《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》在課程內(nèi)容中提出:初中階段可采用項目式學(xué)習(xí)的方式培養(yǎng)學(xué)生綜合運用所學(xué)知識和方法解決實際問題的能力.學(xué)生通過項目式學(xué)習(xí)可以體會數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系,發(fā)展創(chuàng)新意識和實踐能力.項目式學(xué)習(xí)的實施具有一定難度.比如,如何發(fā)現(xiàn)問題?如何提出問題?如何解決問題?作者以課例“數(shù)\"業(yè)有“磚\"攻為例,從項自導(dǎo)引、實施、反思三個方面,展開對初中數(shù)學(xué)項目式學(xué)習(xí)的實踐探索.
1項目導(dǎo)引
1.1走進(jìn)生活,感受鋪地之美
前期教師組織七年級學(xué)生來到園林實地考察,帶領(lǐng)七年級學(xué)生欣賞園林鋪地圖案(如圖1),圖案雖簡單,但給人無限的美感和神秘感.鋪地中有很多數(shù)學(xué)元素,比如軸對稱、中心對稱、正多邊形讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)遍布在生活的每一個角落.
1.2發(fā)現(xiàn)問題,提出疑慮之趣
園林的鋪地豐富多樣,我們發(fā)現(xiàn)室內(nèi)鋪地以方磚為主,這和現(xiàn)代家裝鋪地中多以方形瓷磚為主正好契合.我們發(fā)現(xiàn)了一個既有趣又有意義的問題:如圖 2~ 5,園林室內(nèi)地面有很多柱子邊角,工人在鋪設(shè)方磚的過程中,如果遇到邊角該如何切割地磚使之密鋪合縫呢?
1.3統(tǒng)計分析,建模轉(zhuǎn)化問題
學(xué)生通過觀察、測量、記錄、統(tǒng)計、分析,可以將異形邊角大致分為三類:直線型、弧線型、不規(guī)則型.考慮到實際操作中的局限性和困難,通過數(shù)學(xué)建模把這個實際問題轉(zhuǎn)化成一個數(shù)學(xué)實驗:如何在一張方形卡紙(代替方磚)上,畫出并剪下異形邊角的形狀?
2項目實施
2.1任務(wù)驅(qū)動,實踐探究
任務(wù)一:搜集園林地磚文化的介紹,拍攝介紹視頻.
任務(wù)說明:此任務(wù)涉獵藝術(shù)、歷史、文化等,通過了解園林鋪地獨特的藝術(shù)觀和表現(xiàn)手法,體會匠人的智慧與想象力,理解我國傳統(tǒng)文化的特色.
任務(wù)二:搜集園林地磚樣式,分析幾何特征、文化內(nèi)涵.
任務(wù)說明:學(xué)生通過自主搜集資料,了解江南古典園林鋪地的主要類型及其背后的文化寓意.
任務(wù)三:研究遇到直線型異形邊角的切割策略.
場景:如圖2,柱底是正方形,該如何裁切地磚使鋪設(shè)嚴(yán)絲合縫?
方案1:如圖6,方磚的一邊緊靠墻邊,另一邊緊靠柱底正方形的一邊,在方磚上確定正方形的頂點A,B.同樣的方式,可得正方形的頂點 c ,再分別過點B,C 作所在邊的垂線,兩條垂線的交點是 D ,切割正方形ABCD,這樣方磚可以貼合柱子底部.這種切割方案,操作便捷,對地磚的損耗較少.
方案2:如圖7,將一塊完整的方磚均分為兩塊小方磚,將得到的兩塊小方磚上下疊放.在交接處分別標(biāo)上 A 與 A′,B 與 B′ .連接 AB,A′B′ ,沿著 AB,A′B′ 裁下兩個三角形(等腰直角三角形),最后兩塊地磚可從兩側(cè)貼合柱子底部,這種鋪設(shè)方案需要多次切割地磚,對地磚的損耗也較大,所以生活中不太推薦使用這種方式切割鋪設(shè),但如果想要鋪設(shè)更具對稱美,則可以選此方案.
升級場景:小明家進(jìn)行裝修,工程已進(jìn)入到了鋪地磚階段.現(xiàn)在其他地方的方磚已經(jīng)鋪設(shè)好了.因為角落1、角落2、角落3處都有異形邊角(如圖8),所以角落 1~3 三塊灰色區(qū)域還沒鋪地磚.該怎樣裁切地磚鋪設(shè)呢?
方案:鋪設(shè)第1個角落時,需先裁出方形地磚的四分之一,再在等腰直角三角形直角頂點處裁出正方形;鋪設(shè)第2個角落時,需先裁出地磚的一半,再在等腰直角三角形斜邊上裁出正方形,通過度量確定正方形在斜邊的位置,如果裁切位置錯了的話會無法貼合;鋪設(shè)第3個角落時,需先裁出地磚的一半,再在斜邊上相應(yīng)的位置處裁出梯形.
任務(wù)說明:為了讓學(xué)生親歷“平移”邊角的過程,師生一起搭建了生活中直線型邊角的三種現(xiàn)實場景模型,方便學(xué)生實踐操作,不斷優(yōu)化切割方案.升級場景是學(xué)生思考補充的,解決方案不僅要考慮“形”,還要考慮“數(shù)”.
任務(wù)四:研究遇弧線型異形邊角的切割策略,場景:如圖4,柱底是外凸二分之一圓弧,該如何載切地磚使鋪設(shè)嚴(yán)絲合縫?
方案:如圖9,將直尺和墻邊垂直,保持直尺位置不動,使方磚和直尺也垂直.平移方磚,讓它緊靠柱子底部,這時候,方磚的一邊就和墻邊平行.固定方磚的位置,過弧的兩個端點作墻邊的垂線,與方磚的交點記為 A ,過弧的另一個端點作墻邊的垂線,與方磚的交點記為B,AB 就是直徑,度量出直徑的長度,AB的中點是圓心,畫出半圓,裁掉這部分,可以貼合.
場景:如圖5,柱底是小于半圓的外凸圓弧,該如何裁切地磚使鋪設(shè)嚴(yán)絲合縫?
方案:如圖10,利用圓的軸對稱 圖10性,通過折紙找到圓心.將一張白紙緊靠柱底使白紙一邊和墻邊平行.固定白紙,分別過弧的兩個端點,作墻的垂線,垂線與白紙邊的交點分別記為 A,B ,白紙邊和弧的交點記為 c ,再度量出墻和白紙邊的距離.以該距離為寬畫一個矩形.過 c 作紙邊的垂線,這個交點記為 D.A,B,D 這三個點是從柱底弧線上平移下來的.圓是軸對稱圖形,折紙使 A,B 重合,圓心在這條折痕所在的直線上,對折使點 A 和點 D 重合,圓心也在這條折痕所在的直線上,延長兩條折痕,交點就是圓心.畫弧,再把白紙和方磚疊合,沿弧線裁切即可.
任務(wù)說明:借助場景模型,學(xué)生實操演練,合作探究孤線型的切割策略.利用圓的軸對稱性,可以巧妙地利用生活手段(折紙)找到圓心.因授課對象是七年級學(xué)生,鑒于學(xué)情,故未引導(dǎo)學(xué)生采用度量、計算半徑的方法確定圓心的位置.
任務(wù)五:研究遇不規(guī)則型異形邊角時的切割策略.
場景:柱底是圓(圓半徑為 ξr. ,該如何裁切地磚使鋪設(shè)嚴(yán)絲合縫?
方案:如圖11,第1步與第2步可以確定“正方形的中心就是圓心”,第3步在卡紙上剪下圓,拼一拼,發(fā)現(xiàn)貼合不了柱子底部.因為 直徑,所以這樣切割后的地磚沒法貼合柱底.聯(lián)系實際,一般柱子都是連接到屋頂,我們無法將切割后的地磚從柱子的上方往下套.通過進(jìn)一步思考,我們可以把第3步切割好的卡紙分成兩半,從兩側(cè)去貼合柱子底部.這個方案最后拼合的兩塊地磚大小不一樣(如圖12),鋪設(shè)不美觀.可以優(yōu)化方案,先將方磚均分為兩份再裁切,可使拼合更具對稱美.
任務(wù)說明:學(xué)生在解決任務(wù)五時,可以輕松地實現(xiàn)將邊角的形狀平移到方磚上,但是裁切后發(fā)現(xiàn)“拼合不了”,進(jìn)一步將方磚裁開,從兩側(cè)拼合.
2.2成果交流,開拓創(chuàng)新
項目學(xué)習(xí)的成果是學(xué)生思維與行動的產(chǎn)品,是小組集體智慧的結(jié)晶.學(xué)生在進(jìn)行三類邊角的模擬數(shù)學(xué)實驗時,得到了一些解決問題的通用性策略.“每固定一個位置,柱底圖形上總有兩個或多個點與之對應(yīng)”,我們不妨稱它們是“非函數(shù)類邊角”,遇到“非函數(shù)類邊角時\"需要把地磚切割后分成兩半,從兩側(cè)貼合.反之像這樣的柱底圖形“每固定一個位置,柱底圖形上有且只有1個點與之對應(yīng)”,我們可以稱它們是“函數(shù)類邊角”,遇到“函數(shù)類邊角”只需裁剪地磚,從一側(cè)貼合.遇到“函數(shù)類直線型\"邊角,利用數(shù)學(xué)知識和方法確定它的頂點;遇到“函數(shù)類弧線型”邊角,可以確定它的圓心、半徑,巧妙繪出“直線型\"“弧線型\"邊角.
小組成員在探究的過程中發(fā)揮集體智慧設(shè)計了一些便捷的取樣工具(見表1).這些工具都是我們身邊常見的材料,如鐵絲、鉛筆、硬紙板、竹簽等,它們雖簡約但不簡單.它們有著共同的數(shù)學(xué)原理一—平移.從而巧妙復(fù)制異形.
3項目反思
3.1品生活之趣,悟數(shù)學(xué)之用
“綜合與實踐\"通過讓學(xué)生觀察生活,提出實際問題、解決實際問題,以此有效提升學(xué)生的核心素養(yǎng).此次項目學(xué)習(xí),學(xué)生經(jīng)過實踐探究,利用數(shù)學(xué)的知識和方法最終得到一些解決問題的通用策略,利用平移原理自制了若干實用工具.我們可以思考:能否將學(xué)生發(fā)明的三種工具進(jìn)一步優(yōu)化?比如:在制作材料上選擇強度好、不易磨損的塑料或者金屬,使工具更具質(zhì)感,操作更加絲滑、準(zhǔn)確;在外形上進(jìn)一步優(yōu)化結(jié)構(gòu)設(shè)計,使工具外形更美觀,功能更加完善;在制作工藝方面選用先進(jìn)的現(xiàn)代技術(shù).這樣就可以制成取樣的工具產(chǎn)品,將得到的產(chǎn)品批量生產(chǎn),進(jìn)而可以投入到建筑裝飾工程中進(jìn)行大規(guī)模使用.數(shù)學(xué)源于生活又服務(wù)于生活,它是人類生產(chǎn)、生活的助推劑,通過感悟數(shù)學(xué)用途之大,培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣與熱情.
3.2建數(shù)學(xué)模型,解實際問題
“項目式學(xué)習(xí)\"在解決實際問題時往往會面臨很多現(xiàn)實困難.這個時候可以建立數(shù)學(xué)模型,轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.本次項目式研究主要是對“鋪地中地磚的切割策略研究”,如果每次都用真的地磚去操作,那會造成很大的浪費.用卡紙代替地磚,用長方體、圓柱、半圓柱等搭建場景模型,方便操作.此時可以將實際問題轉(zhuǎn)化為“如何將異形的形狀平移到卡紙上\"這一數(shù)學(xué)實驗.考慮到實際工程施工中的環(huán)保節(jié)約問題,我們可以規(guī)定這樣的實驗要求:盡量減小對卡紙的切割次數(shù),減少卡紙的浪費.此要求也是評價切割方案優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)之一.
3.3重綜合實踐,提核心素養(yǎng)
“項目式學(xué)習(xí)”,學(xué)生不再是局限在教室里被動地接收知識,而是主動走進(jìn)生活、發(fā)現(xiàn)問題、分工協(xié)作,最后將問題逐一擊破.在這個過程中,學(xué)生收獲了“主動解決問題的勇氣”“勤于鉆研的精神”,同時也感受到了“合作的力量之大”.項目式學(xué)習(xí)是“綜合與實踐”的一種重要形式,能讓學(xué)生在探究與實踐中進(jìn)行多角度思考,培養(yǎng)他們的創(chuàng)造性思維,促進(jìn)其綜合運用所學(xué)知識,實現(xiàn)深度學(xué)習(xí).在本次項目學(xué)習(xí)中,學(xué)生通過測量、對比,提升分析信息的能力;在借助數(shù)學(xué)模型解決實際問題的過程中,發(fā)展幾何直觀、模型觀念及數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識;在分析、討論、實驗、推翻、優(yōu)化、再實驗的過程中,提升語言表達(dá)能力、邏輯推理能力和創(chuàng)新意識.
總之,項目式學(xué)習(xí)是一種可以培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用能力、提升核心素養(yǎng)的重要學(xué)習(xí)活動,值得我們在日常教學(xué)中多關(guān)注、多研究.愿我們廣大的教育工作者也能夠像學(xué)生設(shè)計的取型工具的工作原理一樣:在前方無畏探路,勇做教學(xué)改革的探路者,相信一切未來可期.
參考文獻(xiàn):
[1]時愛榮,沈逸鳴,柴國忠.問題導(dǎo)向教學(xué)法在初中數(shù)學(xué)微項目學(xué)習(xí)中的應(yīng)用—以“探究杯子高度和杯子數(shù)量的關(guān)系”為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2024(29):71-74.Z