多元最值問(wèn)題的計(jì)算技巧探究

多元最值問(wèn)題是考試中的常考問(wèn)題.減元變?cè)?、整體代換、配湊變形和變更主元是求解這類問(wèn)題的常用方法.本文結(jié)合例題探究多元最值問(wèn)題的計(jì)算技巧.

1 減元變?cè)?/p>

既然是多元，那么解題的基本思路自然是減元，減元的過(guò)程就是對(duì)條件進(jìn)行化簡(jiǎn)、變形、配湊、拆分的過(guò)程，減元的方法主要是變量替換.

例1設(shè) ω_a，b，c 是三個(gè)正數(shù)，且 則 的最大值為

當(dāng) b=2a 時(shí)，代人 化簡(jiǎn)得 a= 0，與題設(shè)矛盾，所以 b≠2a .因?yàn)? ，所以 （204號(hào) 因?yàn)?cgt;0 ，所以 b-2agt;0 ，故

今 ，則

當(dāng)且僅當(dāng) 即 x=3 時(shí)，等號(hào)成立，所以 ，故 的最大值為3.

本題由 得到 代

進(jìn)行轉(zhuǎn)化.令 ，消元得到 3x+ ，再利用基本不等式求解.

2 整體代換

若遇到形式復(fù)雜或不易找到解題思路的問(wèn)題，可以嘗試整體代換，即將某一含有多元的代數(shù)式看成一個(gè)整體，將其與目標(biāo)函數(shù)相乘或整體換元，為后續(xù)解決問(wèn)題創(chuàng)造條件.整體代換的目的主要有兩個(gè)：一是為了運(yùn)用基本不等式或柯西不等式解題；二是為了將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的最值問(wèn)題.

例2 已知正數(shù) a，b，c 滿足 clt;1，a+b=4 ，則 的最小值為

由題意知

解析

當(dāng)c 時(shí)，等號(hào)成立.因此

當(dāng)且僅當(dāng) b=3a 2，a+b=4，即a=1，b=3，c= 時(shí)，等號(hào)成立.

綜上 的最小值為2.

點(diǎn) 求解本題的關(guān)鍵：第一步將 c（1-c） 進(jìn)行放評(píng) 縮；第二步將 中的2代換為+ 得到 ，進(jìn)而用“1”的代換求最小值.

3 配湊變形

對(duì)于含有雙變量或多變量代數(shù)式的最值問(wèn)題，有時(shí)需要在配湊變形的基礎(chǔ)上，靈活運(yùn)用基本不等式解題.

例3 已知 x，y，z 均為正數(shù)，則 的最大值為

因?yàn)?x，y，z 均為正數(shù)，所以

當(dāng)且僅當(dāng) 5x=y ， 9y=5z 時(shí)，等號(hào)成立，故 的最大值為

點(diǎn)求解本題的關(guān)鍵在于將分子 配評(píng)湊變形為 ，這樣有利于運(yùn)用基本不等式解題.

4變更主元

在解決有關(guān)代數(shù)問(wèn)題的過(guò)程中，當(dāng)用常規(guī)思維解答遇到困難時(shí)，不妨換個(gè)思維角度，通過(guò)變更主元的方法解題.

例4已知 f（u） 有零點(diǎn)，則 a²+b² 的最小值為

由題意可知關(guān)于 u 的方程 u²+au+b-2=0 有實(shí)數(shù)根.若將 a_λ，b 視為主元（此時(shí)將 u 看作已知量），則 a²+b² 表示直線 l：au+b+u²-2=0 上的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離的平方.設(shè)原點(diǎn)到直線 l 的距離為 d ，則 a²+b² 的最小值為 （d²）_min ，易知

令 m=u²+1 ，則 因?yàn)?u=x+ ，所以 ，當(dāng)且僅當(dāng) x=±1 時(shí)，等號(hào)成立，故 m?5

由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù) 在[5，+∞] 上單調(diào)遞增，所以 故 a²+b² 的最小值為

本題將方程看成關(guān)于 a，b 的二元一次方程，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為原點(diǎn)到直線距離的平方的最小值，解題的關(guān)鍵是方程主次元的轉(zhuǎn)化、構(gòu)造 a²+ b² 的幾何意義.

例5已知 α，β∈R ，且 f（α，β）=cos（α-β）- （cos α+cosβ）+1 ，則 f（α，β） 的最小值為

f（α，β）=cos（α-β）-（cosα+cosβ）+1= CC sαcosβ+sinαsinβ-cosα-cosβ+1= cos α（cosβ-1）+sinαsinβ-cosβ+1 ，將 β 看作已知量，將cos α，sinα 分別看作變量，則單位圓上的點(diǎn)P（cosα，sinα） 在直線 x （cos cos β+1-f（α，β）=0 上.因此，由直線與單位圓有公共點(diǎn)，可得

則

即|1-c ，所以

通過(guò)變形可得

則 時(shí)，等號(hào)成立，故

f（α，β） 的最小值為 ：

本題是求解以 α，β 為變量的代數(shù)式的最小值.為了便于分析、求解，在適當(dāng)變形的基礎(chǔ)上將 cosα，sinα 看作是主元，進(jìn)而通過(guò)構(gòu)造單位圓上的點(diǎn)以及直線，利用直線與單位圓有公共點(diǎn)的充要條件構(gòu)建不等式使問(wèn)題獲解.

（完）