HPM視角下數(shù)學(xué)同課異構(gòu)教學(xué)實(shí)踐

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼］A [文章編號]1007-9068（2025）18-0020-03

HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)是一種基于數(shù)學(xué)史和教學(xué)史，將數(shù)學(xué)教育與實(shí)踐相結(jié)合的教學(xué)理念，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教育的歷史背景、文化內(nèi)涵和實(shí)際應(yīng)用，目的在于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣和綜合素質(zhì)。HPM視角下的同課異構(gòu)教學(xué)，要求教師深入研究數(shù)學(xué)史，了解數(shù)學(xué)知識的來龍去脈，從而設(shè)計(jì)出富有歷史內(nèi)涵和趣味性的教學(xué)活動，提升課堂教學(xué)效率。

教學(xué)蘇教版數(shù)學(xué)教材五年級下冊第五單元“異分母分?jǐn)?shù)加減法”一課，教師可深入挖掘數(shù)學(xué)史料，設(shè)計(jì)多樣化的教學(xué)活動，注重知識的實(shí)際應(yīng)用，幫助學(xué)生更好地理解和掌握異分母分?jǐn)?shù)加減法，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維和實(shí)踐能力。

一、有關(guān)分?jǐn)?shù)教學(xué)的歷史資料

在《九章算術(shù)》中，劉徽提出了“合分術(shù)\"和\"減分術(shù)”，其中“合分術(shù)\"指\"母互乘子，并以為實(shí)，母相乘為法，實(shí)如法而一”，“減分術(shù)\"指\"母互乘子，以少減多，余為實(shí)，母相乘為法，實(shí)如法而一”。

在《計(jì)算之書》的第七章\"分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)的加法、減法\"中介紹，求出使得 為整數(shù)的數(shù)字，方法如下：因?yàn)?是6和9的公因子，6除以3商為2，乘以9得18，所以計(jì)算18的 ，用18的 即3）加上18的 （即10），得13，除以因數(shù)18，商為 $＼frac { 1 3 } { 1 8 } 。$

通過對比，以 為例，古代人們這樣計(jì)算 現(xiàn)代人們這樣計(jì)算

二、有關(guān)分?jǐn)?shù)教學(xué)的教材比較

數(shù)學(xué)教材比較不僅是教育研究和教材開發(fā)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，還是提升教學(xué)質(zhì)量、促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展的重要途徑。在現(xiàn)行的小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，有關(guān)分?jǐn)?shù)教學(xué)的內(nèi)容包括“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”“分?jǐn)?shù)的意義”“分?jǐn)?shù)加減法和分?jǐn)?shù)乘除法”等。

通過比較人教版數(shù)學(xué)教材三年級上冊第八單元“分?jǐn)?shù)的簡單計(jì)算”蘇教版數(shù)學(xué)教材三年級上冊第七單元\"同分母分?jǐn)?shù)加減”北師大版數(shù)學(xué)教材三年級下冊第七單元“吃西瓜\"的內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)其共同點(diǎn)是：（1）教材編排大致相同，都是先學(xué)習(xí)同分母分?jǐn)?shù)加減法，再學(xué)習(xí)異分母分?jǐn)?shù)加減法；（2）表征方法相同，都有畫圖表征、語言表征和算式表征等；（3）計(jì)算方法相同，即同分母分?jǐn)?shù)加減法是“分母不變，分子相加減”，異分母分?jǐn)?shù)加減法是“先轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)，再按同分母分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算法則相加減”。

三、“異分母分?jǐn)?shù)加減法”同課異構(gòu)

基于以上思考，確定了“異分母分?jǐn)?shù)加減法”一課的教學(xué)目標(biāo)：（1）理解算理，掌握異分母分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算方法，會計(jì)算異分母分?jǐn)?shù)加減法；（2）經(jīng)歷探索異分母分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算方法的過程，進(jìn)一步培養(yǎng)分析、歸納、類推的能力，發(fā)展合情推理和演繹推理能力；（3）經(jīng)歷應(yīng)用分?jǐn)?shù)加減法解決簡單實(shí)際問題的過程，提高解決問題的能力；（4）感受知識之間的聯(lián)系，提高自主探索與合作交流的能力。

同課異構(gòu)1：點(diǎn)綴式的HPM教學(xué)

環(huán)節(jié)（1）：創(chuàng)設(shè)情境，開啟探究

教師出示題目：明橋小學(xué)有一塊長方形試驗(yàn)田，其中 種黃瓜， 種番茄。黃瓜和番茄的面積一共占這塊地的幾分之幾？

學(xué)生先在學(xué)習(xí)單上獨(dú)立思考探究，再在小組里交流自己的想法。

環(huán)節(jié)（2）：全班匯報，交流算法

教師組織學(xué)生交流 的計(jì)算方法。學(xué)生出現(xiàn)了以下兩種計(jì)算方法：一是畫圖法，即把一個長方形平均分成4份， 表示取其中的2份， 表示取其中的1份，所以 表示4份中的3份；二是計(jì)算法，先通分，再計(jì)算，

教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)異分母分?jǐn)?shù)加法的計(jì)算法則：分母不同，先通分，轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)后，分子相加。

環(huán)節(jié)（3）：獨(dú)立練習(xí)，鞏固算法

教師引導(dǎo)學(xué)生先將異分母分?jǐn)?shù)加法的算理算法遷移到異分母分?jǐn)?shù)減法中，再完成學(xué)習(xí)單上的練習(xí)，并強(qiáng)調(diào)得到的結(jié)果能約分的要約分。在交流中，教師追問：“ 中的‘1'可以看成什么？如果題目變成 ，這時的‘1'又應(yīng)該看成什么？”

在學(xué)生回答后，教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)異分母分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算方法，并說一說計(jì)算異分母分?jǐn)?shù)加減法時要注意什么。

環(huán)節(jié)（4）：引入歷史資料，拓寬視野

教師向?qū)W生介紹：以分?jǐn)?shù) 為例，分母2是“法”，分子1是“實(shí)”。“合分術(shù)”是“母互乘子，并以

為實(shí)，母相乘為法”。

同課異構(gòu)2：融入式的HPM教學(xué)

環(huán)節(jié)（1）：創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

教師創(chuàng)設(shè)情境：為改善空氣質(zhì)量，某市實(shí)施了“藍(lán)天工程”。該市去年5月份的空氣質(zhì)量狀況見表1。

表1某市去年5月份的空氣質(zhì)量狀況

教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已知條件提出問題，如“空氣質(zhì)量等級為優(yōu)和良的天數(shù)一共占全月天數(shù)的幾分之幾\"等。

環(huán)節(jié)（2）：自主探究，解決問題

教師出示完整的題目：空氣質(zhì)量等級為優(yōu)的天數(shù)占全月天數(shù)的 ，空氣質(zhì)量等級為良的天數(shù)占全月天數(shù)的 空氣質(zhì)量等級為優(yōu)和良的天數(shù)一共占全月天數(shù)的幾分之幾？

在學(xué)生列出算式后，教師讓他們嘗試通過畫一畫、算一算等方法解答，要求學(xué)生把自己的想法記錄下來，并進(jìn)行小組討論。

環(huán)節(jié)（3）：剖析算理，體驗(yàn)算法

在交流討論中，有的學(xué)生通過轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)加法進(jìn)行計(jì)算，有的學(xué)生把異分母分?jǐn)?shù)加法轉(zhuǎn)化為小數(shù)進(jìn)行計(jì)算。教師通過微視頻介紹\"合分術(shù)”： （204號其中 表示“母互乘子 是“并以為實(shí)，母相乘為法”

教師出示題目：空氣質(zhì)量等級為良的天數(shù)占全月天數(shù)的 ，空氣質(zhì)量等級為輕微污染的天數(shù)占全月天數(shù)的 ，空氣質(zhì)量等級為良的天數(shù)比輕微污染的天數(shù)多占全月天數(shù)的幾分之幾？

在學(xué)生計(jì)算后，教師通過微視頻介紹\"減分術(shù)”： 最后，教師組織學(xué)生進(jìn)行算法比較，體會現(xiàn)代異分母分?jǐn)?shù)加減法的簡便，

環(huán)節(jié)（4）：溝通交流，優(yōu)化算法

首先，教師出示練習(xí)題，讓學(xué)生按照古代和現(xiàn)代的算法進(jìn)行計(jì)算，在對比中發(fā)現(xiàn)用兩個數(shù)的最小公倍數(shù)作為它們的公分母比較簡便。其次，教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)異分母分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算方法。再次，教師帶領(lǐng)學(xué)生溝通整數(shù)加減法豎式、小數(shù)加減法豎式、分?jǐn)?shù)加減法豎式之間的聯(lián)系，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)整數(shù)加減法豎式和小數(shù)加減法豎式都是相同的計(jì)數(shù)單位，而分?jǐn)?shù)加減法豎式是相同的分?jǐn)?shù)單位，即必須有相同的計(jì)數(shù)單位才能相加減，體會運(yùn)算的一致性。最后，教師借助古文“合分者，數(shù)非一端，分無定準(zhǔn)，諸分子雜互，群母參差。粗細(xì)既殊，理難從一，故齊其眾分，同其群母，令可相并，故曰合分”，再次說明了統(tǒng)一分?jǐn)?shù)單位的必要性。

環(huán)節(jié)（5）：鞏固拓展，運(yùn)用算法

教師出示兩道鞏固練習(xí)：（1）《九章算術(shù)》中記錄了這樣一道數(shù)學(xué)題“今有四分之三，減其三分之一，問余幾何？”，你能嘗試解答嗎？（2）一臺拖拉機(jī)耕一塊地，上午耕 了公頃，下午比上午多耕了 公頃。下午耕地多少公頃？

在學(xué)生獨(dú)立完成后，教師組織匯報交流。

環(huán)節(jié)（6：課堂小結(jié)，回顧提升

教師讓學(xué)生說一說這節(jié)課的學(xué)習(xí)收獲。有的學(xué)生說，學(xué)會了異分母分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算；有的學(xué)生說，學(xué)會了用“合分術(shù)\"和“減分術(shù)\"計(jì)算異分母分?jǐn)?shù)加減法；有的學(xué)生說，在計(jì)算時用兩個數(shù)的最小公倍數(shù)做公分母比較簡便…

四、“異分母分?jǐn)?shù)加減法”教學(xué)反思

1.HPM在課堂中的使用方式不同

同課異構(gòu)1采用點(diǎn)綴式的HPM教學(xué)策略，旨在為學(xué)生提供另一個知識窗口，拓寬他們的知識視野。在完成對異分母分?jǐn)?shù)加減法的基本探究后，教師適時引入古代的“合分術(shù)”與“減分術(shù)”，旨在激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)史料的好奇心，鼓勵他們思考古今算法的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)。盡管“合分術(shù)\"與“減分術(shù)”的介紹被視為教學(xué)內(nèi)容的點(diǎn)綴，但它無疑為學(xué)生的知識探究增添了一抹獨(dú)特的色彩，促進(jìn)了他們對數(shù)學(xué)文化更深層次的探索。

相比之下，同課異構(gòu)2則采用更為深入的融入式HPM教學(xué)策略。教師不僅在學(xué)生探究異分母分?jǐn)?shù)加減法的過程中適時引入“合分術(shù)\"與“減分術(shù)”，更進(jìn)一步要求學(xué)生運(yùn)用這些古代算法進(jìn)行計(jì)算，從而與現(xiàn)代算法形成直接對比。這樣不僅加深了學(xué)生對異分母分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算法則的理解，還讓他們直觀感受到現(xiàn)代算法的簡便與高效。同時，通過古今算法的碰撞與交融，豐富了學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知，促進(jìn)了他們對數(shù)學(xué)文化的深度認(rèn)同與尊重，獲得了跨越時空的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗(yàn)

2.教學(xué)過程回顧

“異分母分?jǐn)?shù)加減法\"教學(xué)主要包括三個環(huán)節(jié)：一是創(chuàng)設(shè)情境，通過復(fù)習(xí)同分母分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算，引入異分母分?jǐn)?shù)加減法，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新知的興趣；二是方法探究，讓學(xué)生先解決異分母分?jǐn)?shù)加法的計(jì)算問題，再學(xué)習(xí)異分母分?jǐn)?shù)減法的計(jì)算方法，幫助學(xué)生構(gòu)建分?jǐn)?shù)加減法與整數(shù)加減法之間的內(nèi)在聯(lián)系，理解加減法的本質(zhì)一一單位個數(shù)的加減，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力；三是方法總結(jié)，重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生理解“怎樣轉(zhuǎn)化\"和“為何轉(zhuǎn)化\"這兩個問題，即通過實(shí)例讓學(xué)生明白異分母分?jǐn)?shù)加減法需要轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)進(jìn)行計(jì)算，并理解其中的算理。最后，利用學(xué)生的錯誤資源進(jìn)行“兵教兵”，讓學(xué)生在互幫互助中真正掌握異分母分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算方法。

總之，HPM視角下的同課異構(gòu)教學(xué)，不僅為課堂教學(xué)提供了新的思路和方法，豐富課堂教學(xué)內(nèi)容與形式，還能促進(jìn)學(xué)生對所學(xué)知識的理解與掌握。同時，數(shù)學(xué)課堂中融人數(shù)學(xué)史料，不僅能拓寬學(xué)生的知識視野，使學(xué)生真正習(xí)得知識，還讓他們感受到數(shù)學(xué)文化的魅力，激發(fā)了他們持續(xù)學(xué)習(xí)的熱情。

[參考文獻(xiàn)]

[1］谷豐琦.讓孩子們在推理中感悟運(yùn)算的本質(zhì)：“異分母分?jǐn)?shù)加減法”教學(xué)實(shí)錄J」.小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2024（6）：55-57.

[2] 李云.關(guān)注算理過程，發(fā)展運(yùn)算能力：以“異分母分?jǐn)?shù)加減法”的教學(xué)為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2024（34）：24-26.

（責(zé)編杜華）