聚焦尺規(guī)作圖 發(fā)展核心素養(yǎng)

［摘 要］尺規(guī)作圖是學(xué)生“做中學(xué)”的重要體現(xiàn)，它能夠使抽象概念可視化，邏輯思維外顯化。文章在引導(dǎo)學(xué)生了解周長本質(zhì)、尺規(guī)作圖的價值以及注意事項的基礎(chǔ)上，通過多元操作，初步感知周長；尺規(guī)作圖，深入理解周長；化曲為直，感悟數(shù)學(xué)思想這三個方面，幫助學(xué)生理解概念本質(zhì)，發(fā)展幾何直觀和推理意識。

［關(guān)鍵詞］尺規(guī)作圖；幾何直觀；推理意識

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標(biāo)識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2025）11-0088-03

圖形與幾何是義務(wù)教育階段學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要領(lǐng)域，“圖形的認識與測量”是該領(lǐng)域的主題之一?！罢J識周長”一課旨在幫助學(xué)生直觀理解周長的本質(zhì)，提升自主探究的能力，發(fā)展核心素養(yǎng)。

一、課前慎思

（一）周長的本質(zhì)

周長是指圍繞有限面積的區(qū)域邊緣一周的長度，其中一周是前提，長度是本質(zhì)，是對一維空間的度量。為強化學(xué)生對周長的理解，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“感知—抽象—概括—鞏固”的概念學(xué)習(xí)過程。學(xué)生通過對感性材料的觀察、觸摸、操作等活動，建立清晰的表象。比如，利用直尺和圓規(guī)將三角形的三邊畫到一條直線，直觀感受三角形的周長，再通過測量和計算三邊的長度之和，感悟周長的本質(zhì)。可見，周長是一個數(shù)形結(jié)合的數(shù)量概念，因此，“認識周長”的大概念可以提取為：周長是封閉圖形特有的，是圖形邊緣線的長度，具有可加性。

（二）尺規(guī)作圖的理論與實踐要點

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準（2022年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準》）關(guān)于“圖形的認識與測量”的教學(xué)提示指出，圖形的周長教學(xué)可以借助用直尺和圓規(guī)作圖的方法，引導(dǎo)學(xué)生自主探索三角形的周長，感知線段長度的可加性，理解三角形的周長，歸納出長方形和正方形周長的計算公式。對此，在實際教學(xué)中，應(yīng)明確以下概念。

1.尺規(guī)作圖的內(nèi)涵

“尺”是沒有刻度的直尺，主要用來畫直線、射線、線段；“規(guī)”指圓規(guī)，可以用來截取相同的長度或畫弧。因此，尺規(guī)作圖是指用無刻度直尺和圓規(guī)進行作圖。

2.尺規(guī)作圖的教育價值

（1）體現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴謹性

將三角形的三條邊“搬”到同一條直線上時，有學(xué)生想到了張開手指比畫，但在這過程中，手指會不由自主地動，結(jié)果就不準確了。而用圓規(guī)進行操作，學(xué)生會感悟到只要圓規(guī)張開的角不變，移動過程中線段的長度就不變。

（2）促進學(xué)生感悟知識本質(zhì)

周長是封閉圖形一周邊線的長，其本質(zhì)是長度，長度是一維的線的屬性，而幾何圖形是二維的面。雖然在教學(xué)中，教師都會讓學(xué)生在物體的表面或平面圖形上指一指、描一描其一周的邊線，但這時的動作表象仍未脫離二維的面。讓學(xué)生用圓規(guī)將三角形三條邊依次首尾相接，畫到一條直線上。學(xué)生會發(fā)現(xiàn)：線段是可以累加的，雖然三角形邊的位置變了，但對應(yīng)的長度沒有變。由此，學(xué)生體會了運動的不變性，從而通過測量線段的長度得到周長，感悟周長的本質(zhì)。

（3）發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)

尺規(guī)作圖對發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)的作用主要表現(xiàn)在幾何直觀和推理意識。利用尺規(guī)把幾何圖形的一周邊線從二維的面上剝離，得到一條線段，讓學(xué)生直觀感受周長就是幾條線段構(gòu)成的長度總和，將抽象問題具象化，將思維結(jié)果圖示化。緊接著，教師應(yīng)抓住契機，及時追問：為什么這條線段的長就是三角形的周長？引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合作圖軌跡分析、思考和說理，培養(yǎng)學(xué)生有條理、有根據(jù)地表達，初步感悟邏輯推理的內(nèi)涵，幫助學(xué)生從具體操作向抽象推理的進階。

3.尺規(guī)作圖教學(xué)注意事項

尺規(guī)作圖在小學(xué)階段是一個全新的內(nèi)容，學(xué)生在操作時很容易遇到困難，此時不能讓學(xué)生跟著教師的示范亦步亦趨地模仿，這樣就失去了尺規(guī)作圖的育人價值。教師可以在教材編排的教學(xué)內(nèi)容基礎(chǔ)上新增“和尺規(guī)做朋友”教學(xué)內(nèi)容，幫助學(xué)生認識圓規(guī)的組成、使用方法，學(xué)會運用尺規(guī)畫指定長度的線段，設(shè)計自己喜歡的圖形等。在教學(xué)過程中，教師要大膽放手，讓學(xué)生多一點探索與嘗試，多一點想象與體驗，多一點反思與感悟，這樣才能多一點創(chuàng)造與驚喜。

尺規(guī)作圖為學(xué)生提供了“做中學(xué)、悟中創(chuàng)”的實踐機會。在學(xué)生第一次利用尺規(guī)作圖時，教師要引導(dǎo)他們構(gòu)思作圖想法，明確作圖過程，留下作圖痕跡，在直觀操作與抽象想法間建立聯(lián)系，以便學(xué)生借助直觀圖示進行表達、交流與說理。

二、課堂實踐

（一）多元操作，感悟概念本質(zhì)

（教師用多媒體出示“周”字甲骨文）

師：同學(xué)們認識這個字嗎？想象一下，它像什么？

生1：我覺得這個字是“周”，因為它像幾塊農(nóng)田一周的邊線。

師：“一周的邊線”這個描述很好。我們的祖先通過觀察生活發(fā)明這個甲骨文，經(jīng)歷演變，就成了現(xiàn)在的“周”字。

師：數(shù)學(xué)書封面一周的邊線在哪里呢？你能指一指嗎？

（學(xué)生上臺指，邊指邊說）

師：幾位同學(xué)的指法有什么相同和不同的地方？

生2：我發(fā)現(xiàn)他們指的起點不同，方向也不同。

生3：我發(fā)現(xiàn)他們都是從一點開始沿著數(shù)學(xué)書封面的邊線繞了一周又回到了起點。

師：你能再指一指課桌面一周的邊線嗎？

（同桌互指）

師：今天老師給同學(xué)們帶來了兩張書簽，你們能描出他們的一周邊線嗎？

（出示兩張書簽：一張是長方形，一張是心形）

師：比較這兩張書簽一周的邊線，有什么不同？

生4：第一張書簽的邊線是直的，第二張書簽的邊線是彎的。

師：真有數(shù)學(xué)眼光?，F(xiàn)在褪去他們生活的外衣，這些都是什么圖形？

生5：平面圖形。

師：像這樣，圖形一周邊線的長叫作它的周長，例如書簽一周邊線的長是書簽的周長。你能像這樣再來說一說其他圖形的周長嗎？

生6：長方形一周邊線的長是長方形的周長。

生7：課本封面一周邊線的長是課本封面的周長。

生8：圓形一周邊線的長是圓的周長。

師：雖然這些物體不同，但它們的一周邊線的長度就是它們的周長。

【設(shè)計意圖】“一周邊線”是認識周長的前提，它依附于面，而面的二維屬性增加了學(xué)生理解周長概念的難度。如何突破難點？《課程標(biāo)準》要求結(jié)合實例認識周長。本環(huán)節(jié)，教師借助數(shù)學(xué)書、課桌、書簽等學(xué)生熟悉的物體，引導(dǎo)學(xué)生通過指一指、描一描、比一比、說一說等一系列活動，深切體會一周邊線，繼而揭示周長概念，從具體到抽象再回到具體，幫助學(xué)生逐步直觀認識周長。

（二）課程導(dǎo)入，引入尺規(guī)作圖

（課件出示圖形：角）

師：這是我們以前認識的圖形朋友，它有周長嗎？

生1：它沒有周長。

師：為什么？

生2：它的邊線沒有連在一起，不是封閉圖形。

師：那我們把它變成封閉圖形。

（多媒體展示）

師：現(xiàn)在成了我們熟悉的什么圖形？

生3：三角形。

師：我們把三角形的三個頂點分別記作A、B、C。三角形ABC的周長到底是多少呢？你打算怎么量出它的周長？

生4：我用直尺分別量出三角形三條邊的長度，再加在一起，就是三角形的周長了。

師：也就是量三次再相加。如果只量一次，你有什么好辦法嗎？先思考再動手試一試。

生5：我是這樣用手比畫，分別將三角形的三條邊移到一條直線上，然后再測量。

師：大家覺得這個辦法怎么樣？

生6：用手比畫的過程中，手很容易抖動，這樣就不準了。

師：你還有什么辦法把三角形三條邊也搬到一條直線上嗎？

生7：用圓規(guī)。

師：我們課前已經(jīng)和圓規(guī)交了朋友，現(xiàn)在就請它來幫幫忙吧。

【設(shè)計意圖：本環(huán)節(jié)包含兩個主要活動。首先，通過將角變成三角形，強化學(xué)生對周長是封閉圖形才具有的屬性的認識。其次，讓學(xué)生探究測量三角形周長的方法，以此引出尺規(guī)作圖的需求?！?/p>

（三）實際操作，探究周長本質(zhì)

生1：我先用直尺畫一條直線，在直線上選一點作為起點A，然后用圓規(guī)分別把三角形的AB，BC，CA邊“搬”到直線上。

生2：要注意的是，將這三條線段畫在同一條直線上時，這三條線段不能重疊，要順次連接。

師：好的，根據(jù)同學(xué)們的描述，我們用圓規(guī)畫出了這樣的線段。

（出示同一條直線上的三條線段AB、BC、CA1）

師：三角形ABC的周長指的就是這條直線上哪條線段的長度呢？

生3：線段AA1的長度。

師：為什么？請說說你們的理由？

生4：線段AB是三角形AB邊的長度，線段BC是三角形BC邊的長度，線段CA1是三角形CA邊的長度，把它們連接在一起是線段AA1，正好是三角形ABC一周邊線的長度。

【設(shè)計意圖：在本環(huán)節(jié)借助直尺和圓規(guī)進行作圖，引導(dǎo)學(xué)生自主探索三角形的周長，感知線段長度的可加性?！?/p>

（四）化曲為直，感悟數(shù)學(xué)思想

師：剛才通過我們的好朋友直尺和圓規(guī)的幫助，將三角形的一周邊線轉(zhuǎn)化成了一條線段，從而測得三角形的周長?，F(xiàn)在你能測量這個心形書簽的周長嗎？

生1：心形書簽的一周邊線是彎曲的，圓規(guī)沒有辦法直接截取它邊的長度。

師：那可怎么辦呢？

（學(xué)生思考）

生2：根據(jù)剛才用直尺和圓規(guī)作圖的經(jīng)驗，我們可以想辦法把心形書簽的一周邊線放到一條直線上。

師：這個想法很好，怎么做呢？請同學(xué)們利用手中的工具動手試一試吧。

（學(xué)生動手操作）

生3：我用軟尺圍繞心形書簽一圈，然后拉直。

生4：我先在一根線上做一個標(biāo)記作為起點，然后繞著書簽圍一周，再做個標(biāo)記，拉直，再用直尺測量這根線兩個標(biāo)記間的長度。

生5：我發(fā)現(xiàn)這個書簽有一圈邊框，我將邊框慢慢撕下來，然后展開鋪平，再測量這個邊框的長度。

師：大家想一想這些方法有什么相同的地方？

生6：都將心形書簽一周彎曲的邊線變成了一條直的線段。

師：你觀察得真仔細，這在數(shù)學(xué)上我們把這種方法叫作“化曲為直”。

【設(shè)計意圖】在生活中，物體或圖形的輪廓并非總是直線，也有彎曲的，而曲線相較于直線而言，其復(fù)雜性更高，處理起來也更為困難。教師引導(dǎo)學(xué)生借助工具，結(jié)合對周長本質(zhì)的理解，通過巧妙的轉(zhuǎn)化，將一周彎曲的線轉(zhuǎn)化為一條直的線段，從而解決問題。這一過程不僅展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的靈活性，同時也揭示了思維的深刻性。

三、課后反思

（一）概念可視化，凸顯幾何直觀

概念可視化是指將抽象的概念轉(zhuǎn)化為易于理解的、直觀的圖形、圖像或其他的表現(xiàn)形式。周長是指封閉圖形一周邊線的長度，一周邊線是依附于面而存在的，觀察物體時直接映入眼簾的是面，因此，借助尺規(guī)作圖，將三角形的一周邊線從面上分離是教學(xué)的重點。通過探究，學(xué)生理解將三角形的各邊依次首尾相接，形成一條線段，線段的長度就是三角形的周長。由此，抽象的周長概念得到直觀具體的呈現(xiàn)。

（二）思維外顯化，發(fā)展推理意識

尺規(guī)作圖的過程本質(zhì)上是一個嚴謹?shù)耐评磉^程，學(xué)生需要根據(jù)定義、公設(shè)和公理進行作圖，每一步都需要有明確的依據(jù)，這種嚴謹推理的過程有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。

總之，通過尺規(guī)作圖不僅能夠幫助學(xué)生直觀地理解和掌握周長的概念，還能促進學(xué)生思維能力和幾何素養(yǎng)的提升。

［ 參 考 文 獻 ］

[1]" " 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2]" " 沈重予，王林.小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容分析與教學(xué)指導(dǎo)[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2015.

【本文系江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2023年度立項課題“數(shù)學(xué)大概念下小學(xué)數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)案例研究”（項目編號：C/2023/03/17）的階段性研究成果?！?/p>

（責(zé)編" " 梁桂廣）