發(fā)展學(xué)生幾何推理能力的策略探究

［摘 要］文章以“平行四邊形的面積”一課為例，通過“探”“驗”“展”“思”四個策略進(jìn)行教學(xué)重構(gòu)與實踐，使學(xué)生探索平行四邊形的轉(zhuǎn)化過程，從直觀感知到抽象理解，深刻把握平行四邊形與長方形的聯(lián)系，關(guān)注平行四邊形的底和高的對應(yīng)關(guān)系，自主構(gòu)建平面圖形的知識體系。

［關(guān)鍵詞］平行四邊形的面積；幾何推理能力；策略

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2025）11-0079-03

荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾曾說：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種活動，這種活動與游泳、騎自行車一樣，不經(jīng)過親身體驗是學(xué)不會的?！痹凇捌叫兴倪呅蔚拿娣e”教學(xué)中，教師應(yīng)確保學(xué)生有充分的時間去經(jīng)歷過程，在操作活動中建立面積公式模型，為學(xué)習(xí)其他平面圖形的面積公式積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

一、“探”基礎(chǔ)圖形：實現(xiàn)推理過程的進(jìn)階性

（一）“探”幾何框架

小學(xué)階段的幾何知識非常多，這些知識分布在各年級教材中，因此要對幾何知識進(jìn)行梳理，建立幾何知識框架。在學(xué)習(xí)某一圖形時，學(xué)生必須熟悉該圖形的知識前沿和延展，這樣才能使學(xué)習(xí)過程具有系統(tǒng)性、連貫性。例如，在本節(jié)課有以下環(huán)節(jié)。

師：課前，我讓同學(xué)們嘗試求一個平行四邊形的面積，同學(xué)們用了不同的方法（如圖1），讓我們來看一看。

生1：第一種方法是先將平行四邊沿一條線剪開，再將得到的三角形移到左邊，拼成一個長方形。

師：這條線是任意的嗎？

生2：不是，要沿著高剪開，因為長方形的四個角都是直角，只有沿著高剪開，才會有直角。

生3：第二種方法是沿著平行四邊形的高剪開，分成2個直角梯形，再拼成一個長方形。

師：兩種方法都把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形來求解，轉(zhuǎn)化成的長方形和原來的平行四邊形有什么聯(lián)系？

生4：它們的面積相等，長方形的長相當(dāng)于平行四邊形的底，長方形的寬相當(dāng)于平行四邊形的高。因為長方形的面積=長×寬，所以平行四邊形的面積=底×高。

在求解平行四邊形面積的過程中，學(xué)生初步建立平行四邊形和長方形之間的聯(lián)系，構(gòu)建幾何知識框架。

（二）“探”幾何語言

幾何語言是描述圖形的位置、大小及作圖過程所使用的術(shù)語和符號，幾何語言使用的關(guān)鍵是建立圖形語言與其他語言之間的關(guān)系，將抽象轉(zhuǎn)化為具象，讓圖形“說話”，化難為易。

例如，在教學(xué)“平行與垂直”時，如果僅用文字語言描述往往顯得煩瑣，因此將文字語言轉(zhuǎn)化為幾何語言，用符號“⊥”表示垂直，用符號“∥”表示平行更簡潔易懂。

（三）“探”幾何方法

直觀理解數(shù)學(xué)的有效途徑之一是借助幾何圖形。因為幾何圖形能夠?qū)?fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于學(xué)生尋找解題思路。例如以下教學(xué)環(huán)節(jié)。

師：怎么運用平行四邊形面積公式呢？我們一起來看看下面這道題（如圖2）吧。

生1：平行四邊形的底是4 cm，高是2 cm，它的面積=4×2=8（cm2）。

師：為什么不是“4×3”呢？

生2：3 cm不是4 cm（底邊）對應(yīng)的高，而是它的鄰邊。

確定平行四邊形的底及其對應(yīng)的高是計算平行四邊形面積的關(guān)鍵。題目通過出示圖形，讓學(xué)生直觀認(rèn)識平行四邊形的底和高，從而加深對平行四邊形特征的理解。

二、“驗”幾何思維：實現(xiàn)推理思維可視化

幾何思維是一種從直覺和形象出發(fā)思考和解決問題的方式，是幾何學(xué)中非常重要的思維。然而，幾何思維通常具有抽象性，不易直觀展現(xiàn)。因此，探索一種能夠?qū)缀嗡季S具象化的方法顯得尤為重要。

（一）“驗”圖形轉(zhuǎn)化，拓寬思維空間

圖形轉(zhuǎn)化的過程要求具備一定的思維能力，而培養(yǎng)思維能力恰是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心目標(biāo)之一。作為思維訓(xùn)練的一種方式，圖形轉(zhuǎn)化可以幫助學(xué)生培養(yǎng)自主思考、觀察問題、解決問題的能力，提高他們的邏輯思維和創(chuàng)造力。以教材編排的例題（如圖3）為例。

看似簡單的問題，實則能夠激發(fā)學(xué)生的思維。學(xué)生不僅要從形狀上去思考，還要觀察圖形某部分的位置變化，更要去尋找圖形變化前后的聯(lián)系，整個過程都是對思維的挑戰(zhàn)。

（二）“驗”條件轉(zhuǎn)化，打破思維定式

本節(jié)課的教學(xué)實踐中，教師出示如圖4所示的題目，讓學(xué)生建立已有知識與新知識的聯(lián)系，掌握條件轉(zhuǎn)化的方法。

條件轉(zhuǎn)化的過程旨在引導(dǎo)學(xué)生將已掌握的條件轉(zhuǎn)變?yōu)樾轮R所必需的條件，以便在探索過程中提高學(xué)習(xí)效率。在這一過程中，學(xué)生需要充分調(diào)動自己的知識儲備，靈活運用所學(xué)知識，將看似無關(guān)的條件巧妙地串聯(lián)起來，形成解決問題的關(guān)鍵線索。學(xué)生掌握條件轉(zhuǎn)化的技巧，學(xué)會從不同角度、不同層面去審視問題，從而打破思維定式，培養(yǎng)靈活多變的思維方式。

（三）“驗”方法深化，滲透數(shù)學(xué)思想

通過圖形轉(zhuǎn)化的探究，學(xué)生初步建立了平行四邊形的面積公式模型，然而，這種理解尚屬表層，學(xué)生還需要通過求有多組數(shù)據(jù)的平行四邊形的面積來深化理解。比如，選擇對應(yīng)的數(shù)據(jù)進(jìn)行計算，并帶著驗證任務(wù)去操作，明確活動目的和方向，讓學(xué)生由“感”到“悟”，再到”會”，進(jìn)入到思考、探究、交流中，體驗到學(xué)習(xí)成功的喜悅。

通過這樣有目的、有方向的驗證操作，學(xué)生提升了對結(jié)論的理解，這對他們未來的學(xué)習(xí)具有重要作用。在后續(xù)學(xué)習(xí)中，學(xué)生能夠運用這種經(jīng)驗進(jìn)行實際操作，帶著目的探究。

三、“展”思維可視化：實現(xiàn)推理歷程的深度感

思維可視化是指運用一系列方法把本來不可視的思維過程具體化、形象化。在本節(jié)課的教學(xué)中，教師通過不同方法，將學(xué)生的數(shù)學(xué)思維可視化。

（一）“展”學(xué)情，激發(fā)探究欲望

對于平行四邊形的面積，學(xué)生了解多少？學(xué)生如何基于長方形的面積計算方法進(jìn)行思考？針對這些問題，教師設(shè)計了關(guān)于平行四邊形面積的學(xué)情前測卷，并對本校四個班的學(xué)生反饋的前測卷進(jìn)行了整理、分析（見表1）。

從表1來看，大部分學(xué)生對平行四邊形的面積公式有所了解，然而對其計算原理缺乏深入的認(rèn)識。因此，課堂伊始，教師設(shè)計了這樣的引導(dǎo)環(huán)節(jié)：“通過前測，同學(xué)們已經(jīng)知道了平行四邊形的面積公式，由你們來講為什么可以這么算。”

看似簡單的導(dǎo)入，其實是將傳統(tǒng)教學(xué)的“怎么樣”變成了“為什么”，以此激發(fā)學(xué)生的探究欲望。

（二）“展”活動流程，內(nèi)容直觀有序

有些問題要讓學(xué)生動手操作，使思考過程具象化，直觀地體驗操作的優(yōu)勢，才能理解問題的關(guān)鍵。例如，在本節(jié)課教學(xué)中，教師設(shè)計如下環(huán)節(jié)。

師（出示圖5）：這些平行四邊形的面積分別是多少？

生1：都是30 cm2。

師：你是怎么想的？

生1：它們的底都是6 cm，高都是5 cm。

師：教師拿出三個對應(yīng)的平行四邊形，讓學(xué)生直觀操作比較，得到它們的底相等，高也相等。

此環(huán)節(jié)圖文結(jié)合，不僅可以明確數(shù)據(jù)的特點，還能讓學(xué)生直觀感知“同底等高的平行四邊形，其面積相等”這一特征。

（三）“展”觀察記錄，凸顯難點細(xì)節(jié)

了解學(xué)生對課堂知識點記憶情況的重要方式之一是課堂活動記錄。那么，如何進(jìn)行小學(xué)數(shù)學(xué)課堂觀察記錄呢？

教師在明確所要觀察的內(nèi)容和重點后便可以動手制作觀察記錄表。例如，在拉動長方形框而形成的多個平行四邊形中，引導(dǎo)學(xué)生利用觀察記錄表記錄拉動前后圖形的面積大小，記錄學(xué)生經(jīng)歷解決問題的過程。學(xué)生在拉動長方形框的過程中，不僅明白面積變小是因為高變小了，還會通過數(shù)據(jù)直接展現(xiàn)面積變小的原因。

四、“思”評價方式：實現(xiàn)推理到經(jīng)驗的蛻變

評價是指在判斷的過程中對某種事物下結(jié)論。對學(xué)生學(xué)習(xí)效果的評價講究客觀、科學(xué)，需要從評價維度、評價主體等多方面考慮，設(shè)計不同的評價表。

（一）“思”評價維度是否多元

學(xué)生在不同領(lǐng)域的表現(xiàn)、對不同技能的掌握程度存在差異。在課堂學(xué)習(xí)評價中，展開多維度的評價，能幫助學(xué)生找到學(xué)習(xí)的價值，能在不同維度的評價中看到自己的優(yōu)勢和不足。教師可從“知識與技能”“過程與方法”“情感態(tài)度與價值觀”三個評價維度設(shè)計評價表（見表2）。

（二）“思”評價主體是否多樣

評價的主體可以是學(xué)生自己，也可以是教師或家長。教師評價較為客觀公正，并且具備一定的權(quán)威性，可促進(jìn)學(xué)生提高學(xué)習(xí)能力；學(xué)生互評，可在比較中看到學(xué)生自己和他人的優(yōu)缺點，在評價中實現(xiàn)反思能力的增長。評價主體的多樣化能讓學(xué)生在活動中實現(xiàn)有效參與，主人翁的學(xué)習(xí)意識進(jìn)一步增強(qiáng)。教師可從多種評價主體設(shè)計評價表（見表3）。

在課堂學(xué)習(xí)中，多元的評價維度、評價主體，既能實現(xiàn)多樣性評價，全面掌握學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)情況，又能深入分析學(xué)生對于學(xué)習(xí)目標(biāo)的達(dá)成程度，使得教師可以在后續(xù)教學(xué)活動中進(jìn)行針對性的調(diào)整和優(yōu)化，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生在學(xué)習(xí)實踐中提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

綜上所述，基于教學(xué)重構(gòu)的實踐過程，學(xué)生將經(jīng)歷多層次的具身操作；通過認(rèn)知沖突與思考碰撞，經(jīng)歷“探”基礎(chǔ)圖形、“驗”幾何思維、“展”思維可視化、“思”評價方式四個過程，學(xué)生將積累豐富的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，從而發(fā)展自身的幾何推理能力。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1]" " 曹培英.跨越斷層，走出誤區(qū)：“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”核心詞的解讀與實踐研究[M].上海：上海教育出版社，2017.

[2]" " 羅永軍.長方形面積計算教學(xué)研究[M].上海：上海教育出版社，2013.

[3]" " 郜舒竹.“平行四邊形面積”之難[J].教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2020（Z1）：4-7.

[4]" " 宋煜陽.“面積公式推導(dǎo)”教學(xué)序列思考與實踐[J].教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2019（4）：8-11.

[5]" " 方巧娟.應(yīng)用推廣與關(guān)系梳理：平行四邊形面積公式探索[J].教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2019（4）：18-20.

（責(zé)編" " 黃" " 露）