結(jié)構(gòu)統(tǒng)計(jì)能量分析子系統(tǒng)自動(dòng)識(shí)別方法研究

關(guān)鍵詞：統(tǒng)計(jì)能量分析；模態(tài)能量；子系統(tǒng)識(shí)別；層次聚類分析；本征正交分解 中圖分類號(hào)：0321 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.202306058

Automatic identification method of structural statistical energy analysis subsystem

CHEN Qiang1，2，DING Yongjun2， ZHANG Dahai12，F(xiàn)EI Qingguo1，2 （1.SchoolofMechanical Enginering，Southeast University，Nanjing 21189，China;2.KeyLaboratoryofStructureand Thermal Protection forHigh-SpeedAircraft，MinistryofEducation，Nanjing 21l189，China）

Abstract：Statisticalenergyanalysis（SEA）isawidelyusedmethodforanalyzingthehighfrequencydynamicresponseofmechani cal structurs.Thereasonabledivisionofsubsystemsisoneof tecriticalbasisesforSEA.Inthispaper，anautomaticidentification methodof SEAsubsystembasedonorderreduced modalenergydensityandhierarchicalclusteranalysis isdeveloped.First，the structuralmodalenergydensitiesinthehigh-frequencybandareobtainedthroughthediscretefiniteelementmodel.Then，themain featuresofthemodalenergiesareextractedthroughtheproperorthogonaldecomposition.Thesimilarityofthemodalenergydensitybetweendiferentelementsisanalyzdbyhierarchicalclusteranalysis.Finall，thenumberofstatisticaleergyanalysisubsy temsandthecorespondingstructuralelementsareidentified.TheTshapedplates，Ishaped plates，ndenginecombustioncham beraretaken as simulationmodels toverifytheefectiveness of theproposed method.Simulationresults show thatthecouplingre lationshipbetweencomponents，thenumberofsubsystems，andcorespondingelementscanbeautomaticallyidentifiedbyhepro posed method.Then，the SEA model can be established efciently and accurately.

Keywords：statisticalenergyanalysis（SEA）；modalenergy；subsystemidentification；hierarchicalclusteranalysis；proper orthogonal decomposition

運(yùn)載火箭、航空發(fā)動(dòng)機(jī)、高速列車等機(jī)械裝備在服役過(guò)程中承受高頻振動(dòng)載荷[1-4]，會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)產(chǎn)生強(qiáng)烈的高頻振動(dòng)響應(yīng)，嚴(yán)重影響結(jié)構(gòu)功能性和安全性。由于結(jié)構(gòu)在高頻段的振動(dòng)波長(zhǎng)很短，采用有限元等離散化方法預(yù)示高頻動(dòng)響應(yīng)需要建立極為精細(xì)的數(shù)值模型，這將消耗大量計(jì)算資源。為此，LYON等[5]基于統(tǒng)計(jì)物理學(xué)原理提出了統(tǒng)計(jì)能量分析（statisticalenergyanalysis，SEA）理論，該方法將結(jié)構(gòu)劃分為若干子系統(tǒng)（subsystem），然后建立子系統(tǒng)間的功率平衡方程，進(jìn)而求解得到各子系統(tǒng)在空間和頻帶內(nèi)的平均振動(dòng)特性，具有較好的分析精度和極高的計(jì)算效率。目前，統(tǒng)計(jì)能量分析已成為結(jié)構(gòu)高頻動(dòng)力學(xué)分析最為常用的方法[6-10]

子系統(tǒng)劃分是開(kāi)展統(tǒng)計(jì)能量分析的首要和關(guān)鍵環(huán)節(jié)，子系統(tǒng)劃分不當(dāng)會(huì)影響耦合損耗因子等分析參數(shù)和結(jié)構(gòu)高頻動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的預(yù)測(cè)精度。統(tǒng)計(jì)能量分析理論中將可以貯存振動(dòng)能量的模態(tài)群定義為子系統(tǒng)[5]。模態(tài)群包含存在于同一部件中具有類似特征的模態(tài)。因此，模態(tài)相似是劃分子系統(tǒng)的首要準(zhǔn)則。此外，根據(jù)統(tǒng)計(jì)能量分析理論，子系統(tǒng)同時(shí)應(yīng)滿足高模態(tài)密度、弱耦合強(qiáng)度等假設(shè)[6]。

早期有關(guān)統(tǒng)計(jì)能量分析子系統(tǒng)的研究以定性分析為主，如FAHY[1]探究了汽車內(nèi)部聲腔子系統(tǒng)劃分對(duì)高頻能量響應(yīng)預(yù)示結(jié)果的影響；朱正道等12研究了平板和圓柱殼的子系統(tǒng)劃分對(duì)聲輻射特性的影響；王淅鋮等[13]研究了船舶板架中加筋板、雙層底板結(jié)構(gòu)的等效建模方法;CHEN等[14]依照材料屬性對(duì)不同部件進(jìn)行了子系統(tǒng)劃分；FORSSEN等[15]根據(jù)結(jié)構(gòu)的幾何特征，研究了高速列車統(tǒng)計(jì)能量分析模型的建模方法?，F(xiàn)階段子系統(tǒng)劃分大多依賴于工程經(jīng)驗(yàn)，缺乏量化分析方法，尚未形成系統(tǒng)理論。對(duì)于L型板、T型板等簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)，可以通過(guò)工程經(jīng)驗(yàn)直接劃分子系統(tǒng)；但對(duì)于構(gòu)型復(fù)雜的工程結(jié)構(gòu)，不同部件間的連接關(guān)系復(fù)雜，部件間耦合關(guān)系難以判定，難以直接依靠工程經(jīng)驗(yàn)劃分，亟需研究統(tǒng)計(jì)能量分析子系統(tǒng)的自動(dòng)識(shí)別方法。

近年來(lái)研究人員開(kāi)始逐漸認(rèn)識(shí)到子系統(tǒng)劃分的重要性，開(kāi)展了子系統(tǒng)自動(dòng)識(shí)別方法的相關(guān)研究。GAGLIARDINI等[16針對(duì)汽車結(jié)構(gòu)，基于有限元模型獲得的能量傳遞矩陣和多點(diǎn)隨機(jī)激勵(lì)下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，識(shí)別了統(tǒng)計(jì)能量分析子系統(tǒng)。TOTARO等[17]基于能量傳遞函數(shù)和 K -means聚類方法識(shí)別子系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)高頻動(dòng)響應(yīng)的動(dòng)能和勢(shì)能存在顯著差異，因此需要在分析中同時(shí)考慮。但這種方法需要多次計(jì)算不同激勵(lì)位移對(duì)應(yīng)的能量傳遞函數(shù)，計(jì)算量較大，且無(wú)法自動(dòng)獲得子系統(tǒng)數(shù)量，因此實(shí)用性較差。DIAZ-CERECEDA等[8]提出了基于模態(tài)能量和層次聚類分析的子系統(tǒng)自動(dòng)識(shí)別方法，僅需一次模態(tài)分析即可獲得結(jié)構(gòu)子系統(tǒng)識(shí)別的輸人參數(shù)，針對(duì)L型折板、T型結(jié)構(gòu)等簡(jiǎn)單系統(tǒng)取得了較好的識(shí)別效果，但對(duì)于子系統(tǒng)較多或物理邊界不明顯的復(fù)雜結(jié)構(gòu)，其識(shí)別精度不足。MAGRANS等[19-20]提出了一種基于能量傳遞路徑的子系統(tǒng)識(shí)別方法，進(jìn)而評(píng)估了各子系統(tǒng)間的耦合強(qiáng)度，獲得了子系統(tǒng)間的耦合損耗因子等統(tǒng)計(jì)能量分析參數(shù)，最終完整地建立了統(tǒng)計(jì)能量分析系統(tǒng)；但這種方法也存在計(jì)算效率低等問(wèn)題。LANGLEY等[2]針對(duì)加筋壁板等剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)，提出了基于有限元-統(tǒng)計(jì)能量混合方法的建模技術(shù)，自動(dòng)識(shí)別了各部件所對(duì)應(yīng)的模型。綜上所述，現(xiàn)有研究雖然取得了一些進(jìn)展，但其研究對(duì)象大多為驗(yàn)證理論方法的簡(jiǎn)單模型，對(duì)于復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)會(huì)出現(xiàn)計(jì)算量大、穩(wěn)定性差等問(wèn)題，亟待發(fā)展針對(duì)復(fù)雜機(jī)械結(jié)構(gòu)的統(tǒng)計(jì)能量分析子系統(tǒng)自動(dòng)識(shí)別方法。

本文針對(duì)機(jī)械結(jié)構(gòu)高頻統(tǒng)計(jì)能量分析子系統(tǒng)識(shí)別問(wèn)題開(kāi)展研究。首先，介紹統(tǒng)計(jì)能量分析基礎(chǔ)理論；進(jìn)而，給出基于降階模態(tài)能量和層次聚類分析方法的子系統(tǒng)識(shí)別方法；然后，以T型結(jié)構(gòu)、工型結(jié)構(gòu)和復(fù)雜發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒室為例開(kāi)展統(tǒng)計(jì)能量子系統(tǒng)識(shí)別研究，驗(yàn)證方法有效性；最后，對(duì)論文的工作進(jìn)行總結(jié)。

1統(tǒng)計(jì)能量分析及子系統(tǒng)識(shí)別方法

本節(jié)首先介紹統(tǒng)計(jì)能量分析理論，進(jìn)而從輸入?yún)?shù)、識(shí)別算法、識(shí)別流程三方面出發(fā)，系統(tǒng)性地介紹結(jié)構(gòu)統(tǒng)計(jì)能量子系統(tǒng)識(shí)別方法。

1. 1 統(tǒng)計(jì)能量分析理論

根據(jù)統(tǒng)計(jì)能量分析理論，子系統(tǒng)中包含了存在于同一部件中具有類似特征的模態(tài)，因此需要根據(jù)模態(tài)相似原則劃分子系統(tǒng)。對(duì)于面內(nèi)尺寸與厚度差異較大的薄壁結(jié)構(gòu)，其高頻振動(dòng)以彎曲模態(tài)為主，因此分析時(shí)大多僅需考慮其彎曲模態(tài)子系統(tǒng)。

統(tǒng)計(jì)能量理論中包含了若干基本假設(shè)，CULLA等[22]和LEBOT等[23]對(duì)這些基本假設(shè)進(jìn)行了總結(jié)歸納和數(shù)學(xué)性描述。有關(guān)統(tǒng)計(jì)能量分析子系統(tǒng)劃分的假設(shè)主要包括：

（1）模態(tài)相似性：對(duì)于各子系統(tǒng)，在給定頻帶內(nèi)的各共振模態(tài)具有相同的模態(tài)能量密度；（2）高模態(tài)密度：在分析頻帶內(nèi)子系統(tǒng)的模態(tài)密度足夠高，一般要求分析頻帶內(nèi)模態(tài)數(shù)目大于5；（3）弱耦合假設(shè)：兩個(gè)耦合子系統(tǒng)間的功率流正比于兩子系統(tǒng)間的實(shí)際能量差。

這些基本假設(shè)為本文的統(tǒng)計(jì)能量子系統(tǒng)識(shí)別提供了重要的理論依據(jù)。

1.2統(tǒng)計(jì)能量分析子系統(tǒng)識(shí)別方法

1.2.1子系統(tǒng)識(shí)別的輸入?yún)?shù)

（1）構(gòu)建模態(tài)能量矩陣

通過(guò)有限元法建立機(jī)械結(jié)構(gòu)離散化分析模型，根據(jù)分析頻率將系統(tǒng)離散為 Ω_m 個(gè)單元，并施加邊界條件。在分析頻段內(nèi)進(jìn)行模態(tài)分析，得到模態(tài)固有頻率 ω_j， 各單元對(duì)應(yīng)的動(dòng)能 e_k^ij 和勢(shì)能 e_s^ij ·

式中， W_ij 為第 j 階模態(tài)下第 i 個(gè)單元的位移向量； M_i

和 K_i 分別對(duì)應(yīng)第 i 個(gè)單元的質(zhì)量和剛度矩陣。

第 j 階模態(tài)下第 i 個(gè)單元對(duì)應(yīng)的總能量為：

e_ij=e_k^ij+e_s^ij

進(jìn)而，基于單元體積 V_i 可以計(jì)算得到單元模態(tài)

能量密度：

為滿足統(tǒng)計(jì)能量分析中模態(tài)能量密度均一化的假設(shè)，需要對(duì)模態(tài)能量密度進(jìn)行歸一化處理。模態(tài)j的系統(tǒng)平均能量密度為：

模態(tài) j 對(duì)應(yīng)的能量密度方差表示為：

可得歸一化模態(tài)能量密度：

最終得到歸一化的模態(tài)能量密度矩陣 E ，其中矩陣元素 E（i，j） 表示第 i 個(gè)單元在第 j 階模態(tài)對(duì)應(yīng)的歸一化模態(tài)能量密度。

（2）構(gòu)建降階模態(tài)能量矩陣

由于高頻范圍內(nèi)系統(tǒng)的模態(tài)密度高，矩陣 E 的維數(shù)較大，這可能會(huì)影響識(shí)別精度和效率，因此需要對(duì)其進(jìn)行降階分析。本征正交分解（properorthogonaldecomposition，POD）可以將高維矩陣通過(guò)投影到低維矩陣空間中，實(shí)現(xiàn)降維分析的目的。為保證降維后信息的完整性，需要找到一組最佳正交基使得下式取最大值：

式中， e_k 為第 k 階模態(tài)對(duì)應(yīng)的歸一化模態(tài)能量密度向量； φ 為POD正交基。

式（8）變形得：

式中， λ 為歸一化模態(tài)能量密度矩陣 E 經(jīng)過(guò)奇異值分解得到的特征值。

令 U={u₁，u₂，…，u_n} ，對(duì)式（9）求偏導(dǎo)得：

令 Z=UU^T ，式（9）求最大值的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求Z 的特征值 λ 和特征向量 φ 的問(wèn)題：

Zφ=λφ

對(duì)式（11）進(jìn)行奇異值分解即可得 Z 的特征向量φ 以及特征值λ。定義成分比：

式中， .I（R） 表示前 R 個(gè)特征值對(duì)應(yīng)特征向量的成分

占總成分的比例， .I（R） 越接近1，表示特征向量包含的信息越完整，求得的前 R 個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量就是POD最佳正交基 φ_R 。

1.2.2子系統(tǒng)識(shí)別的聚類算法

依照統(tǒng)計(jì)能量劃分的基本原則，同一子系統(tǒng)內(nèi)模態(tài)特征相似性是子系統(tǒng)劃分的首要原則。因此，可以借助于聚類算法進(jìn)行子系統(tǒng)識(shí)別。聚類分析根據(jù)數(shù)據(jù)樣本內(nèi)稟結(jié)構(gòu)特征將其分割為幾個(gè)團(tuán)簇。常用的算法有分割聚類法、層次聚類法、密度聚類法等[24]；其中層次聚類法根據(jù)數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的相似度進(jìn)行層次分解，如圖1所示；進(jìn)而，根據(jù)相似度從強(qiáng)到弱連接相應(yīng)節(jié)點(diǎn)對(duì)，創(chuàng)建層次結(jié)構(gòu)的嵌套聚類樹，如圖2所示，分析層次結(jié)構(gòu)間的最大距離即可得到最合適的類別數(shù)目。例如，圖2中數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的最佳類別數(shù)目為2。相比于 K means等非層次聚類方法，該方法無(wú)需提前定義類別數(shù)目，且計(jì)算穩(wěn)定性較好。因此，本文選取層次聚類法作為機(jī)械結(jié)構(gòu)統(tǒng)計(jì)能量分析子系統(tǒng)的識(shí)別算法。

樣本點(diǎn)的距離度量方法和距離計(jì)算方法是開(kāi)展聚類分析的關(guān)鍵因素之一。常用距離度量方法有最近距離法、最遠(yuǎn)距離法、中間距離法、重心距離法，以及歐式距離、曼哈頓距離、切比雪夫距離、馬氏距離等距離計(jì)算方法[24]。為滿足統(tǒng)計(jì)能量分析理論中模態(tài)相似性的基本假設(shè)，本文中作為聚類元素的模態(tài)能量都經(jīng)過(guò)了歸一化處理，采用平均距離法和相關(guān)距離開(kāi)展聚類分析，單元 m 和 n 能量密度向量間的相關(guān)距離可表示為：

其中，

式中 ，I 為單位矩陣。

1.2.3子系統(tǒng)識(shí)別的流程

本文發(fā)展的機(jī)械結(jié)構(gòu)統(tǒng)計(jì)能量分析子系統(tǒng)自動(dòng)識(shí)別方法計(jì)算流程如圖3所示，分析步驟如下：

（1）基于有限元法建立機(jī)械結(jié)構(gòu)的離散化分析

模型，并施加邊界約束；（2）對(duì)結(jié)構(gòu)在設(shè)定分析頻段內(nèi)開(kāi)展模態(tài)分析，

獲得不同模態(tài)對(duì)應(yīng)的單元模態(tài)能量密度，并對(duì)其進(jìn)

行歸一化處理；（3）建立模態(tài)能量密度矩陣，通過(guò)本征正交分

解對(duì)歸一化模態(tài)能量的主要成分進(jìn)行分析，獲得降

階模態(tài)能量密度矩陣；（4）對(duì)降階模態(tài)能量密度矩陣中的各元素進(jìn)行

層次聚類分析，繪制層次結(jié)構(gòu)的嵌套聚類樹；（5）分析層次結(jié)構(gòu)中的最大相關(guān)距離，識(shí)別得

到統(tǒng)計(jì)能量分析子系統(tǒng)的最佳數(shù)目及對(duì)應(yīng)的單元。

2 算例研究

為驗(yàn)證統(tǒng)計(jì)能量分析子系統(tǒng)辨識(shí)方法的準(zhǔn)確性和有效性，本文選取典型T型結(jié)構(gòu)、具有多子系統(tǒng)的工型結(jié)構(gòu)和復(fù)雜的發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒室結(jié)構(gòu)為例開(kāi)展研究，并結(jié)合模態(tài)能量討論識(shí)別結(jié)果的合理性。

2.1 T型結(jié)構(gòu)

如圖4所示，T形結(jié)構(gòu)通常作為驗(yàn)證算例開(kāi)展統(tǒng)計(jì)能量分析研究。結(jié)構(gòu)各板厚度均為 50mm ，在邊界 T_D 處設(shè)置固支約束。材料特性為彈性模量 E =30GPa ，密度 ρ=2400kg/m³ ，泊松比 υ=0.2 。

將分析頻段設(shè)置為[1120，1400」Hz，通過(guò)模態(tài)分析得到25階模態(tài)，進(jìn)而計(jì)算得到如圖5所示的平均模態(tài)能量密度。由圖5可知在分析頻段內(nèi)各階模態(tài)能量密度存在顯著差異，依照式（5）～（7）對(duì)結(jié)構(gòu)的模態(tài)能量密度進(jìn)行歸一化處理。

對(duì)歸一化模態(tài)能量密度矩陣進(jìn)行本征正交分解，獲得如圖6所示的特征值貢獻(xiàn)程度。前7個(gè)特征值的貢獻(xiàn)大于 80% 。得到這些特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，構(gòu)造降階模態(tài)能量密度矩陣，其維數(shù)從 168× 25降至 168×7 。

對(duì)降階后的模態(tài)能量密度矩陣進(jìn)行聚類分析，獲得各網(wǎng)格對(duì)應(yīng)的層次結(jié)構(gòu)，如圖7所示。由相關(guān)距離分析結(jié)果可知，層級(jí)為3和層級(jí)為2之間的相關(guān)距離差最大，因此最佳子系統(tǒng)數(shù)量為3。

基于傳統(tǒng)全階模態(tài)能量分析和本文算法辨識(shí)得到的子系統(tǒng)分別如圖8（a）和（b）所示。對(duì)于構(gòu)型簡(jiǎn)單的T型結(jié)構(gòu)，其子系統(tǒng)辨識(shí)結(jié)果與工程經(jīng)驗(yàn)的分析結(jié)果一致。

2.2 工型結(jié)構(gòu)

本節(jié)以圖9所示的典型工型結(jié)構(gòu)為例開(kāi)展研究，驗(yàn)證本文方法識(shí)別多個(gè)統(tǒng)計(jì)能量子系統(tǒng)的效果。該結(jié)構(gòu)由5個(gè)部件構(gòu)成，各板厚度均為 50mm ，在邊界 T_D 處設(shè)置固支約束，材料參數(shù)同2.1節(jié)。

將分析頻段設(shè)置為[1120，1400]Hz，模態(tài)分析獲得42階模態(tài)及如圖10所示的平均模態(tài)能量密度，進(jìn)而對(duì)結(jié)構(gòu)模態(tài)能量密度進(jìn)行歸一化處理。

對(duì)歸一化模態(tài)能量密度矩陣進(jìn)行本征正交分解，獲得如圖11所示的特征值貢獻(xiàn)程度。前8個(gè)特征值的貢獻(xiàn)大于 80% 。得到這些特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，構(gòu)造降階模態(tài)能量密度矩陣，其維數(shù)從280×42 降至 280×8 。

對(duì)降階后的模態(tài)能量密度矩陣進(jìn)行聚類分析，獲得各網(wǎng)格對(duì)應(yīng)的層次結(jié)構(gòu)，如圖12所示。由相關(guān)距離分析結(jié)果可知，層級(jí)為5和層級(jí)為4之間的相關(guān)距離差最大，因此最佳子系統(tǒng)數(shù)量為5。

基于傳統(tǒng)全階模態(tài)能量分析和本文算法辨識(shí)得到的子系統(tǒng)分別如圖13（a）和（b）所示。對(duì)于含有多個(gè)子系統(tǒng)的工型結(jié)構(gòu)，采用本文方法辨識(shí)得到的子系統(tǒng)與工程經(jīng)驗(yàn)的分析結(jié)果一致，而傳統(tǒng)算法辨識(shí)精度不足。這主要是由于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的有限元網(wǎng)格數(shù)量較多、在高頻段模態(tài)密集，一些冗余信息容易導(dǎo)致聚類分析出現(xiàn)偏差，需要提取其中的關(guān)鍵或主要信息進(jìn)行分析，因此本文提出的基于模態(tài)能量降階分析的辨識(shí)方法具有更高的辨識(shí)精度。

2.3發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒室結(jié)構(gòu)

本節(jié)針對(duì)如圖14所示的發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒室結(jié)構(gòu)開(kāi)展研究。結(jié)構(gòu)由GH3536制成，其彈性模量為 E= 205GPa ，密度 ρ=8280kg/m³ ，泊松比 υ=0.3 ，在結(jié)構(gòu)兩端設(shè)置固支約束。分析結(jié)構(gòu)幾何特征可知結(jié)構(gòu)由5部分組成，部件1、部件3和部件5的尺寸較大，而部件2和部件4作為連接段，與相鄰部件的從屬關(guān)系不明確，難以基于工程經(jīng)驗(yàn)直接劃分統(tǒng)計(jì)能量分析子系統(tǒng)。

設(shè)置分析頻段為[3550，4500] Hz 。通過(guò)模態(tài)分析得到14階模態(tài)，其平均模態(tài)能量密度如圖15所示，歸一化后建立模態(tài)能量密度矩陣。

經(jīng)過(guò)模態(tài)分析獲得結(jié)構(gòu)在分析頻段內(nèi)共14階模態(tài)，通過(guò)本征正交分解可以得到特征值的貢獻(xiàn)程度，如圖16所示。前7個(gè)特征值的貢獻(xiàn)大于 80% 。

得到這些特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，構(gòu)造降階模態(tài)能量密度矩陣，維數(shù)從 5580×14 降到 5580×7 。

對(duì)降階模態(tài)能量密度矩陣進(jìn)行層次聚類分析，獲得離散化網(wǎng)格對(duì)應(yīng)的層次結(jié)構(gòu)，如圖17所示。由層次分析中相關(guān)距離分析結(jié)果可知，層級(jí)2與3之間的相關(guān)距離差最大，因此最佳子系統(tǒng)數(shù)量為3。

基于傳統(tǒng)全階模態(tài)能量分析和本文算法辨識(shí)得到的子系統(tǒng)分別如圖18（a）和（b）所示。結(jié)果表明部件2與部件1、部件4與部件5間耦合關(guān)系較強(qiáng)，應(yīng)歸屬同一子系統(tǒng)。而傳統(tǒng)算法辨識(shí)得到的結(jié)果存在明顯的偏差。

模態(tài)相似是劃分子系統(tǒng)的首要準(zhǔn)則，本文通過(guò)分析結(jié)構(gòu)各階模態(tài)的能量分布特性來(lái)驗(yàn)證子系統(tǒng)識(shí)別結(jié)果的合理性?；谏逃糜邢拊浖﨧SC.Nastran獲取了結(jié)構(gòu)各階模態(tài)的能量分布特性，如表1所示?；谀B(tài)能量分布特性，將各階次模態(tài)進(jìn)行分類分析：

（1） 3693、3740Hz 所對(duì)應(yīng)的模態(tài)能量分布具有顯著的局部特性，對(duì)應(yīng)了部件1的局部振動(dòng)；

（2）3824、3840、3872、3898Hz所對(duì)應(yīng)的模態(tài)對(duì)應(yīng)了部件5的局部振動(dòng)；

（3）4084、4086、4252、4258、4408、4433Hz對(duì)應(yīng)的模態(tài)對(duì)應(yīng)了部件3的局部振動(dòng)；

（4）4165、4190Hz對(duì)應(yīng)的模態(tài)屬于部件1、部件2、部件3耦合作用；

（5）由 3693、3740Hz 的模態(tài)能量分布可知，部件2與部件1之間存在較強(qiáng)的耦合作用，應(yīng)屬于同一個(gè)子系統(tǒng)；

（6）由3824、3840、3872Hz的模態(tài)能量分布可知，部件4與部件5之間存在較強(qiáng)的耦合作用，應(yīng)屬于同一個(gè)子系統(tǒng)；

由此可見(jiàn)，部件1、部件2和部件3、部件4和部件5對(duì)應(yīng)了燃燒室結(jié)構(gòu)的三類振動(dòng)特性，應(yīng)劃分為三個(gè)子系統(tǒng)。這與圖18（b）所示的識(shí)別結(jié)果一致，驗(yàn)證了本文識(shí)別結(jié)果的合理性。

3結(jié)論

本文針對(duì)結(jié)構(gòu)高頻動(dòng)力學(xué)分析模型建模問(wèn)題開(kāi)展研究，提出了一種基于降階模態(tài)能量密度和層次聚類分析的統(tǒng)計(jì)能量分析子系統(tǒng)自動(dòng)辨識(shí)方法，以T型結(jié)構(gòu)、工型結(jié)構(gòu)和復(fù)雜發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒室結(jié)構(gòu)為例開(kāi)展了算例研究，結(jié)合模態(tài)能量分布討論了子系統(tǒng)識(shí)別結(jié)果的合理性。主要結(jié)論如下：

（1）相比于傳統(tǒng) K -means聚類方法等需要預(yù)先知道類數(shù)的方法，采用層次聚類分析可以清晰地辨識(shí)子系統(tǒng)的最優(yōu)數(shù)量及組成單元；（2）相比于基于全階模態(tài)能量分析的層次聚類算法，采用降階模態(tài)能量作為子系統(tǒng)辨識(shí)的輸入?yún)?shù)，可以提取模態(tài)能量的關(guān)鍵信息，從而顯著提升子系統(tǒng)辨識(shí)精度。

本文針對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒室結(jié)構(gòu)這一工程結(jié)構(gòu)開(kāi)展了子系統(tǒng)識(shí)別研究。在后續(xù)的研究工作中，將開(kāi)展更復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)的子系統(tǒng)辨識(shí)研究，進(jìn)一步擴(kuò)展子系統(tǒng)識(shí)別方法的適用范圍。

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