問題驅(qū)動 憤排啟發(fā) 深耕細(xì)研

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1008-0333（2025）16-0048-05

數(shù)列的放縮求和是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，它的解答具有較高的思想性和策略性.數(shù)列放縮的本質(zhì)是原數(shù)列不能直接進(jìn)行求和運(yùn)算，需要通過近似放縮轉(zhuǎn)化為可求和的數(shù)列.數(shù)列放縮的一般思想包括正向放縮和逆向鎖定通項(xiàng)放縮.本文結(jié)合教學(xué)實(shí)際就幾類典型問題展開探討，希望能對老師的教研和學(xué)生的學(xué)習(xí)有所幫助.

1 典例分析，進(jìn)階思維節(jié)點(diǎn)

例1 數(shù)列 {a_n} 的前 n 項(xiàng)和為

（1）求 a_n ：

（2）證明

解析 （1）a_n=n² ，過程略.

（2）令

評注通項(xiàng)是分式通常轉(zhuǎn)化為裂項(xiàng)求和，這里是進(jìn)行放，只需將分母變小，另外還需要將分母因式分解，這樣才能裂項(xiàng).因此，可以將分母化為平方差公式，也可以轉(zhuǎn)化為提公因式分解.

2 問題驅(qū)動，憤悱思維狀態(tài)

問題1 若改變小于后的目標(biāo)值，那通項(xiàng)又放縮到何種程度呢？

模型1 通項(xiàng)分母為二次函數(shù)型探究1 證明

解析 如何將分母放縮到合適程度？大部分學(xué)生無從下手.我們可以用待定系數(shù)法，先令 則 只需 得 將 代人檢驗(yàn) 恒成立.故得證.

評注巧妙地應(yīng)用待定系數(shù)法優(yōu)化解題思路，找到問題本質(zhì)，將原來高不可攀的問題簡單化、程式化[1].

問題2 上述問題能否拓展到一般情況呢？

探究2 若an= 求證： a₁+a₂+a₃

+…+a_n

則

，則 再代人原式檢驗(yàn)，若不

等式不能恒成立，則保留 a₁ ，從 a₂ 開始放縮，若依然不能成立，再調(diào)整為第三項(xiàng)開始放縮，直至不等式恒成立.

問題3 若通項(xiàng)是分式，分母不是二次函數(shù)，又如何解決呢？

模型2 通項(xiàng)分母為根式冪型.

例2 已知數(shù)列 {a_n}，a₁=1，na_n+1=（n+1）a_n. （20（1）求通項(xiàng) a_n （2）求證

解析 （1）a_n=n 過程略.

（2）令 則 則

問題4 分母是根式，能否推廣到一般形式，如 將如何解答？

探究3 已知 求證：a+a+a

解析 因?yàn)? （20則 當(dāng) k=2 時

得證.

評注 分母根式放縮的原點(diǎn)是 ，可以推廣變形為 （2號問題5 若分母是指數(shù)冪，又將如何放縮？

模型3 通項(xiàng)分母為指數(shù)冪型.

例3數(shù)列 {a_n}，S_n 為 {a_n} 的前 Ω_n 項(xiàng)和， a₁=2 ，{3a_n-2S_n} 是公差為2的等差數(shù)列.

（1）求 {a_n} 的通項(xiàng)公式;（2）證明 視角1 利用糖水不等式放縮為等比數(shù)列解析 （1）a_n=3ⁿ-1 業(yè)

（2）令 因?yàn)?0 所以 所以

視角2 二項(xiàng)式展開取部分項(xiàng)縮放

解法2由 3ⁿ=（1+2）ⁿ=C_n⁰1ⁿ+C_n¹2+C_n²2²

+…gt;C_n⁰1ⁿ+C_n¹2+C_n²2²=1+2n²， 得 3ⁿ-1gt;2n² 貝 則

視角3 因式分解進(jìn)行放縮.

解法3 因?yàn)?3ⁿ-1=（3-1） H （3^n-1+3^n-2 +3^n-3+…+3⁰）gt;2×3^n-1， 所以 貝 視角4 利用函數(shù)有界性進(jìn)行放縮

解法4 若 則

因?yàn)? 是減函數(shù)，故當(dāng)

n=1 時 Ω_Ωf（n） 有最大值.得 1

即 下同解法3.

視角5 利用特殊不等式放縮，如 aⁿ-bⁿgt;（a -b）a^n-1（agt;bgt;0）

解法5因?yàn)?agt;bgt;0 ，所以 a^n-1gt;b^n-1 所以 b×a^n-1gt;bⁿ .即 aⁿ+b×a^n-1gt;aⁿ+bⁿ 即 aⁿ-bⁿgt;（a-b）a^n-1

則 3ⁿ-1gt;（3-1）3^n-1

則 下同解法3.

視角6 轉(zhuǎn)化等比放縮.

解法6 令 則

則

下同解法3.

視角7 數(shù)學(xué)歸納法.

解法7 ① 當(dāng) n=1 時 ，成立.

② 假設(shè)當(dāng) n=k 時 成立.

當(dāng) n=k+1 時 即當(dāng) n=k+1 時，不等式也成立

綜上，對任意正整數(shù) 成立.

評注分母是指數(shù)型的放縮，基本思想是先轉(zhuǎn) 化通項(xiàng)，放縮為可進(jìn)行和運(yùn)算的通項(xiàng)，再對轉(zhuǎn)化后的 通項(xiàng)進(jìn)行求和，實(shí)現(xiàn)放縮目標(biāo)

問題6以上數(shù)列都是已知通項(xiàng)，求和的不等式，是否有其他的縮放，比如求積式縮放？

模型4 求積不等式型.

例4 （2017年全國Ⅲ卷第21題改編題）求證：

解法1 利用對數(shù)伴隨不等式進(jìn)行放縮因?yàn)?+1 ，則

要證 ，只需證 ，即證

根據(jù)對數(shù)伴隨不等式，有 當(dāng) x =0 時，等號成立，則

則

解法2 利用指數(shù)伴隨不等式進(jìn)行放縮.

根據(jù)指數(shù)伴隨不等式 e^x?x+1 ，當(dāng) x=0 時等號成立，所以有1+1 則

解法3 利用平均值不等式進(jìn)行放縮

根據(jù)平均值不等式有 ?a₁a₂a₃…a_n ，當(dāng) a₁=a₂=…=a_n 時，等號成立.則

因?yàn)?e^x?1+x ，則 ，得 即有 2n≤e，即[（1 2n]≤√e.得證.

問題7 我們了解了以上和式放縮和積式放縮，這些都是基于通項(xiàng)公式是已知的情況下，是否存在通項(xiàng)公式不能求出的數(shù)列放縮呢？

模型5 通項(xiàng)未知型

例5已知數(shù)列 {a_n} 滿足： +1. 求證： 0nlt;2 解析因?yàn)? ，所以 a_n gt;0. 當(dāng) n=1 時， a₁=1lt;2 ，成立.假設(shè) n=k 時， a_nlt;2 .則當(dāng) n=k+1 時， a_n+1 成立.

綜上所述， n 為任意正整數(shù)， 0nlt;2 成立.

問題8 以上模型都是正向變式模型，是否存在逆向發(fā)散模型？

模型6 逆向?qū)Ρ饶Ｐ?

例6數(shù)列 {a_n} 的通項(xiàng)公式為 （20解析 令 則 所以 ，也適合上式.所以 因?yàn)?（2ⁿ-1）²gt;0，ngt;1 所以 4ⁿ-2×2ⁿ+1gt;0 所以 2×4ⁿ×2ⁿgt;2×4ⁿ×2ⁿ-4ⁿ+2×2ⁿ-1. 所以 2×4ⁿ×2ⁿgt;（4ⁿ+1）×（2ⁿ⁺¹-1）

所以

所以

所以 a_ngt;b_n

所以 a₁+a₂+…+a_ngt;b₁+b₂+…+b_n.

即

評注當(dāng)放縮后的求和結(jié)果為多項(xiàng)式時，適宜采用逆向思維求解.具體而言，可先借助退位相消法求出放縮后的通項(xiàng)，再通過比較原通項(xiàng)與放縮后通項(xiàng)的大小關(guān)系，從而完成結(jié)論證明.

3 結(jié)束語

破解某一微專題，需要進(jìn)行系統(tǒng)性思考，不能僅局限于知識與技巧層面.教師在進(jìn)行問題設(shè)計(jì)時，首要任務(wù)是精心構(gòu)建并提出具有啟發(fā)性的問題.設(shè)計(jì)循序漸進(jìn)的問題鏈，引導(dǎo)學(xué)生主動思考，逐步掌握解決此類問題的思維方法，并探索深度學(xué)習(xí)的有效路徑，使深度學(xué)習(xí)真正轉(zhuǎn)化為學(xué)生的核心能力.

從正反兩個角度分析問題，是構(gòu)建系統(tǒng)知識體系的有效方法.正向進(jìn)行題目變式訓(xùn)練，能幫助學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識，筑牢學(xué)習(xí)根基；逆向開展思維發(fā)散練習(xí)，則有助于提升學(xué)生思維的深度與靈活性，實(shí)現(xiàn)思維進(jìn)階.這種方式不僅能提升思維的靈活度，還能讓學(xué)生達(dá)到“會一題，通一類”的學(xué)習(xí)效果.教師與學(xué)生可以將這種研題思路作為寶貴經(jīng)驗(yàn)，應(yīng)用于其他類型問題的學(xué)習(xí)與研究中.

參考文獻(xiàn)：

[1］汪本旺.同一種思維方式“待”出不一樣的人生：用待定系數(shù)法處理有通項(xiàng)的數(shù)列放縮問題[J].教學(xué)考試，2023（20）：49-54.

[責(zé)任編輯：李慧嬌]