聚焦模型本質(zhì)，關(guān)注“四能”發(fā)展

數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)符號、公式、算法、圖形等對實(shí)際問題本質(zhì)屬性的抽象表達(dá)和刻畫，其可以解釋客觀現(xiàn)象，預(yù)測發(fā)展規(guī)律，化解實(shí)際問題等.數(shù)學(xué)模型本質(zhì)上是數(shù)學(xué)知識在實(shí)際問題或具體情境中靈活巧妙的運(yùn)用，這種運(yùn)用經(jīng)歷了數(shù)學(xué)抽象、建立模型、推理計(jì)算、檢驗(yàn)與評價(jià)的過程.很多學(xué)生在面對幾何綜合題時(shí)常?？床磺鍐栴}的本質(zhì)，感到束手無策，換言之，學(xué)生難于感知到組成復(fù)雜圖形的各要素之間、各要素與基本圖形之間以及基本圖形之間的聯(lián)系，從而導(dǎo)致思維混亂，難以突破.與此同時(shí)，很多教師在綜合題的教學(xué)過程中容易出現(xiàn)就題講題、重解題思路輕梳理和歸納的現(xiàn)象，長此以往將導(dǎo)致學(xué)生不能在能力和素養(yǎng)上獲得提高.數(shù)學(xué)建模能力是數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的構(gòu)成要素，是聯(lián)系數(shù)學(xué)世界與現(xiàn)實(shí)世界的基本橋梁.[發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力（以下簡稱\"四能\"）是學(xué)生“體驗(yàn)\"模型構(gòu)建的基本能力，反過來，讓學(xué)生經(jīng)歷建模以及利用模型解決實(shí)際問題的過程，感受建模的必要性，把握模型的本質(zhì)與聯(lián)系，可以促進(jìn)學(xué)生“四能”的發(fā)展，提升思維品質(zhì)，內(nèi)化數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1試題呈現(xiàn)

（2022年無錫市中考數(shù)學(xué)第18題） ΔABC 是邊長為5的等邊三角形， ΔDCE 是邊長為3的等邊三角形，直線 BD 與直線 AE 交于點(diǎn) F .如圖1，若點(diǎn) D 在 ΔABC 內(nèi)， ∠DBC=20^° ，則 ∠BAF= _；現(xiàn)將 ΔDCE 繞點(diǎn) c 旋轉(zhuǎn)1周，在這個旋轉(zhuǎn)過程中，線段 AF 長度的最小值是

分析：在 ΔDCE 旋轉(zhuǎn)前后始終有 ΔBDC? ΔAEC（B，D， （204號 C 三點(diǎn)共線除外），則 ∠EAC= ∠DBC=20^° ，故 ∠BAF=80^° .在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn) D .E 在以 C 為圓心，3為半徑的圓周上運(yùn)動（如圖2），而點(diǎn) B，D，F(xiàn) 三點(diǎn)始終共線，故當(dāng) BF 與圓 C 相切時(shí)，點(diǎn) F 與點(diǎn) A 距離最近或最遠(yuǎn).

2提煉標(biāo)準(zhǔn)模型，感悟建模過程

從上題分析中， ΔBDC?ΔAEC 是解決問題的關(guān)鍵.學(xué)生普通容易得到這個結(jié)論，因?yàn)轭}中存在一個如圖3所示的基本圖形，此圖形同時(shí)具有以下特點(diǎn)：①ΔABC 與△EDC相似（全等）； ② 兩個三角形有公共點(diǎn)C.圖4、圖5、圖6都有這樣的特點(diǎn).注意到公共點(diǎn) C 在各自三角形中扮演的角色相同，如同為直角頂點(diǎn)或等腰三角形的頂點(diǎn)等.此時(shí)我們添加輔助線得到圖7、圖8、圖9、圖10，得到 |ΔBDC?ΔAEC. 如果把連線的操作看成是“拉手”，我們不妨稱這樣的模型為“手拉手模型”

在中考二輪專題復(fù)習(xí)中，教師可以引領(lǐng)學(xué)生去研究這個基本模型.為了更直接地把握模型的本質(zhì)，學(xué)生在學(xué)習(xí)中要關(guān)注以下幾個問題： ① 什么樣的圖形可以“拉手”； ② 如何“拉手”； ③ 從手拉手模型中可以推導(dǎo)出哪些結(jié)論.第一個問題在上文中已經(jīng)給出解答.第二個問題指向如何添加輔助線.假設(shè)我們站在公共點(diǎn)處，面朝三角形，張開雙臂，在兩個三角形中分別找到對應(yīng)左臂、右臂的線段，從而找到線段末端對應(yīng)左手、右手的點(diǎn)，那么按照“左手拉左手，右手拉右手\"進(jìn)行連線.由手拉手模型（如圖11）不難推導(dǎo)出以下結(jié)論： ①ΔBCD 與 ΔACE 全等或相似； ② ∠BCA=∠BFA ·③CF 平分 ∠BFE ④∠BFA 大小為定值.故當(dāng) ΔABC 或 ΔCDE 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)時(shí)，動點(diǎn) F 在圓弧上運(yùn)動

3尋找基本圖形，感悟套用模型

美國數(shù)學(xué)家波利亞（G.Polya）認(rèn)為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要的任務(wù)就是加強(qiáng)解題訓(xùn)練.[2]“加強(qiáng)解題訓(xùn)練\"不是簡單題目的重復(fù)練習(xí)，亦不是超難題目的暴力灌輸，而是在解題過程中發(fā)展學(xué)生的思維和“四能”，培養(yǎng)由淺入深的認(rèn)知發(fā)展.標(biāo)準(zhǔn)模型是學(xué)生面臨新問題時(shí)容易分析、聯(lián)想到的原型，在復(fù)雜圖形中找出基本圖形，從而提煉數(shù)學(xué)模型，啟迪解題方向.學(xué)生體驗(yàn)了發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的過程，由原型遷移、類比、轉(zhuǎn)化，分析問題并解決問題.

例1如圖12，在 ΔOAB 和 ΔOCD 中， OA= OB， OC=OD ， ∠AOB=∠COD=40^° ，連接 AC，BD 交于點(diǎn) M ，填空： ： ②∠AMB=

例2（1）如圖13，在 ΔOAB 和 ΔOCD 中，∠AOB=∠COD=90^° ∠OAB=∠OCD=30^° ，連接AC 交 BD 的延長線于點(diǎn) M_☉ 求 的值及 ∠AMB 的度數(shù).

（2）在（1）的條件下，將 ΔOCD 繞點(diǎn) O 在平面內(nèi) 旋轉(zhuǎn)， AC，BD 所在直線交于點(diǎn) M. 若 OD=1，OB= ，請直接寫出當(dāng)點(diǎn) C 與點(diǎn) M 重合時(shí) AC 的長.

分析：例1和例2第（1）題易于解決，同時(shí)也引起思考“由手拉手模型得到的兩個相似三角形何時(shí)全等”.分析可得，當(dāng)原共頂點(diǎn)的兩個相似三角形均為以公共點(diǎn)為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形時(shí)，手拉手模型構(gòu)造出了全等三角形.僅憑想象解決例2第（2）題易導(dǎo)致作圖困難或解題遺漏等錯誤，因此教師需要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步分析達(dá)到思維突破.當(dāng) ΔOCD 繞點(diǎn)O 旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn) C 和點(diǎn) M 均在圓弧上運(yùn)動，兩圓（如圖14）的公共點(diǎn)有2個，故點(diǎn) C 與點(diǎn) M 重合的情況有兩種，由此可以作出圖15.兩種情形的作圖不應(yīng)是教師直接給學(xué)生的，而是學(xué)生在探究中得到的.在旋轉(zhuǎn)過程中仍有 ΔOCA～ΔODB ，從而得到 ∠AMB= 90^° .根據(jù)這兩個結(jié)論便可展開相關(guān)計(jì)算.如此，學(xué)生不僅知其然，更知其所以然，

4根植模型觀念，提升建模能力

共頂點(diǎn)的兩個相似（全等）三角形從動態(tài)角度可以看成是一個三角形繞著一個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中三角形的形狀始終不變，大小可以變或不變.學(xué)生傾向于研究靜態(tài)圖形，所以遇到動態(tài)問題時(shí)常?；瘎訛殪o，手拉手模型便是化動為靜的一個解題思路.除此之外，往往也需要添加輔助線來構(gòu)造基本圖形以方便解題.構(gòu)造數(shù)學(xué)模型的教學(xué)應(yīng)避開重復(fù)機(jī)械訓(xùn)練的方式，注重過程性探究，讓學(xué)生經(jīng)歷抽象、推理、構(gòu)造的過程，加強(qiáng)對模型的深刻理解.

例3 （1）如圖16，已知 ΔABC ，以 AB，AC 為邊向 ΔABC 外作等邊 ΔABD 和等邊 ΔACE ，連接 BE，CD ，證明 BE=CD

（2）如圖17，利用（1）中的方法解決問題：在四邊形 ABCD 中， AD=3，CD=2 0 ∠ABC=∠ACB= ∠ADC=45^° ，求 BD 的長.

分析：第（2）題引導(dǎo)學(xué)生仿照第（1）題解決問題，即要求構(gòu)造基本圖形.筆者執(zhí)教中發(fā)現(xiàn)一些學(xué)生不會直接構(gòu)造，而構(gòu)造出來的學(xué)生是觀察到（2）中ΔABC 是等腰直角三角形，所以嘗試作等腰直角ΔADE （如圖18）與 ΔABC “拉手”，發(fā)現(xiàn) BD=CE ，從而在直角CDE中求 CE 即可求解.以上做法實(shí)際上是憑借直覺和經(jīng)驗(yàn)做題，并不能說清楚為什么這樣添加輔助線.其實(shí)可以進(jìn)行逆向分析，在圖18中線段BD是求解目標(biāo)，而作為需構(gòu)造的基本圖形來說線段BD應(yīng)該是“牽手”而得，這樣點(diǎn) D 和點(diǎn)B 應(yīng)該同為“左手”或“右手”，則線段 AD 和AB同為\"左臂\"或“右臂”，故點(diǎn)A應(yīng)是兩個相似三角形的公共點(diǎn)，從而推理出要作出以 A 為直角頂點(diǎn)， AD 為直角邊且為“左臂”的等腰直角三角形.細(xì)心的學(xué)生發(fā)現(xiàn)，線段BD也可以看成是以 C 為兩個相似三角形的公共點(diǎn)，線段 CD 和 CB 同為“右臂”連線而得.能有這樣的想法說明學(xué)生在探究中對標(biāo)準(zhǔn)模型有了更深刻的認(rèn)識，思維得到了成長.以直角頂點(diǎn)作為公共點(diǎn)的兩個相似三角形手拉手，這樣更方便作圖，同時(shí)也發(fā)現(xiàn)構(gòu)造“手拉手模型”可以將求解目標(biāo)轉(zhuǎn)化，是一種間接解決問題的策略.

例4如圖19，四邊形ABCD中，連接 AC ，BD p，ΔABC 是等邊三角形， ∠ADC=30^° ，并且AD=4.5，BD=7.5. 則 CD=.

分析：當(dāng)題目沒有提示通過構(gòu)造基本圖形來解決問題時(shí)，如何挖掘解題思路呢？不難發(fā)現(xiàn)例3和例4中均包含了特殊三角形：等腰直角三角形或等邊三角形，這兩類特殊三角形中都含有相等線段.從動態(tài)角度來說兩條相等線段中一條線段繞著公共端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度可到達(dá)另一條，如圖20中線段AB 繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60^° 得線段 AC ，那么 _AB 所在 ΔABD 繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60^° 得 ΔACE₁ ，這樣便得到以 A 為共頂點(diǎn)的兩個等邊三角形ABC和ΔADE₁ ，從而構(gòu)造模型來進(jìn)一步解題.按其他旋轉(zhuǎn)方式也可以得到如圖21、圖22所示的基本圖形.從動態(tài)角度來說，等長線段可以作為旋轉(zhuǎn)的一個切入點(diǎn)，并以此構(gòu)造基本圖形；從靜態(tài)角度觀察發(fā)現(xiàn)，例3和例4中不僅存在等長線段，而且已知長度線段和所求長度線段構(gòu)成一個似“爪\"的形狀.根據(jù)例3中的構(gòu)造方式，首先需要找到一個目標(biāo)線段，然后把目標(biāo)線段置于一個三角形中以尋找相似三角形的公共點(diǎn)和判斷此三角形中除目標(biāo)線段的另外兩邊同是“左臂”或“右臂”.圖21是將目標(biāo)線段CD置于ΔACD 中的構(gòu)造，圖22則是將CD置于△BCD中的構(gòu)造.由此看出，從動態(tài)角度來說由“爪形”可以聯(lián)想到旋轉(zhuǎn)，從靜態(tài)角度來說它也是嘗試構(gòu)造“手拉手模型\"的一個信號.當(dāng)然目標(biāo)線段不一定是所求線段，圖20是將BD作為目標(biāo)線段置于△ABD的添線，但是將所求線段作為目標(biāo)線段是學(xué)生的普遍選擇傾向.

5教學(xué)思考

5.1重視常見基本幾何模型的識圖教學(xué)

幾何模型是對教材的基本幾何知識和結(jié)論作進(jìn)一步提升或特殊化而得的.雖然基本模型的基礎(chǔ)性和生長性較弱，但是其具有較好的應(yīng)用性和思維性，是數(shù)學(xué)解題中學(xué)生易于分析、聯(lián)想到的原型.幾何問題常常由基本圖形構(gòu)成，因而對基本模型的掌握有助于解決復(fù)雜問題.研究基本幾何模型是學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識、獲得數(shù)學(xué)思想方法、積累基本活動的經(jīng)驗(yàn)重要過程，所以教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生掌握從復(fù)雜圖形中分離出解決問題所需的基本幾何模型的能力，將復(fù)雜問題簡單化、化未知為已知，凸顯對學(xué)生“四能”的培養(yǎng)，

5.2注重教學(xué)過程，提升思維能力

教學(xué)中研究的“基本幾何模型”是對基本、常見幾何圖形的外延或拓展應(yīng)用.教師應(yīng)在不依賴死記硬背、機(jī)械模仿、重復(fù)操練的前提下，通過對基本模型的研究啟迪學(xué)生的解題方向，縮減思維長度.因此，復(fù)雜、超難問題的幾何模型和結(jié)論不是教師研究的重點(diǎn)，應(yīng)避免增加學(xué)生負(fù)擔(dān).建模思想的形成是一個長期且復(fù)雜的過程，教師在教學(xué)中應(yīng)引領(lǐng)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識、方法、思想、策略等進(jìn)行不斷地組織和加工.對學(xué)生精心培養(yǎng)，將建模思想貫穿教學(xué)始終，借助類比、轉(zhuǎn)化等方法建立起知識間的前后聯(lián)系，構(gòu)建系統(tǒng)性認(rèn)知結(jié)構(gòu)，在師生共同探究的過程中幫助學(xué)生認(rèn)清模型的本質(zhì).

6結(jié)語

數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建過程亦是學(xué)生“體驗(yàn)\"數(shù)學(xué)的過程.學(xué)生在此過程中充分體驗(yàn)到舊知的喚醒、新知的形成以及新舊知識的整合與升華，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的基本思想方法，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的理性思考與簡潔表達(dá).數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建以“四能”為基礎(chǔ)，內(nèi)化數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，最終實(shí)現(xiàn)學(xué)生“四能\"的發(fā)展

參考文獻(xiàn)

[1]李賀，張衛(wèi)明.例談初中生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)[J].教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)），2019（8）：5-9.

[2]波利亞.怎樣解題：數(shù)學(xué)思維的新方法M].上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?007.