xiàn)象。這對于GMA系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行是不利的，必須對其進(jìn)行控制消除。為進(jìn)一步研究速度時(shí)滯反饋對GMA系統(tǒng)的控制效果，圖5給出了不同時(shí)滯參數(shù)下GMA系統(tǒng)的主共振幅頻特性曲線。

由圖5（a）可知，當(dāng) τ=0.25π ，速度反饋增益系數(shù) g 從0.1增大到0.3時(shí)，系統(tǒng)主共振頻率基本保持不變，但共振區(qū)域和不穩(wěn)定區(qū)域明顯減小。因此，選擇適當(dāng)?shù)乃俣确答佋鲆嫦禂?shù)，可增加系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域，消除系統(tǒng)響應(yīng)的跳躍現(xiàn)象，提高系統(tǒng)的魯棒性。

由圖5（b）可知，當(dāng) g=0.1 時(shí)，隨著速度時(shí)滯參數(shù) τ 的增大，系統(tǒng)主共振響應(yīng)達(dá)到共振峰值所對應(yīng)的激勵(lì)頻率會(huì)增大，不穩(wěn)定區(qū)域顯著增大，從而減弱了系統(tǒng)的魯棒性。因此，在控制過程中應(yīng)選擇較小的速度時(shí)滯參數(shù)，避免系統(tǒng)產(chǎn)生較大的振動(dòng)幅值和不穩(wěn)定的分岔情況。

3.3時(shí)滯反饋參數(shù)對系統(tǒng)混沌特性的影響

由圖4（c）可知，隨著激振力的增大，GMA系統(tǒng)響應(yīng)會(huì)出現(xiàn)多值區(qū)域。因此，隨著激振力參數(shù)的變化，系統(tǒng)可能會(huì)發(fā)生混沌運(yùn)動(dòng)。圖6為選取激振力f為參考變量，當(dāng)激振力f在0＼～0.4，步長 Δf=0.001 ，初始條件為[0，0]時(shí)，繪制得到的GMA系統(tǒng)隨f變化的分岔圖和Lyapunov指數(shù)圖。由圖6可知，隨著f幅值的變化，系統(tǒng)中出現(xiàn)單周期、倍周期和混沌運(yùn)動(dòng)。

當(dāng)f∈[0，0.22]時(shí)，系統(tǒng)處于單周期運(yùn)動(dòng)，如圖7（a）所示；當(dāng) f=0.15 時(shí)，GMA系統(tǒng)的時(shí)域波形圖為穩(wěn)定的單周期波形信號，相平面軌跡圖表現(xiàn)為一封閉的橢圓形曲線[圖7（b）]，此時(shí)對應(yīng)的圖6（b）中的Lyapunov指數(shù)小于0。緊接著，系統(tǒng)經(jīng)陣發(fā)性混沌倒倍分岔進(jìn)入到倍周期運(yùn)動(dòng)中，如圖8所示，當(dāng)f=0.23時(shí)，GMA系統(tǒng)的時(shí)域波形圖為多個(gè)不同波形信號譜的疊加，相平面軌跡圖中出現(xiàn)多個(gè)相互嵌套的線圈，在 f=0.23 的局部小范圍內(nèi)Lyapunov指數(shù)小于0。此后，系統(tǒng)進(jìn)入到不穩(wěn)定的混沌運(yùn)動(dòng)中，如圖9所示，當(dāng) f=0.3 時(shí)，GMA系統(tǒng)的時(shí)域波形圖為多個(gè)不同無規(guī)律波形信號譜的疊加組合，其相軌跡圖為一條長期不封閉、相互纏繞、充滿相空間的曲線，此時(shí)對應(yīng)的圖6（b）中的Lyapunov指數(shù)大于0。因此，對于GMA非線性系統(tǒng)，當(dāng) f 幅值較大時(shí)，需要合理調(diào)整結(jié)構(gòu)參數(shù)或增加時(shí)滯反饋控制方法，確保系統(tǒng)始終處于周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

由圖10可知，當(dāng) ge[0] ，0.09]時(shí)，GMA系統(tǒng)仍處于混沌運(yùn)動(dòng)中；然后，系統(tǒng)經(jīng)混沌運(yùn)動(dòng)倒倍分岔在 ，0.11]時(shí)進(jìn)入周期4運(yùn)動(dòng)中；緊接著，系統(tǒng)在 ，0.245]時(shí)倒倍分岔進(jìn)入到周期2運(yùn)動(dòng)；最后，當(dāng) ggt;0.245 時(shí)系統(tǒng)進(jìn)人到穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)中。

由以上分析可知，當(dāng)激振力變化時(shí)，GMA系統(tǒng)中會(huì)出現(xiàn)分岔和混沌運(yùn)動(dòng)。由于反饋增益系數(shù) g 容易發(fā)生改變，可通過調(diào)節(jié)反饋增益系數(shù) g 來控制GMA系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。當(dāng)激振力f取0.3時(shí)，原始GMA系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，令 τ=0.25π 并選擇步長 Δg=0.001，初始條件[0，0]，得到具有反饋增益系數(shù) g 的受控GMA系統(tǒng)的分岔圖，如圖10所示。

針對圖3所示受控系統(tǒng)，為研究引入時(shí)滯反饋控制后對GMA系統(tǒng)混沌運(yùn)動(dòng)的控制情況，圖11＼～圖13給出了不同反饋增益系數(shù) g 對GMA系統(tǒng)輸出響應(yīng)的影響。 g=0.05 時(shí)，系統(tǒng)的時(shí)域波形圖為無明顯周期和峰值信號譜的疊加，相軌跡圖為一條長期不封閉、相互纏繞、充滿相空間的曲線，此時(shí)系統(tǒng)仍處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。 g=0.1 時(shí)，由系統(tǒng)時(shí)域波形圖和相軌跡圖可知，系統(tǒng)正處于倍周期運(yùn)動(dòng)。 g=0.25 時(shí)，系統(tǒng)由圖9的混沌運(yùn)動(dòng)變?yōu)榉€(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)。

由圖14可知，當(dāng) τ∈[0 ，0.32]時(shí)，受控GMA系統(tǒng)處于穩(wěn)定的單周期運(yùn)動(dòng)。如圖15所示，當(dāng) τ=0.2 時(shí)，系統(tǒng)的時(shí)域波形圖呈穩(wěn)定的單周期波形信號，相平面軌跡為不規(guī)則的橢圓形。此后，系統(tǒng)在 τ∈ [0.32，1.73]時(shí)進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)；緊接著，經(jīng)倒倍分岔進(jìn)入到周期3運(yùn)動(dòng)中。如圖16所示，當(dāng) τ=1.8 時(shí)，系統(tǒng)的時(shí)域波形圖為3個(gè)不同波形信號譜的疊加，相平面軌跡圖中出現(xiàn)3個(gè)相互嵌套的線圈。最后，當(dāng)τgt;1.73 時(shí)，系統(tǒng)重新進(jìn)入不穩(wěn)定的混沌運(yùn)動(dòng)中。如圖17所示，當(dāng) τ=2.5 時(shí)，系統(tǒng)的時(shí)域波形圖為無明顯周期和峰值信號譜的疊加，相軌跡圖為一條不封閉、相互纏繞、充滿相空間的曲線。

當(dāng)激振力 f=0.3 時(shí)，原始GMA系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，令 g=0.05 并選擇步長 Δτ=0.001 ，初始條件[0，0]，得到具有時(shí)滯參數(shù) τ 的受控GMA系統(tǒng)的分岔圖，如圖14所示。

研究結(jié)果表明，增大時(shí)滯反饋增益和減小時(shí)滯參數(shù)，能很好地控制GMA系統(tǒng)的混沌行為，可將系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換為穩(wěn)定的單周期運(yùn)動(dòng)，從而提高GMA系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

4結(jié)論

基于多尺度法求解了速度時(shí)滯反饋控制下非線性GMA系統(tǒng)的解析解和幅頻響應(yīng)方程，利用Matlab數(shù)值模擬軟件研究了不同系統(tǒng)參數(shù)和時(shí)滯反饋參數(shù)對系統(tǒng)主共振和混沌運(yùn)動(dòng)的影響規(guī)律，結(jié)論如下：

1）未施加時(shí)滯反饋控制時(shí)，系統(tǒng)共振曲線存在多值解和跳躍現(xiàn)象；隨著激振力幅值增大，系統(tǒng)具有混沌特性。

2）當(dāng)引入時(shí)滯反饋控制時(shí)，增大速度反饋增益系數(shù)和減小時(shí)滯參數(shù)，可消除系統(tǒng)共振曲線的多值解和跳躍現(xiàn)象；增大反饋增益系數(shù)和減小時(shí)滯參數(shù)，可減小系統(tǒng)的混沌區(qū)域，將系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)調(diào)節(jié)為穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)，從而有效提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

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Research on nonlinear dynamics of giant magnetostrictive actuators under delayed feedback control

YAN Yan’GAO Daxiao2 （1.Department of Intelligent Manufacturing Engineering，Zibo Technician College，Zibo ， China） （2.College ofEngineering，Ocean University ofChina，Qingdao ，China）

Abstract：[Objective]Inresponse to the bifurcationand chaosphenomenainthe dynamicsof giant magnetostrictive actuator（GMA），whichreducetheoutputstabilityofthesystem，avelocitydelayfeedbackcontrollerwasdesignedtouppe the mainresonancebifurcationand chaotic motionof the GMAsystem.[Methods]Theanalytical expresionandamplitude frequencyresponseequationofthesystem weresolved basedonthemulti-scalemethod.Theinfluenceofthekeystructural parameters ofthesystemandthedelayed feedback parameters on the mainresonanceand chaotic motionofthe system was studiedthroughthenumericalsimulation.[Results]Theresearchresultsindicate thatappropriatelyincreasingthefeedbackgain coeficientandreducing thedelayparametercan efectivelyeliminate themainresonance bifurcationphenomenonof the system.Increasingthefeedbackgaincoefcientcanadjust thesystemresponsefromchaoticmotiontoperiodicmotion，thereby improving the stability of the system.

Key Words：Giant magnetostrictive actuator;Mainresonance;Bifurcation; Chaotic motion; Stability