低頻激勵(lì)下壓電俘能器的簇發(fā)振蕩和俘能效率分析

中圖分類號(hào)：0322 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.202309003

Bursting oscillation and energy capture efficiency analysis of piezoelectric energy harvester under low frequency excitation

QIAN Youhua，REN Meirong （School of Mathematical Sciences，Zhejiang Normal University，Jinhua 321oO4，China）

Abstract：Environmental vibrationenergyisa kindofrenewable andcleanenergy withabundantreservesand widedistribution. Throughenergyharvestingtechnology，themechanicalenergyintheenvironmentisconvertedintoelectricalenergytopowerlow powerelectronicdevicesandwirelessensornetworks，whichisanefectivesolutiontobreakthelimitationsoftraditionalpower supplymethods.Intispape，theurstingoslltonandenergycaptureeficiencyofmechanicalonliearmultistablepiezelec triccantileverbeamdevicearestudiedunderlowfrequency excitation.Byanalyzing thepotentialenergyof thesystem，itcanbe seenthatthesystemhas multi-stablecharacteristicswiththechangeofsystem parameters.According tothefastandslowdynamic analysis method，theexteralexcitationtermisregardedasaslowvariableandcontrolparametertoadjustthedynamicbehaviorof thefastubsystem，andthetimehistorydiagram，phasediagramandtransitionphasediagramofthesystemareobtained.Themo tionstateandenergycaptureperformanceof thesystemunderlowfrequencyexcitationareanalyzedbynumericalmethod.There sultsshowthatthesystemexistsburstingoscilltionunderlowfrequencyexcitation，andthesystemhasgoodenergycapturechar acteristics whenthesystemisbistable.Inadition，the time-delayfeedbackcontrolcancontroltheclusteringphenomenonandensure the stable operation of the system.

Keywords：lowfrequencyexcitation;burstingoscilation;fastslowdynamics;energyharvesting;time-delayfeedbackcontrol

能量收集是當(dāng)今工程科學(xué)中的一個(gè)熱門(mén)領(lǐng)域，從低頻振動(dòng)中捕獲能量是俘能器應(yīng)用的關(guān)鍵挑戰(zhàn)之二[1-2]。由于人類生活環(huán)境的頻率通常低于100 Hz，而現(xiàn)有的能量收集裝置大多具有較高的諧振頻率（ gt;100Hz [3]，因而這些能量收集裝置不能很好地適應(yīng)低頻環(huán)境振動(dòng)。

近年來(lái)，低功耗電子設(shè)備如無(wú)線傳感器、通信節(jié)點(diǎn)、微型機(jī)器人、無(wú)人機(jī)以及可穿戴（可植入式）等的飛速發(fā)展與廣泛應(yīng)用，使其供能技術(shù)受到嚴(yán)峻挑戰(zhàn)。傳統(tǒng)電池供能雖然便捷，但是使用壽命短，無(wú)法長(zhǎng)時(shí)間穩(wěn)定地供能，而且會(huì)給環(huán)境造成污染。環(huán)境振動(dòng)能量是一種儲(chǔ)量豐富、分布廣泛的可再生清潔能源，可以通過(guò)能量采集技術(shù)，將環(huán)境中的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電能并儲(chǔ)存起來(lái)，供微電子設(shè)備使用。因此，自從WILLIAMS等4在1996年提出這個(gè)想法以來(lái)，環(huán)境中的振動(dòng)能成為了能量收集領(lǐng)域中的重點(diǎn)研究對(duì)象[5-7]。張偉等[8]利用可移動(dòng)鉸支座和非線性磁力設(shè)計(jì)了一種具有雙穩(wěn)態(tài)特性的寬頻壓電俘能器，通過(guò)拓寬壓電俘能器的工作頻帶，匹配環(huán)境中較寬的振動(dòng)頻率。ZHANG等9提出了一種利用壓力流體的二次激勵(lì)清除周?chē)h(huán)境中的低頻振動(dòng)能量的低頻壓電能量收割機(jī)，證明了該結(jié)構(gòu)在低頻高強(qiáng)度振動(dòng)中的良好性能和可行性。YU等[10提出了一種具有旋轉(zhuǎn)-自由度（DOF）的壓電能量收割機(jī)，以有效實(shí)現(xiàn)在低頻環(huán)境下的多模態(tài)振動(dòng)能量收集。CAO等[提出了一種適用于超低頻率旋轉(zhuǎn)場(chǎng)景下的雙懸臂梁旋轉(zhuǎn)逆復(fù)合壓電能量采集器。LIU等[12提出了一種混合磁耦合和沖擊增強(qiáng)的寬帶壓電振動(dòng)能量采集器（piezoelectricvibrationenergyharvester，PVEH），通過(guò)與環(huán)境振動(dòng)頻率的匹配實(shí)現(xiàn)能量收集效率的提升。

對(duì)于低頻激勵(lì)下的機(jī)械系統(tǒng)，可能會(huì)出現(xiàn)一種以小振幅振蕩和大振幅振蕩交替為特征的現(xiàn)象，即簇發(fā)振蕩[13]。簇發(fā)振蕩產(chǎn)生機(jī)制的解釋可以追溯到RINZEL[14]提出的凍結(jié)子系統(tǒng)的方法。JIANG等[15]證明了簇發(fā)振蕩可以用來(lái)提升采收功率。錢(qián)有華等[16]和LIN等[17-18]研究了不同激勵(lì)下不同壓電俘能器的簇發(fā)振蕩及俘能效率。HUANG等[19-20]考慮了原點(diǎn)處具有三重Hopf分岔的向量場(chǎng)在三階正則形式下的簇發(fā)振蕩；KPOMAHOU等[2研究了由參數(shù)周期阻尼和外部激勵(lì)驅(qū)動(dòng)的具有非對(duì)稱雙阱勢(shì)的混合Rayleigh-Lienard振蕩器中簇發(fā)、混合模式振蕩和馬蹄形混沌的存在性。CHEN等22以快-慢激勵(lì)下的壓電屈曲梁系統(tǒng)為研究對(duì)象，對(duì)簇發(fā)狀態(tài)下的能量收集問(wèn)題進(jìn)行了分析和數(shù)值研究。

大多數(shù)實(shí)際振動(dòng)系統(tǒng)都存在時(shí)滯效應(yīng)，一些研究人員已經(jīng)考慮過(guò)非線性振蕩器的時(shí)滯控制[23-25]。GUO等[26]研究了一類具有雙穩(wěn)態(tài)且同時(shí)存在兩個(gè)穩(wěn)定極限環(huán)的時(shí)滯周期振蕩器在確定性情況下的隨機(jī)分岔問(wèn)題。YU等[27-28]研究了振幅調(diào)制在具有時(shí)滯反饋的經(jīng)典機(jī)械振蕩器中控制（抑制或增強(qiáng)）簇發(fā)振蕩的有效性。結(jié)果表明，延遲的存在可以改變或完全抑制奇異周期振蕩的振幅。張紹華等29探究了PMSM系統(tǒng)中的簇發(fā)，并設(shè)計(jì)控制器對(duì)簇發(fā)行為進(jìn)行抑制。

深入地開(kāi)展低頻振動(dòng)能量特征研究不僅可以了解結(jié)構(gòu)中的振動(dòng)傳遞機(jī)理，也可為結(jié)構(gòu)中振動(dòng)能量的調(diào)節(jié)和控制提供指導(dǎo)。本文采用快慢分析方法，研究了低頻激勵(lì)下多穩(wěn)態(tài)壓電俘能器的簇發(fā)振蕩現(xiàn)象和俘能特性，并通過(guò)時(shí)滯反饋控制提升俘能效率，抑制簇發(fā)振蕩的產(chǎn)生，保證系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行，以期為多穩(wěn)態(tài)壓電俘能器的可靠性設(shè)計(jì)和控制提供參考。

1數(shù)學(xué)模型和分岔分析

多穩(wěn)態(tài)俘能器的物理結(jié)構(gòu)如圖1（a）所示。兩根線性彈簧對(duì)稱分布在懸臂梁未發(fā)生形變時(shí)平衡位置的兩側(cè)。當(dāng)無(wú)外部激勵(lì)時(shí)，懸臂梁靜止，兩彈簧處于壓縮狀態(tài)。在懸臂梁上、下兩側(cè)各有一層寬度和長(zhǎng)度均與懸臂梁相同的壓電片。當(dāng)基座在外部激勵(lì)下發(fā)生振動(dòng)時(shí)，懸臂梁產(chǎn)生形變，導(dǎo)致壓電片發(fā)生形變，壓電片的壓電效應(yīng)可實(shí)現(xiàn)振動(dòng)能向電能的轉(zhuǎn)化。圖1（b）為簡(jiǎn)化后的典型的彈簧阻尼系統(tǒng)。系統(tǒng)的等效質(zhì)量、等效剛度和等效阻尼分別為 M，K 和 c 兩線性彈簧的剛度系數(shù)為 K₁ ，負(fù)載電阻為 R ，懸臂梁的輸出電壓為 V ，懸臂梁末端距右端基座的垂直距離為 h ，兩線性彈簧在基座上的距離為 2a ，懸臂梁的振動(dòng)位移為 X（τ） ，外部激勵(lì)為 Y（τ） 。

系統(tǒng)的無(wú)量綱方程為[30]：

式中，系統(tǒng)的剛度比 ；彈簧的位置參數(shù) 其中 L 為彈簧原長(zhǎng)； 其中ω_?0 為固有頻率; 其中 C_p 為等效電容， θ 為機(jī)電耦合系數(shù)； ；無(wú)量綱化后的位移 ；無(wú)量綱化后的電壓 ，其中 ；無(wú)量綱化后的時(shí)間 為 x 對(duì)時(shí)間 t 的一階微分； 為 x 對(duì)時(shí)間 t 的二階微分； 為 v 對(duì)時(shí)間 t 的一階微分。

令 ，系統(tǒng)的狀態(tài)方程（1）變?yōu)椋?/p>

式中 為激勵(lì)振幅，頻率比 ω₁ 為激勵(lì)頻率。

令 W=fcos（ωt） ，將方程（2）轉(zhuǎn)化為生成廣義自治系統(tǒng)：

當(dāng)激勵(lì)頻率 ω₁ 遠(yuǎn)小于固有頻率時(shí)，系統(tǒng)可能會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)尺度的效應(yīng)，產(chǎn)生復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為[31]。由于 ω?1 ，對(duì)于任意一個(gè)快變周期，激勵(lì)項(xiàng) W= fcos（ωt） 變化很小，因此可以將其作為方程（3）的一個(gè)慢變參數(shù)。這樣就可以應(yīng)用傳統(tǒng)的快慢分析法來(lái)揭示周期激勵(lì)中不同簇發(fā)的產(chǎn)生機(jī)制[32]。

令 ，快子系統(tǒng)的平衡點(diǎn)E（x₀，0，0） 滿足下式：

平衡點(diǎn) E（x₀，0，0） 的特征方程為：

λ³+（η+2ξ）λ²+（2ξη+γ-a）λ-aη=0

式中，λ為特征值；

由Routh-Hurwitz穩(wěn)定性判據(jù)，平衡點(diǎn) E 是穩(wěn)定的當(dāng)且僅當(dāng)：

平衡點(diǎn) E 的不穩(wěn)定性將導(dǎo)致不同形式的分岔。結(jié)合式（4）和（5），得到fold分岔在平衡點(diǎn) E 處發(fā)生的條件為：

由式（1）可得系統(tǒng)的無(wú)量綱勢(shì)能函數(shù)為：

由式（8）可看出，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)數(shù)目與剛度比 μ 、彈簧的位置參數(shù) α 和 β 有關(guān)。

2 簇發(fā)振蕩現(xiàn)象

根據(jù)式（7），可以畫(huà)出如方程（3）所示的快速子系統(tǒng)（3）的雙參數(shù) （W，α） 分岔圖，如圖2所示。P₁（0，0.221941） 代表分岔點(diǎn)，藍(lán)色實(shí)線代表fold分岔曲線。 l₁=0.22194 l₂=0.31812 l₃=0.60117 。其他參數(shù)固定為 ξ=0.05 ， γ=0.5 η=0.05，β=0.2 ，μ=1，f=1 。

圖 3～5 分析了 α 在區(qū)域 內(nèi)低頻激勵(lì) ω= 0.01下系統(tǒng)產(chǎn)生的簇發(fā)振蕩現(xiàn)象。

情形1所在區(qū)域?yàn)?（0，l₁） ，取 α=0.15 ，且系統(tǒng)為雙穩(wěn)態(tài)。由圖3（a）可知，該系統(tǒng)在一個(gè)周期內(nèi)經(jīng)歷了兩次尖峰振蕩和兩次弛豫振蕩。圖3（b）顯示了一個(gè)周期的運(yùn)動(dòng)可分為兩個(gè)對(duì)稱的部分。從區(qū)域

A出發(fā)，系統(tǒng)沿著路徑 完成一個(gè)周期的運(yùn)動(dòng)。在每個(gè)周期內(nèi)，前半周期（ ）和后半周期

L BA 的運(yùn)動(dòng)是對(duì)稱的。圖3（c）揭示了簇發(fā)振蕩的分岔機(jī)理。該系統(tǒng)從上分支的最右端1.0出發(fā)向左移動(dòng)，進(jìn)入弛豫振蕩，到達(dá)點(diǎn) FB₁（-0.614，0.295） 后，從上分支跳到下分支，進(jìn)入尖峰振蕩，隨著振蕩逐漸減弱，系統(tǒng)到達(dá)最左端 -1.0 。后半周期的運(yùn)動(dòng)和前半周期類似。系統(tǒng)從 -1.0 折返并向右移動(dòng)，進(jìn)入弛豫振蕩。遇到分岔點(diǎn) FB₂（0.614，-0.295） 后，從下分支跳到上分支，再次進(jìn)入尖峰振蕩，隨著振蕩減弱，系統(tǒng)右移至1.0，最終完成一個(gè)周期的運(yùn)動(dòng)。

情形2為區(qū)域 （l₁，l₂） ，取 α=0.25 時(shí)，系統(tǒng)為三穩(wěn)態(tài)。圖4和圖3類似，同樣是經(jīng)歷了兩次尖峰振蕩和兩次弛豫振蕩，但圖4（c）中出現(xiàn)了4個(gè)分岔點(diǎn)，由于分岔點(diǎn) FB₂，F(xiàn)B₃ 并沒(méi)有對(duì)簇發(fā)產(chǎn)生影響，這導(dǎo)致了尖峰振蕩持續(xù)時(shí)間較短，振幅減小較快。

情形3為區(qū)域 （l₂，l₃） ，隨著 α 的增大，簇發(fā)振蕩也逐漸復(fù)雜，取 α=0.55 時(shí)，系統(tǒng)為單穩(wěn)態(tài)。如圖5（a）所示，系統(tǒng)在一個(gè)周期內(nèi)經(jīng)歷了四次尖峰振蕩和四次弛豫振蕩。如圖5（b）所示，系統(tǒng)沿著路徑 BMA 完成一個(gè)周期的運(yùn)動(dòng)。如圖5（c）所示，系統(tǒng)從上分支的最右端1.0出發(fā)向左移動(dòng)，進(jìn)入弛豫振蕩，到達(dá)點(diǎn) FB₁ 后，從上分支跳到中分支，進(jìn)入尖峰振蕩，并逐漸減弱，到達(dá)點(diǎn) FB₃ 后，從中分支跳到下分支，再次進(jìn)入尖峰振蕩，并逐漸減弱，到達(dá)最左端一1.0。后半周期的運(yùn)動(dòng)和前半周期類似，系統(tǒng)從下分支的最左端一1.0折返并向右移動(dòng)，進(jìn)入弛豫振蕩，到達(dá)點(diǎn) FB₄ 后，從下分支跳到中分支，進(jìn)入尖峰振蕩，并逐漸減弱，到達(dá)點(diǎn) FB₂ 后，從中分支跳到上分支，再次進(jìn)入尖峰振蕩，并逐漸減弱，到達(dá)最右端1.0，最終完成一個(gè)周期的運(yùn)動(dòng)。

通過(guò)觀察Poincare截面上截點(diǎn)的情況可以判斷是否發(fā)生混沌：當(dāng)Poincare截面上有且只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)或少數(shù)離散點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)是周期的；當(dāng)Poincare截面上是一些成片的具有分形結(jié)構(gòu)的密集點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)便是混沌的。從圖7可以看出，當(dāng) α=0.15 時(shí)，Poincare截面上有且只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)是周期的。當(dāng) α=0.55 時(shí)，Poincare截面上是成片的具有分形結(jié)構(gòu)的密集點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)是混沌的。與圖6中的 ω-x 分岔圖相對(duì)應(yīng)。

由于不同結(jié)構(gòu)的壓電俘能器的俘能特性有較大差別，且非線性壓電俘能器在受到外界低頻激勵(lì)時(shí)會(huì)產(chǎn)生簇發(fā)振蕩現(xiàn)象，因此有必要研究簇發(fā)以及外激勵(lì)等參數(shù)對(duì)俘能特性的影響。本文以無(wú)量綱均方根電壓和輸出功率作為系統(tǒng)俘能效果的評(píng)價(jià)指標(biāo)，無(wú)量綱均方根電壓為：

式中， z_i 為無(wú)量綱離散輸出電壓值； n 為離散電壓取樣點(diǎn)數(shù)。

輸出功率為：

式中， z 為無(wú)量綱化后的輸出電壓；固定負(fù)載電阻R=20Ω 。

圖8描繪了系統(tǒng)在不同頻率比 ω 下的功率響應(yīng)圖?？梢钥闯?，當(dāng)激勵(lì)振幅 f=0.7 時(shí)，簇發(fā)頻率下產(chǎn)生的俘能效率最好，其次是共振頻率，最后是非共振頻率。因此，簇發(fā)振蕩現(xiàn)象能夠提升能量收集效率，且俘能效率與激勵(lì)頻率和激勵(lì)振幅有很大關(guān)系，通過(guò)合理調(diào)節(jié)激勵(lì)頻率和激勵(lì)振幅可以改善俘能器的能量收集效率。

圖9描繪了系統(tǒng)在不同激勵(lì)振幅下的功率響應(yīng)圖?？梢悦黠@看出，當(dāng) f=1 時(shí)，雙穩(wěn)態(tài)俘能效率較好；當(dāng) f=0.6 時(shí)，三穩(wěn)態(tài)俘能效率較好，但最大功率響應(yīng)值小于 f=1 時(shí)的最大功率響應(yīng)值；當(dāng) f=0.2 時(shí)，單穩(wěn)態(tài)俘能效率較好，但比 f=0.6 時(shí)的最大功率響應(yīng)值小。因此從總體上看，雙穩(wěn)態(tài)的俘能效率較好。

接下來(lái)，針對(duì)激勵(lì)振幅 f=1 繼續(xù)探討系統(tǒng)的俘能特性。圖10描述了系統(tǒng)隨 μ 變化的俘能特性曲線和功率響應(yīng)圖。可以看出，存在一個(gè)最大 μ 值使得均方根電壓值最大，即當(dāng) μ=1.21 時(shí)，系統(tǒng)的俘能特性最好，圖10的電壓曲線和功率響應(yīng)圖可以相互印證。

圖11描述了系統(tǒng)隨 β 變化的俘能特性曲線和功率響應(yīng)圖。可以看出，存在一個(gè)最大 β 值使得電壓值最大，即當(dāng) β=0.18 時(shí)，系統(tǒng)的俘能特性最好，圖11的電壓曲線和功率響應(yīng)圖可以相互印證。綜上所述，當(dāng) α=0.15，β=0.18，μ=1.21 時(shí)，系統(tǒng)的俘能效率達(dá)到最高。

當(dāng)方程（2）出現(xiàn)簇發(fā)振蕩時(shí)，采用時(shí)滯反饋控制的方法快速抑制俘能器系統(tǒng)中的簇發(fā)振蕩，使其達(dá)到穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，從而保證系統(tǒng)的正常運(yùn)行。圖12描繪了時(shí)滯反饋控制前/后系統(tǒng)的時(shí)間歷程圖和相圖，藍(lán)色曲線代表未加入時(shí)滯反饋控制，紅色曲線代表加入時(shí)滯反饋控制。從圖12可以看出，加入時(shí)滯反饋后，簇發(fā)振蕩現(xiàn)象消失，系統(tǒng)趨于穩(wěn)定狀態(tài)。因此，加入時(shí)滯反饋控制能夠抑制簇發(fā)現(xiàn)象，使系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行。

4 時(shí)滯反饋控制

了解能量收集系統(tǒng)對(duì)時(shí)滯反饋控制的動(dòng)態(tài)響應(yīng)有助于更好地控制系統(tǒng)，保證系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行。時(shí)滯反饋被稱為動(dòng)力系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間控制的有效工具。時(shí)滯反饋的形式[3]為 其中 k 表示反饋增益，加入時(shí)滯反饋后，系統(tǒng)變?yōu)椋?/p>

圖13描繪了時(shí)滯反饋控制下系統(tǒng)的時(shí)間歷程圖和相圖。從圖13可以看出，時(shí)滯的大小會(huì)影響系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)的時(shí)間，當(dāng)時(shí)滯 τ=0.7 時(shí)，系統(tǒng)更快達(dá)到平衡態(tài)。因此，可以通過(guò)調(diào)節(jié)時(shí)滯促使系統(tǒng)更快達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。

圖14描繪了時(shí)滯反饋控制前/后系統(tǒng)的功率響應(yīng)圖。加人時(shí)滯反饋控制，通過(guò)調(diào)節(jié)反饋增益和時(shí)滯，可以使系統(tǒng)的輸出功率更加穩(wěn)定且提高輸出功率。固定 （τ，k）=（0.03，11.2） ，通過(guò)對(duì)比圖14（a）和（b）可以發(fā)現(xiàn)，加入時(shí)滯反饋控制后，系統(tǒng)的輸出功率更加穩(wěn)定，但不足之處是并沒(méi)有很大程度上提升系統(tǒng)的輸出功率，且不能保證抑制簇發(fā)振蕩現(xiàn)象的同時(shí)提升俘能效率。在以后的研究中，將繼續(xù)改進(jìn)時(shí)滯反饋控制，使其可以在實(shí)現(xiàn)減振效果的同時(shí)提高俘能效率。

5結(jié)論

本文對(duì)一種機(jī)械式非線性多穩(wěn)態(tài)壓電懸臂梁裝置的簇發(fā)振蕩和俘能效率進(jìn)行了研究。通過(guò)分析系統(tǒng)勢(shì)能可知，隨著系統(tǒng)參數(shù)的變化，系統(tǒng)具有多穩(wěn)態(tài)的特性；采用數(shù)值仿真法分析了在低頻激勵(lì)下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)及俘能性能。結(jié)果表明：

（1）低頻激勵(lì)下，系統(tǒng)存在fold分岔，fold分岔會(huì)引起簇發(fā)振蕩現(xiàn)象，簇發(fā)頻率能提升能量收集效率且系統(tǒng)為雙穩(wěn)態(tài)時(shí)具有較好的俘能特性。

（2）能量俘獲效能與激勵(lì)頻率和激勵(lì)振幅有關(guān)，且剛度比 μ 、彈簧的位置參數(shù) α 和 β 分別存在一個(gè)閥值，使得系統(tǒng)的俘獲效能最大。

（3）引入時(shí)滯反饋控制可以抑制簇發(fā)振蕩現(xiàn)象，保證系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行，也可以在一定程度上提升俘能效率。

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