破解不等式恒成立問(wèn)題的策略

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2025）16-0021 -03

不等式恒成立問(wèn)題綜合考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等知識(shí)，能有效檢測(cè)學(xué)生的邏輯思維、運(yùn)算求解和綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.因其涉及知識(shí)面廣、題型多變且思維難度大，成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，深入研究不等式恒成立問(wèn)題的解題策略，能為教學(xué)提供有效方法，助力學(xué)生突破學(xué)習(xí)瓶頸，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)[1].

1 主元法

主元法是指在一個(gè)多元數(shù)學(xué)問(wèn)題中，以其中一個(gè)變量為“主元”，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為該主元的函數(shù)、方程或不等式等問(wèn)題，其本質(zhì)是函數(shù)與方程思想的應(yīng)用.數(shù)學(xué)中的多元變量問(wèn)題，若按常規(guī)思路確定主元，可能導(dǎo)致問(wèn)題復(fù)雜化，此時(shí)，若能針對(duì)題目的結(jié)構(gòu)特征，改變思考的角度，選擇合適的主元切入問(wèn)題，可以大大降低題目難度.

例1已知函數(shù) f（x）=x|x-a|-2a² .若當(dāng) xgt; 2時(shí) f（x）gt;0 ，則 α_a 的取值范圍是

分析本題的研究對(duì)象為含參數(shù) a 的函數(shù)f（x）=x∣x-a∣-2a² .若采用常規(guī)方法，將其寫(xiě)成分段函數(shù)并繪制圖象草圖，進(jìn)而求解 a 的取值范圍，不僅運(yùn)算量較大，還極易忽略 Δ_a 為負(fù)數(shù)的情況.實(shí)際上，本題考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，體現(xiàn)了“多想少算”的命題理念.

解析當(dāng) xgt;2 時(shí) ，f（x）gt;0 等價(jià)于 x（x-a） -2a²gt;0 或者 x（a-x）-2a²gt;0

把 Ψ_a 視作“主元”進(jìn)行變形，可得 （a+x） （ a 或者 由此推出 -x 最終得出 Φ_a 的取值范圍是 -2?x?1

點(diǎn)評(píng)主元法關(guān)鍵在于根據(jù)不等式特點(diǎn)合理選擇主元，通常選擇次數(shù)較低、系數(shù)較為簡(jiǎn)單的變量為主元.當(dāng)不等式中某個(gè)變量的范圍已知時(shí)，常將該變量作為主元.主元法能有效降低問(wèn)題維度，適用于多元不等式恒成立問(wèn)題.

2 數(shù)形結(jié)合法

面對(duì)不等式恒成立問(wèn)題時(shí)，我們能夠?qū)⒉坏仁絻蛇叺谋磉_(dá)式分別視作兩個(gè)獨(dú)立函數(shù)，然后精準(zhǔn)繪制出它們的圖象.此時(shí)，借助圖象間的位置關(guān)系，便能直觀地判斷出不等式恒成立所需滿足的條件.而切線法作為數(shù)形結(jié)合法的特殊情形，是通過(guò)深度剖析函數(shù)圖象的切線來(lái)精準(zhǔn)確定不等式恒成立的邊界條件.

例2已知函數(shù) f（x）=xe^x ，若 恒成立，則實(shí)數(shù) Δ_a 的最大值為

解析 由題意可得

當(dāng) xgt;-1 時(shí)， f^′（x）gt;0 ；當(dāng) xlt;-1 時(shí)，f^′（x）lt;0. 故 f（x） 在 （-∞，-1） 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增.

若 f（x）=xe^x 的圖象與直線 相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為 ，則切線斜率 a=f^′（x₀） ，所以該切線方程為

注意到切線過(guò)點(diǎn) ，則

整理，得 2x₀²-x₀-1=0 ，解得 x₀=1 或

當(dāng) x₀=1 時(shí)， a=f^′（1）=2e ：

當(dāng) 1時(shí)，a

結(jié)合圖1可得實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 即實(shí)數(shù) Ψ_a 的最大值為2e.

例3已知函數(shù)

于 x 的不等式 f（x）gt;ax-e（ e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）在 上恒成立，則 Ψ_a 的取值范圍

解析 f（x）gt;ax-e 在 上恒成立，等價(jià)于f（x） 的圖象恒在直線 y=ax-e 的上方.

兩邊平方后得 （x+1）²+y²=1（y?0） ：

所以 的圖象是以 為圓心，半徑為1，并且在 x 軸的下半部分的半圓， y =xlnx（x gt;0），由y'=lnx+1=0，得x=1

當(dāng) 時(shí)， y^′lt;0 ，函數(shù) y=xlnx 在 單調(diào)遞減，當(dāng) 時(shí)， y^′gt;0 ，函數(shù) 在 單調(diào)遞增，當(dāng) 時(shí)，函數(shù) y=xlnx 取得最小值

如圖2所示，畫(huà)出函數(shù) f（x） 的圖象

直線 y=ax-e 恒過(guò)定點(diǎn)（0，-e），當(dāng)直線y=ax-e 與 （ xgt;0 ）相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)P（x₀，x₀lnx₀） ，由 ，可得 k=1+lnx₀ .由1 ，解得 x₀=e ，則切線的斜率為2.

當(dāng)直線 y=ax-e 與 $y = - ＼ ＼sqrt { - ＼left（ x + 1 ＼right） ^ { 2 } + 1 } ＼ （ ＼$

?0 ）相切時(shí)，直線 y=ax-e 與半圓 （x+1）²+y²=1

L （y?0） 相切，由 =1，解得a 由圖2可知， a 的取值范圍是

點(diǎn)評(píng)本題的關(guān)鍵是正確畫(huà)出函數(shù) f（x） 的圖象，并會(huì)根據(jù)直線與曲線相切求直線的斜率

3轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題

轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題，關(guān)鍵是構(gòu)造合適的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.要注意函數(shù)的定義域和單調(diào)性對(duì)最值的影響

例4 已知正數(shù) a，b 滿足 +1 ，則

解析 由 ，得

設(shè) f（x）=e^x-4x（xgt;0） ，則 f^′（x）=e^x-4. 當(dāng) 時(shí) f^′（x）gt;0 ，當(dāng) 0′（x）lt;0 ，所以 f（x） 在 ^{（0，ln4）} 上單調(diào)遞減，在 （ln4，+∞） 上單調(diào)遞增，則 f（x）_min=f（ln4）=4-8ln2. 故 f（2a）=e^2a-8a ，當(dāng)且僅當(dāng) 2a=ln4 ，即 時(shí)取等號(hào).

設(shè) ，則 當(dāng) 時(shí) g^′（x）gt;0 ，當(dāng) 時(shí) g^′（x）lt;0 ，所 以 g（x） 在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào) 遞減，所以 故 g（b） （204號(hào) ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào).

又 f（2a）?g（b） ，則 f（2a）=g（b）=4-8ln2 ，此 時(shí) 則

4一些特殊方法

4.1 必要性探路

先通過(guò)對(duì)不等式恒成立的必要條件進(jìn)行探究，縮小參數(shù)的取值范圍，再在此范圍內(nèi)證明充分性.通常取一些特殊值或?qū)Σ坏仁竭M(jìn)行初步放縮，得到參數(shù)的一個(gè)大致范圍，然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行深入分析[2].

4.2 特殊值法

利用問(wèn)題中的特殊情況、特殊值或特殊性質(zhì)來(lái)解決不等式恒成立問(wèn)題.通過(guò)對(duì)特殊情形的分析，找到一般性的規(guī)律或結(jié)論，或者直接得出滿足不等式恒成立的條件.

4.3 選項(xiàng)代入驗(yàn)證

對(duì)于一些給定參數(shù)取值范圍，判斷不等式是否恒成立的問(wèn)題，可以在取值范圍內(nèi)選擇一些具有代表性的值代人不等式進(jìn)行驗(yàn)證.如果這些特殊值都滿足不等式恒成立，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)或進(jìn)一步的推理來(lái)確定整個(gè)取值范圍是否滿足不等式恒成立.

5 結(jié)束語(yǔ)

不等式恒成立問(wèn)題作為高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，考查形式多樣，難度較大.本文介紹的主元法、數(shù)形結(jié)合法、轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題等方法為解決此類問(wèn)題提供了多種途徑.此外，破解恒成立問(wèn)題的策略還有必要性探路、特殊性法、選擇代人驗(yàn)證等特殊方法等，讀者需根據(jù)具體問(wèn)題選擇恰當(dāng)?shù)牟呗詠?lái)解決，

在教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題目特點(diǎn)靈活選擇方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)新能力.同時(shí)，不等式恒成立問(wèn)題與其他數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系緊密，未來(lái)可進(jìn)一步研究其與數(shù)列、解析幾何等知識(shí)的綜合應(yīng)用，拓展解題策略，提升學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.通過(guò)不斷探索和總結(jié)，幫助學(xué)生更好地掌握不等式恒成立問(wèn)題的解法，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果.

參考文獻(xiàn)：

[1］李鴻昌.一道新高考導(dǎo)數(shù)壓軸題的解法探究[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2021（15）：22-23.

[2]李鴻昌.破解一類導(dǎo)數(shù)壓軸題的新思路[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2019（05）：31-33.