高中數(shù)學(xué)章起始課教學(xué)設(shè)計(jì)策略分析

在章起始課的引導(dǎo)下，學(xué)生可以構(gòu)建起這一章節(jié)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，并對(duì)數(shù)學(xué)概念的整體構(gòu)造有初步的理解，實(shí)現(xiàn)先整體把握后深入了解的學(xué)習(xí)效果.章起始課不只是對(duì)章節(jié)內(nèi)容及對(duì)應(yīng)技能的預(yù)先呈現(xiàn)，還展現(xiàn)了思維技能的滲透與實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的沉淀，有助于激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)熱情.章起始課融合數(shù)學(xué)文化，注人數(shù)學(xué)的思維方式，以此增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力.由此可見，章起始課能夠在不知不覺中逐漸提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

1注重整體設(shè)計(jì)

多年來(lái)，教師在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)課程時(shí)普遍以課堂時(shí)長(zhǎng)為依據(jù)，這一做法不利于學(xué)生構(gòu)建全面的知識(shí)結(jié)構(gòu).教師過(guò)分強(qiáng)調(diào)知識(shí)點(diǎn)和技能的掌握，而對(duì)情感、態(tài)度以及價(jià)值觀的塑造疏于關(guān)注，這對(duì)于提高學(xué)生的學(xué)科能力并不是最優(yōu)選擇.章起始課從宏觀角度概括、預(yù)覽整個(gè)章節(jié)的主旨，具有引導(dǎo)和概述的特點(diǎn).因此，在設(shè)計(jì)某一章節(jié)的教學(xué)時(shí)，教師必須掌握該章節(jié)的專業(yè)知識(shí)，同時(shí)具備常規(guī)的研究方法.章起始課需從單一課時(shí)設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)向單元整體架構(gòu)，通過(guò)模塊化梳理零散知識(shí)點(diǎn)形成系統(tǒng)脈絡(luò)，在把握核心概念關(guān)聯(lián)性的基礎(chǔ)上構(gòu)建階梯式認(rèn)知框架，以此促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)體系的完整性理解，實(shí)現(xiàn)從碎片化記憶到結(jié)構(gòu)化思維的轉(zhuǎn)變，最終達(dá)成學(xué)習(xí)效率與思維深度的同步提升.[1]

2設(shè)計(jì)要結(jié)合具體章節(jié)特征

章起始課應(yīng)展現(xiàn)章節(jié)的整體構(gòu)思，并非簡(jiǎn)單復(fù)述章節(jié)開頭的插圖和序言內(nèi)容，也不是對(duì)知識(shí)點(diǎn)和思維方式的機(jī)械羅列.其核心在于幫助學(xué)生理解學(xué)習(xí)內(nèi)容的同時(shí)，把握知識(shí)的內(nèi)在邏輯聯(lián)系.[2因此，設(shè)計(jì)每一章的章起始課時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)充分彰顯章節(jié)的獨(dú)特性，并側(cè)重與章節(jié)屬性相匹配的教學(xué)內(nèi)容，把握好教學(xué)重難點(diǎn)，做到條理清晰.

某些章起始課的知識(shí)點(diǎn)與其他章節(jié)存在緊密的關(guān)聯(lián)，在這種情況下，教師以復(fù)習(xí)先前所掌握的知識(shí)為起點(diǎn)，探索新課程內(nèi)容與以往學(xué)習(xí)內(nèi)容的關(guān)系，通過(guò)對(duì)比、思維拓展等方法進(jìn)行章起始課的教學(xué).某些情況下，章節(jié)的結(jié)構(gòu)是基于一個(gè)核心問(wèn)題來(lái)構(gòu)建的，在這種情形下，教師理應(yīng)將該問(wèn)題詳細(xì)拆分成若干更小的問(wèn)題，并使這些細(xì)分的問(wèn)題成為各課時(shí)解答的重點(diǎn).經(jīng)過(guò)對(duì)全部教材的學(xué)習(xí)和掌握，最終能夠解決章起始課所提出的主要問(wèn)題.此外，部分章節(jié)是以數(shù)學(xué)的思想方法為核心展開論述，因此該章的起始課程宜聚焦思想方法，深入研究其歷史演進(jìn)、變遷過(guò)程以及實(shí)際運(yùn)用情況.

3教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)該宜粗不宜細(xì)

章起始課的設(shè)計(jì)既要符合課程標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)要求，又要融入創(chuàng)新元素.其構(gòu)思應(yīng)體現(xiàn)章節(jié)的宏觀框架和深層內(nèi)涵，但在起始課中呈現(xiàn)全部?jī)?nèi)容既不現(xiàn)實(shí)，也不合理.章起始課旨在圍繞特定課題和素材建構(gòu)探究框架，引導(dǎo)學(xué)生從宏觀角度思考，把握本章的核心內(nèi)容和整體結(jié)構(gòu)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，并推動(dòng)后續(xù)開展深入、具體的分析.

在精心設(shè)計(jì)的章起始課中，教學(xué)安排應(yīng)當(dāng)符合以下要求：覆蓋廣泛的知識(shí)領(lǐng)域，有機(jī)融入認(rèn)知框架與思維方法；遵循系統(tǒng)性原則，精選教學(xué)內(nèi)容；把握知識(shí)介紹的深度，避免面面俱到；聚焦整體框架的構(gòu)建，而非細(xì)節(jié)的呈現(xiàn).在章起始課教學(xué)過(guò)程中，過(guò)度的細(xì)節(jié)只會(huì)成為累贅，妨礙學(xué)生將注意力集中在總體理解上.靈活性和適應(yīng)性是設(shè)計(jì)教育方案的重要原則，教師應(yīng)當(dāng)根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行針對(duì)性設(shè)計(jì)，而非機(jī)械套用固定模式

4設(shè)計(jì)要符合學(xué)生認(rèn)知邏輯

數(shù)學(xué)涉及邏輯思維，因此教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)強(qiáng)調(diào)邏輯推理.教材編寫專家依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)建內(nèi)容體系，在確保符合學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)與思維規(guī)律的基礎(chǔ)上，充分考慮其知識(shí)基礎(chǔ)、能力水平及實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，使編纂的學(xué)習(xí)材料既體現(xiàn)編者的專業(yè)深度，又符合學(xué)習(xí)者的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律.但在實(shí)踐中，有時(shí)雖遵循了知識(shí)本身的邏輯序列，卻未能充分適應(yīng)學(xué)生的思維發(fā)展特點(diǎn).因此，在具體的教學(xué)活動(dòng)中，教師面對(duì)特定課程內(nèi)容時(shí)，完全可以在遵循課程標(biāo)準(zhǔn)的基礎(chǔ)上，依據(jù)知識(shí)點(diǎn)之間的邏輯關(guān)系以及學(xué)生思維的邏輯性，對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行重新構(gòu)建，靈活地調(diào)整教學(xué)順序，妥善安排教學(xué)知識(shí)的深淺程度，確保教學(xué)中相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的前后邏輯連貫，契合教育教學(xué)的內(nèi)在邏輯，并在此過(guò)程中顯現(xiàn)教師個(gè)人的教學(xué)方法和獨(dú)到之處.教師必須兼顧學(xué)科知識(shí)的邏輯體系與學(xué)生認(rèn)知的邏輯規(guī)律，才能實(shí)現(xiàn)優(yōu)質(zhì)的教學(xué)效果.需要特別強(qiáng)調(diào)的是，這種教學(xué)理念并非賦予教師隨意發(fā)揮的自由，而是要求教師謹(jǐn)慎選擇單元教學(xué)的切入點(diǎn)，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)對(duì)知識(shí)進(jìn)行適應(yīng)性轉(zhuǎn)化.

5教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)注重學(xué)生的發(fā)展

教師在設(shè)計(jì)章起始課時(shí)不應(yīng)局限于指導(dǎo)學(xué)生掌握特定的知識(shí)點(diǎn)，而應(yīng)注重如何培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力，使其能獨(dú)立運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行學(xué)習(xí)和問(wèn)題的解決.同時(shí)，著重培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，引導(dǎo)其將所學(xué)知識(shí)遷移應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題的解決.學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)不應(yīng)僅是簡(jiǎn)單地記住知識(shí)，而應(yīng)深人地理解數(shù)學(xué)的思維邏輯，這樣才能為他們的成長(zhǎng)奠定發(fā)展基礎(chǔ).“教是為了不教”，章起始課亦承載著同等重要的責(zé)任，其教學(xué)目標(biāo)不應(yīng)局限于教師將教材內(nèi)的知識(shí)點(diǎn)、技能及經(jīng)驗(yàn)直接講授給學(xué)生，而是致力于培養(yǎng)學(xué)生在學(xué)習(xí)了這些教學(xué)內(nèi)容后，能夠自行掌握學(xué)習(xí)的技能與經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)自我驅(qū)動(dòng)的終身學(xué)習(xí).因此，章起始課應(yīng)充分發(fā)揮其關(guān)鍵作用，幫助學(xué)生構(gòu)筑知識(shí)體系、發(fā)展技能并完善思維方式.

6案例研究

接下來(lái)以人教A版《普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)》中“圓錐曲線的方程\"為例，探討策劃章起始課的方法.圓錐曲線作為平面解析幾何的核心內(nèi)容，具有以下三個(gè)重要特征：知識(shí)體系的高度關(guān)聯(lián)性、集中體現(xiàn)了坐標(biāo)法這一通用思維方法、研究方法在本章節(jié)具有普適性.坐標(biāo)系作為幾何與代數(shù)相互關(guān)聯(lián)的核心內(nèi)容，融合著幾何與代數(shù)的思維方式.雖然學(xué)生在前期課程中已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線與圓的相關(guān)知識(shí)，并初步認(rèn)識(shí)到坐標(biāo)系是探究幾何問(wèn)題的基本工具，但對(duì)坐標(biāo)方法的認(rèn)知仍較為淺顯.而圓錐曲線的學(xué)習(xí)不僅能更深人地展現(xiàn)坐標(biāo)法的核心應(yīng)用價(jià)值，凸顯其在數(shù)形結(jié)合中的關(guān)鍵作用，更能為學(xué)生后續(xù)的幾何學(xué)習(xí)奠定重要的認(rèn)知基礎(chǔ)

6.1創(chuàng)設(shè)情境，引入新知

情境1：杰尼西亞之耳.

相傳，意大利西西里島中部的一個(gè)巖洞曾是暴君杰尼西亞關(guān)押罪犯的地方.被囚禁于此的犯人多次謀劃越獄，但每次都被守衛(wèi)發(fā)現(xiàn).起初，囚犯?jìng)儜岩蓛?nèi)部出現(xiàn)了叛徒，卻始終未能找出告密者.經(jīng)過(guò)深入調(diào)查，他們終于明白并非有人背叛.原來(lái)，這個(gè)特殊囚室的構(gòu)造呈橢圓形，囚犯?jìng)兦『帽魂P(guān)押在一個(gè)焦點(diǎn)附近，而守衛(wèi)則駐守在對(duì)應(yīng)的另一個(gè)焦點(diǎn)處.這種獨(dú)特的設(shè)計(jì)使得囚犯?jìng)兊膶?duì)話能夠通過(guò)橢圓形的聲學(xué)特性被守衛(wèi)清晰聽到.因此，這座地牢被稱為“杰尼西亞之耳”那么什么是橢圓？什么是橢圓的焦點(diǎn)？為什么橢圓具有這樣的性質(zhì)呢？今日我們將探討圓錐曲線中的橢圓，了解其幾何特性，并探究如何應(yīng)用數(shù)學(xué)技能對(duì)其進(jìn)行分析.

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生此前已掌握關(guān)于直線的方程、圓的方程等相關(guān)知識(shí).本次教學(xué)的核心在于探索如何展現(xiàn)新課程內(nèi)容的創(chuàng)新性，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情.通過(guò)構(gòu)建一個(gè)具有吸引力的故事情境，可以激發(fā)學(xué)生的好奇心，從而引領(lǐng)他們進(jìn)人學(xué)習(xí)主題.教師在學(xué)生深入探索該傳說(shuō)時(shí)，闡述了本次課程的教學(xué)目標(biāo).

情境2：生活中的圓錐曲線.

在現(xiàn)實(shí)生活中，我們可以觀察到許多圓錐曲線的具體實(shí)例，如衛(wèi)星環(huán)繞地球運(yùn)行的軌道、籃球投射時(shí)在空中劃出的軌跡，以及冷卻塔特有的截面形狀，那么這些曲線有什么區(qū)別和聯(lián)系呢？

雖然學(xué)生能夠準(zhǔn)確識(shí)別橢圓和拋物線的圖形特征，但對(duì)雙曲線的視覺辨識(shí)可能稍顯不足，這些曲線在日常生活、工業(yè)制造及學(xué)術(shù)研究等各個(gè)領(lǐng)域都發(fā)揮著不可替代的重要作用，因此被統(tǒng)稱為圓錐曲線.在教學(xué)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)這些曲線為何被歸為同一類別表現(xiàn)出強(qiáng)烈的求知欲.基于此，本節(jié)課將首先探討“圓錐曲線\"這一統(tǒng)稱的由來(lái)及其數(shù)學(xué)本質(zhì).

【設(shè)計(jì)意圖借助生動(dòng)的實(shí)例展現(xiàn)圓錐曲線在日常生活中的普遍存在，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)與日常息息相關(guān)，進(jìn)而激發(fā)他們對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，

6.2追溯歷史，了解起源

探究1：平面截圓錐，

兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)大師阿波羅尼奧斯（Apollonius）在探究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)，通過(guò)調(diào)節(jié)平面截取圓錐體的角度，可以生成多種不同的曲線圖形.當(dāng)平面通過(guò)圓錐的尖端時(shí)，可獲得一個(gè)單點(diǎn)、一條線段或是兩根相交線段；當(dāng)平面與圓錐體的中心線垂直時(shí)，截得的形狀則是圓形.那么，若進(jìn)一步調(diào)整平面與圓錐體之間的相對(duì)位置，我們還能截得哪些其他類型的曲線呢？

在學(xué)生的自主探索過(guò)程中，教師通過(guò)視頻講解和動(dòng)態(tài)幾何軟件的直觀演示，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：當(dāng)平面和圓錐體中心線的夾角發(fā)生變化時(shí)，所截得的形狀也會(huì)隨之改變.其中，橢圓、雙曲線和拋物線這三種特殊的曲線形態(tài)尤為引人注目一它們都是平面與圓錐面相交所產(chǎn)生的幾何圖形，因此統(tǒng)為圓錐曲線（如圖1）.

曲線特性，其著作《圓錐曲線論》幾乎窮盡了圓錐曲線的所有幾何性質(zhì)，這一成就使得相關(guān)研究停滯兩千年之久.直到1822年，比利時(shí)數(shù)學(xué)家丹德林（Dandelin）提出創(chuàng)新性方法—運(yùn)用兩個(gè)同時(shí)與圓錐面和截面相切的球體（Dandelin球）來(lái)分析圓錐曲線特性.他通過(guò)圓錐直接推導(dǎo)出曲線軌跡概念，從而證明了截面定義與軌跡定義的等價(jià)性，

接下來(lái)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)探索，從三維空間中橢圓的基本性質(zhì)出發(fā)，過(guò)渡到其二維空間的路徑性描述，并構(gòu)建了二者之間的橋梁.具體研究過(guò)程如下.

如圖2，在錐體的截面上下兩側(cè)各置入一個(gè)球體B（O₁） 和 B（O₂） ，它們既與錐面也與截面接觸，分別以 F₁，F(xiàn)₂ 標(biāo)記接觸點(diǎn).在圓錐面和截面相交線上隨意選取點(diǎn) M ，連接 MF₁₁MF₂ ，繪制穿過(guò)點(diǎn) M 的圓錐母線，此線與球體 B（O₁） 相交于點(diǎn) P ，與球體 B（O₂） ）相交于點(diǎn) Q

（1）MF₁，MP 與小球有怎樣的位置關(guān)系？（2）MF₁ 與 MP 有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（3）PQ 長(zhǎng)度是否為定值？（4）MF₁ 與 MF₂ 有怎樣的關(guān)系？

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過(guò)觀察、推理和實(shí)踐等多種學(xué)習(xí)方式，經(jīng)歷了從具體到抽象的認(rèn)知過(guò)程.這種將直觀體驗(yàn)與邏輯推理相結(jié)合的學(xué)習(xí)方式，幫助學(xué)生深入理解了圓錐曲線的截面形成原理.在此過(guò)程中，教師適時(shí)引入圓錐曲線的數(shù)學(xué)定義，為后續(xù)課程內(nèi)容作好了鋪墊.

探究2：探究圓錐曲線.

在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，圓錐曲線研究經(jīng)歷了重要突破：阿波羅尼奧斯采用純幾何方法系統(tǒng)研究了圓錐

【設(shè)計(jì)意圖】在數(shù)學(xué)教學(xué)中，核心環(huán)節(jié)之一是闡述數(shù)學(xué)知識(shí)的演進(jìn)歷程.這一歷程既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科自身的發(fā)展軌跡（包括研究課題與研究方法的演變），也展現(xiàn)了數(shù)學(xué)對(duì)社會(huì)生活的深遠(yuǎn)影響及其在人類文化發(fā)展中的重要作用.采用這樣的教學(xué)方式，不僅能有效激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，更能引導(dǎo)他們切身感受數(shù)學(xué)的獨(dú)特魅力，進(jìn)而深入探索數(shù)學(xué)的本質(zhì)內(nèi)涵

在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，教師引導(dǎo)學(xué)生基于前人的研究，通過(guò)深入研討丹德林雙球模型來(lái)探索橢圓的幾何特性，共同體驗(yàn)數(shù)學(xué)實(shí)踐探索的過(guò)程.在建立這一基本認(rèn)知后，師生將進(jìn)一步借助丹德林球體實(shí)驗(yàn)，系統(tǒng)研究雙曲線和拋物線的形態(tài)特征；通過(guò)對(duì)比分析，深刻理解這三種圓錐曲線之間的內(nèi)在聯(lián)系與本質(zhì)區(qū)別，從而真切領(lǐng)略圓錐曲線理論所展現(xiàn)的數(shù)學(xué)之美.

6.3比舊悟新，提煉方法

探究3：研究圓錐曲線的方法.

教師先簡(jiǎn)要介紹解析幾何的基本概念，幫助學(xué)生理解其數(shù)學(xué)原理和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值；然后借助學(xué)生對(duì)“圓的方程\"的掌握，指導(dǎo)他們運(yùn)用“坐標(biāo)法\"這一核心工具來(lái)系統(tǒng)研究圓錐曲線的性質(zhì)與特征.

教師讓學(xué)生思考采取何種方法去研究圓錐曲線，并回想一下對(duì)直線和圓的探究過(guò)程.接下來(lái)，指導(dǎo)學(xué)生類比直線與圓學(xué)習(xí)圓錐曲線，促使他們采用坐標(biāo)系的方式來(lái)掌握新知識(shí).在此過(guò)程中，學(xué)生完成表1.

此時(shí)可以提問(wèn)學(xué)生以下問(wèn)題

（1）為何偏向于采用代數(shù)手段探究圓錐曲線的性質(zhì)？（2）使用純幾何方法來(lái)探究圓錐曲線存在哪些缺陷？（3）借鑒直線和圓的公式推理，思考如何運(yùn)用壘標(biāo)法來(lái)求解圓錐曲線的公式.

通過(guò)對(duì)以上問(wèn)題的探究，得到求曲線方程的一般步驟： ① 建系.建立合適的直角坐標(biāo)系. ② 設(shè)點(diǎn).設(shè)曲線上任意一點(diǎn)為 （x，y） ·③ 列式.按照曲線上的點(diǎn)符合的數(shù)值關(guān)聯(lián)性，構(gòu)建關(guān)系式，然后求解未知數(shù).④ 建立方程.使用坐標(biāo) （x，y） 來(lái)描述這個(gè)關(guān)系式.⑤ 證實(shí).方程的解的坐標(biāo)是否與曲線上的每個(gè)點(diǎn)都相匹配.

法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾（Descartes）主張通過(guò)坐標(biāo)系，把曲線的幾何屬性進(jìn)行代數(shù)表示，從而在幾何曲線和代數(shù)公式之間構(gòu)建聯(lián)系，并利用這些聯(lián)系來(lái)探討圓錐曲線的屬性和相關(guān)問(wèn)題.在這個(gè)過(guò)程里，學(xué)生能夠掌握坐標(biāo)化的研究技巧，深入理解數(shù)形結(jié)合的核心思想.其中，“構(gòu)建曲線方程\"和\"通過(guò)曲線方程來(lái)探索曲線的特性\"這兩個(gè)主要問(wèn)題的解決都依賴于坐標(biāo)系和圖象的融合.

【設(shè)計(jì)意圖】借助教材的縱向鏈接，激勵(lì)學(xué)生運(yùn)用所掌握的知識(shí)去應(yīng)對(duì)新的挑戰(zhàn)，

7結(jié)語(yǔ)

設(shè)計(jì)章起始課的目的在于闡述這一部分應(yīng)該學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容、學(xué)習(xí)原因以及如何學(xué)習(xí).章起始課具有內(nèi)容豐富、隱含價(jià)值高、思維引導(dǎo)性強(qiáng)等特點(diǎn)，能夠系統(tǒng)總結(jié)學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容、指導(dǎo)方法、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)文化等內(nèi)容.隨著時(shí)代的發(fā)展，與時(shí)俱進(jìn)的章起始課將在培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)方面發(fā)揮重要作用.

參考文獻(xiàn)

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