基于高觀點(diǎn)下的圓錐曲線中的非對(duì)稱問題研究

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2025）16-0053-04

近年來，高考中極點(diǎn)、極線背景的解析幾何題頻繁出現(xiàn)，雖然利用極點(diǎn)、極線性質(zhì)可快速得出答案，但該知識(shí)超出高考范圍，實(shí)際作答需依托高中教材內(nèi)知識(shí).由于學(xué)生在解析幾何運(yùn)算中常遇困難，因此數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)愈發(fā)受到重視.數(shù)學(xué)運(yùn)算主要涵蓋理解運(yùn)算對(duì)象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算思路、選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序及得出運(yùn)算結(jié)果等方面，這在圓錐曲線問題中，尤其體現(xiàn)在運(yùn)算方法選擇的重要性上.

1 問題提出

難直接應(yīng)用韋達(dá)定理求解，我們通常把這類問題稱為“非對(duì)稱韋達(dá)定理問題”考生在遇到此類問題時(shí)，往往不知所措.那應(yīng)該如何解決這類問題呢？

2 問題呈現(xiàn)

例1如圖1，橢圓 短軸的左右兩個(gè)端點(diǎn)分別為 ^A，B ，直線 l：y=kx+1 與 x 軸 ?^y 軸分別交于 E，F(xiàn) 兩點(diǎn)，交橢圓于 ^C，D 兩點(diǎn).設(shè)直線 AD，CB 的斜率分別為 k₁，k₂ ，若 k₁：k₂=2：1 ，求 k 的值.

在處理直線與圓錐曲線之間的位置關(guān)系問題時(shí)，通常需要將直線與圓錐曲線的方程聯(lián)立，將其中一個(gè)變量 x 或 y 消去，得到一個(gè)一元二次方程如Ax²+Bx+C=0 （ A≠0 ）.由韋達(dá)定理處理形如

“輪換性”，即把 x₁，x₂ 互換后結(jié)果不變.此類問題稱為“對(duì)稱型韋達(dá)定理問題”，通常對(duì)所求式稍作變形，就可以直接利用韋達(dá)定理整體代入，實(shí)現(xiàn)平穩(wěn)求解.但有些問題中卻會(huì)出現(xiàn)非對(duì)稱的結(jié)構(gòu)，比如 ， my2-y1之類的問題，則很新

3 多視角探求

視角1利用“極點(diǎn)極線”，從高觀點(diǎn)出發(fā)解題

解法1直線 l：y=kx+1 與 x 軸交于點(diǎn) E ，則點(diǎn) ，設(shè)直線 AC 與直線 BD 交于點(diǎn) P ，直線 BC 與直線 DA 交于點(diǎn) Q ，則點(diǎn) 的極線為 PQ ，且直線 PQ 的方程為 x=-k

故可設(shè)點(diǎn) Q 坐標(biāo)為 Q（θ-k，t） ，（2號(hào)

所以

故 k=3

視角2 韋達(dá)定理代一半后，僅留 x₁

解法2設(shè) C（x₁，y₁），D（x₂，y₂） ，則

由

所以

由于上面分式為定值2，故+1

從而得 k=3

評(píng)注 若+ bx1 （其中 p 為定值， ω_{a，b，c，d} 為

（2參量， x₁，x₂ 為變量），則 視角3 韋達(dá)定理代一半后，僅留 x₂ 解法3 接解法2得

從而得 k=3 視角4平方策略.

解法4 由解法2知

對(duì)上式平方，得 由點(diǎn) ^C，D 坐標(biāo)均滿足橢圓方程，故y₁²=4-4x₁²，y₂²=4-4x₂². （20號(hào)

代入上式，化簡(jiǎn)得 所以 3x₁x₂+5（x₁+x₂）+3=0.

所以 3k²-10k+3=0

從而得 k=3 或 （舍），故 k=3 視角5利用\"第三定義\"轉(zhuǎn)化為斜率之積.解法5設(shè)直線 BD 的斜率為 k₃ ，則由橢圓的第

三定義知， 所以 （2號(hào)安 1所以 k=3 ：視角6 利用“求根公式”轉(zhuǎn)化.解法6 由解法2知=（x-1） 又 y₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1 ，代人得kx₁x₂+（2k-1）（x₁+x₂）-（k-3）x₂+3=0. 將動(dòng)

-k+2√k2+3代人上式，得 從而得 （2故 k=3 視角7 “定比點(diǎn)差法”.解法7 設(shè) ，設(shè) C（x₁，y₁），D（x₂，y₂） ，，則

由定比點(diǎn)差法，得

兩式作差，變形，得 x₁-λx₂=k（λ-1） ① 又 ② ①② 兩式聯(lián)立，得 所以1-1=?2（λ-1）-1-λ-2 （204號(hào) 故 所以 k=3

4一道非對(duì)稱問題的真題解法賞析

例2（2023年新課標(biāo)Ⅱ卷第21題）已知雙曲線 c 的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為 ，離心率為5.

（1）求 C 的方程；

（2）記 C 的左、右頂點(diǎn)分別為 A₁，A₂ ，過點(diǎn)（-4，0）的直線與 C 的左支交于 M，N 兩點(diǎn)， M 在第二象限，直線 MA₁ 與 NA₂ 交于點(diǎn) P. 證明：點(diǎn) P 在定直線上

解析 （1）設(shè)雙曲線方程為 bgt;0 ），由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知 則由 ，可得 所以雙曲線方程為 （2）思路1 直曲聯(lián)立，非對(duì)稱韋達(dá)定理.設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，然后由點(diǎn)的坐標(biāo)分別寫出直線 MA₁ 與 NA₂ 的方程，聯(lián)立直線方程，消去y，結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算可得+2 即交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值，據(jù)此可證得點(diǎn) P 在定直線 x=-1 上

解法1 非對(duì)稱韋達(dá)定理之半配湊

由（1）可得 A₁（δ-2δ，0），A₂（δ2δ，0） .設(shè) M（x₁，y₁） ，N（x₂，y₂） ，顯然直線的斜率不為0，所以設(shè)直線MN的方程為 x=my-4 ，且 與 聯(lián)立可得 （4m²-1）y²-32my+48=0 ，且 Δ =64（4m²+3）gt;0.

（20直線 MA₁ 的方程為 ，直線 NA₂ 的方程為 ，聯(lián)立直線 MA_i 與直線 NA₂ 的方程可得 可得 x=-1 ，即 x_P=-1 ，據(jù)此可1P 在定直線 x=-1 上運(yùn)動(dòng)

得點(diǎn)解法2 非對(duì)稱韋達(dá)定理之和積轉(zhuǎn)化

由解法1知， （2

所以my12

所以x+2

可得 x=-1 ，即 x_P=-1 ，據(jù)此可得點(diǎn) P 在定直線 x=-1 上運(yùn)動(dòng)[2].

解法3 非對(duì)稱韋達(dá)定理之求根公式計(jì)算

由解法1知，直線MN與曲線 C 聯(lián)立得（ 4m² -1）y²-32my+48=0 ，且 Δ=64（4m²+3）gt;0 則 （20又由求根公式，可得 中

即 x_P=-1 ，據(jù)此可得點(diǎn) P 在定直線 x=-1 上運(yùn)動(dòng)思路2從高觀點(diǎn)出發(fā)，極點(diǎn)極限統(tǒng)領(lǐng).

定義1 （從幾何角度看極點(diǎn)與極線）

如圖3，設(shè) P 是不在圓錐曲線上的點(diǎn)，過點(diǎn) P 引兩條割線依次交圓錐曲線于四點(diǎn) E，F(xiàn)，G，H ，連接EH，F(xiàn)G 交于點(diǎn) N ，連接 EG，F(xiàn)H 交于點(diǎn) M ，則直線MN為點(diǎn) P 對(duì)應(yīng)的極線.若 P 為圓錐曲線上的點(diǎn)，則過點(diǎn) P 的切線即為極線.

由圖3可知，同理 PM 為點(diǎn) N 對(duì)應(yīng)的極線， PN 為點(diǎn) M 對(duì)應(yīng)的極線， ΔMNP 稱為自極三點(diǎn)形.若連 接MN交圓錐曲線于點(diǎn) ^A，B ，則 PA，PB 恰為圓錐曲 線的切線.

定義2 （從代數(shù)角度看極點(diǎn)與極線）

已知圓錐曲線 =0 ，則稱 P（x₀，y₀） 和直線 l：Ax₀x+Cy₀y+D（x+x₀） +E（γ+y₀）+F=0 是圓錐曲線 T 的一對(duì)極點(diǎn)和極線.

事實(shí)上，在圓錐曲線方程中，以 x₀x 替換 x² ，以 替換 x （另一變量也是如此），即可得到點(diǎn)P（x₀，y₀） 的極線方程.

解法4（極點(diǎn)極線秒解）如圖2所示，在凹四邊形 ΨMA₁NA₂ 中，直線過定點(diǎn)（-4，0），該點(diǎn)的極線即為點(diǎn) P 的軌跡，該極線方程為： 即點(diǎn) P 的軌跡方程為 x=-1

2023年新課標(biāo) I 卷這道解析幾何高考題是以極點(diǎn)極線為背景的題目，利用極點(diǎn)極線的定義，可以迅速得出題目的答案，也能確定題目運(yùn)算的方向，然而具體的解答過程，還需要詳細(xì)規(guī)范地呈現(xiàn).

5 結(jié)束語(yǔ)

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師若能以更宏觀的視角進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，無疑可以大幅提升教學(xué)效果，尤其是在解析幾何教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生合理運(yùn)用運(yùn)算技巧尤為關(guān)鍵.因此，教師應(yīng)當(dāng)精選教學(xué)題材，優(yōu)先選擇經(jīng)典且具有發(fā)散性、遷移性的素材，并深入挖掘題目的各個(gè)維度，在指導(dǎo)學(xué)生解題的過程中，切實(shí)提高學(xué)生的推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1］中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]楊穎琪.圓錐曲線綜合題的三種解法呈現(xiàn)與教學(xué)建議[J].福建教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2023，24（09）：37 -40.

[責(zé)任編輯：李慧嬌]