一類雙變量問題在復(fù)習(xí)備考中的處理策略

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

導(dǎo)數(shù)中的恒成立、雙變量問題是2010—2020 年高考（含全國卷及各省市試卷）的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，其綜合性強(qiáng)、難度大、靈活性高，對學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解題能力要求較高，具有很好的選拔功能1．雙變量問題常利用等量關(guān)系與換元等方式實(shí)現(xiàn)問題的簡化，如構(gòu)造函數(shù)法需根據(jù)題目的特點(diǎn)構(gòu)造函數(shù)，再利用單調(diào)性求解，還有比值整元法、主元法、不等式放縮法等策略.本文以2022年高考理科壓軸題為例，梳理合理的解題順序，幫助學(xué)生復(fù)習(xí)備考，掌握雙變量問題的解題方法，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，也為教師的教學(xué)提供參考.

1 試題呈現(xiàn)

題目 （2022年全國甲卷理科21題）已知函數(shù) （204號

（1）若 ，求 α_a 的取值范圍； （2）證明：若 f（x） 有兩個(gè)零點(diǎn) x₁，x₂ ，則 x₁x₂lt;1

文章編號：1008-0333（2025）16-0011-03

2 解法探究

解法1 ，可得 f（x） 在（0，1）上單調(diào)遞減，在 （1，+∞） 上單調(diào)遞增.

所以 f（x）_min=f（1）=e+1-a. （20又因?yàn)? ，所以 e+1-a?0 ，得 a?e+1

（2）（單調(diào)性法）不妨設(shè) x₁2 ，則由（1）可知01lt;12. （2

要證 x₁x₂lt;1 ，即證

由于 f（x） 在（0，1）上單調(diào)遞減，即證 f（x₁）gt; .又因?yàn)?f（x₁）=f（x₂） ，即證

也即證

設(shè) ，則作者簡介：郭懷天，碩士，一級教師，從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

（2號設(shè) ，則

所以 g（x） 在 （1，+∞） 上單調(diào)遞增.所以g（x）gt;g（1）=0. 因而 F（x） 在 （1，+∞） 上單調(diào)遞增.所以 F（x）gt;F（1）Θ=0. 所以 F（x₂）=f（x₂） 從而命題得證.

評析問題（1）是導(dǎo)數(shù)中常見的恒成立求參數(shù)范圍，主要解決方式有直接法、參變分離法，就本題而言，兩種方法在計(jì)算上幾乎沒有區(qū)別.問題（2）的解法是通法，利用單調(diào)性實(shí)現(xiàn)消元的目的，易于學(xué)生掌握[2].

解法2 （1）若 ，則 -a?0 ，得 a?e+1

下證當(dāng) a?e+1 時(shí)即為所求.

若 a?e+1 ，則 （24號

設(shè) ，則 g^′（x）

可得 g（x） 在（0，1）上單調(diào)遞減，在 （1，+∞） 上單調(diào)遞增，所以

（2）若 f（x） 有兩個(gè)零點(diǎn) x₁，x₂ ，可得

整理，得

設(shè) h（x）=e^x+x ，由 h（x） 單調(diào)遞增，

所以 x₁-lnx₁=x₂-lnx₂

也即

要證 x₁x₂lt;1 ，即證

即證 即證 讠N

，即證

設(shè) ，則 h^′（s） （20 則 h（s） 在（0，1）上 單調(diào)遞減.則 h（s）gt;h（1）=0 ，從而命題得證.

評析第（1）問采用了處理恒成立常用的解決辦法——必要性探路，獲得成立的必要條件，再去證明充分性.第（2）根據(jù)已知條件獲得等式后，對等式利用同構(gòu)方式進(jìn)行化簡，尋求更簡單的關(guān)系式，再利用對數(shù)均值不等式解決問題.

解法3 （1）（同構(gòu)法 + 構(gòu)造函數(shù) （2

設(shè)t=-lnx，gt;O，則t' =1-- ，得 χ_t 在（0，1）上單調(diào)遞減，在 （1，+∞） 上單調(diào)遞增，所以t≥1 則 f（x）=g（t）=e^t+t-a，t?1 ，顯然 g（t） 在[1，+∞） 單調(diào)遞增，則 g（x）_min=g（1）=e+1-a≥ 0，得 ω_a?e+1

（2）（比值代換 + 換元）若 f（x） 有兩個(gè)零點(diǎn) x₁ ，x₂ ，則由（1）可知存在

不妨設(shè) x₁2 ，則 01lt;12 ，得 =1 .要證 x₁x₂lt;1 ，即證 ，即證 .下同解法（1）中第（2）問.

評析在解法2中，當(dāng)對第（2）問利用已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化時(shí)，結(jié)合式子的對稱性容易聯(lián)想到同構(gòu)方法，進(jìn)而從 f（x） 解析式出發(fā)獲得解法3.

解法4 （1）同解法2（1）.

（2）（構(gòu)造函數(shù) + 單調(diào)性）若 f（x） 有兩個(gè)零點(diǎn) x₁ ，x₂ ，則由（1）可知存在 設(shè) g（x） ，則條件轉(zhuǎn)化為 g（x₁）=g（x₂） .則 g^′（x）=1 ，得 g（x） 在（0，1）上單調(diào)遞減，在 （1，+∞） 上單調(diào)遞增.不妨設(shè) x₁2 ，則 01lt;12 .要證 x₁x₂lt; 1，即證 由于 g（x） 在（0，1）上單調(diào)遞減，即證 .又因?yàn)? ，即證 ，也即證 （2

設(shè) ，則 因而G（x） 在 （1，+∞） 上單調(diào)遞增，則 G（x）gt;G（1）=0 所以 ，從而命題得證.

評析第（1）問通過同構(gòu)方式獲得的新函數(shù)的結(jié)構(gòu)簡單，第（2）問利用新函數(shù)的單調(diào)性法處理時(shí)，和解法1相比大大降低了計(jì)算量，易于求解.能夠讓學(xué)生感受到多一些思考，少一點(diǎn)計(jì)算的魅力，

解法5 （1）（同構(gòu)法 + 構(gòu)造函數(shù) ，設(shè) ，xgt;0，則t' ，得 χ_t 在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞） 上單調(diào)遞增.所以 t≥e. 則 -a≥0，t≥e. 顯然 g（t） 在 [1，+∞） 單調(diào)遞增，則 ，得 a?e+1

（2）（構(gòu)造函數(shù) + 換元）若 f（x） 有兩個(gè)零點(diǎn) x₁ ，x₂ ，則由（1）可知存在

不妨設(shè) x₁2 ，則 01lt;12 ，得 設(shè) ，則 所以要證χχ2lt;1，即證 lt;1.也即證ln2tlt;（t-1）2 又因?yàn)?t∈（0，1） ，也即證 設(shè) ，1），也即證 （204號

下同解法2中（2）的結(jié)尾證明

評析第（1）問中的構(gòu)造形式和解法3中的構(gòu)造方法不同，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的靈活性，但都獲得了結(jié)構(gòu)簡單的函數(shù)模型，為第（2）問的解決提供了方便.第（2）問通過引入新變量來表示原來的兩個(gè)變量實(shí)現(xiàn)消元.此方法理論上可以解決雙變量的更多形式的證明

思考在評講第（1）問時(shí)，如果將 換成 f（x）=e^x-xlnx+x²-ax?0 ，求 Δ_a 的取值范圍，如何解題？相信學(xué)生嘗試之后會(huì)對恒等變形的作用感觸更深.

3 結(jié)束語

本文較全面地按一定次序探討了一類雙變量問題的解決策略，為學(xué)生提供了解題指導(dǎo)，學(xué)生的思考方式相信也能得到一定訓(xùn)練，這種探討尤其適用于高三后期階段的學(xué)習(xí).文中通過消元處理、整體代換以及巧妙構(gòu)建等方法，成功解決了復(fù)雜的雙變量問題.這些方法在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，要根據(jù)函數(shù)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)靈活運(yùn)用，才能有效解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，切不可盲目套用.

作為教師，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該為不同層次的學(xué)生創(chuàng)造不同的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)，拓寬其思維廣度，增強(qiáng)思維深度.教學(xué)過程中不可只講結(jié)論，而應(yīng)將問題的本質(zhì)闡釋清楚，讓學(xué)生感受不同方法的適用條件等，學(xué)生對每種方法掌握需要時(shí)間去慢慢體會(huì)，切不可操之過急.

參考文獻(xiàn)：

[1］吳萍萍.探析利用導(dǎo)數(shù)證明不等式策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2025（01）：102-104.

[2］楊曉.高考導(dǎo)數(shù)大題的命制過程與解法剖析：以2022年全國甲卷理科21題為例[J].數(shù)理天地，2023（15） ：47 -48.