直覺思維——開啟數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的金鑰匙

摘"要：學(xué)生的數(shù)學(xué)思維除了邏輯思維以外，直覺思維也是一種重要的思維方式，它在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有助于探索與發(fā)現(xiàn)，有助于概念的生成與知識(shí)的建構(gòu)，有助于對(duì)結(jié)論或解題方向做出預(yù)見，有助于提高學(xué)生創(chuàng)造性思維品質(zhì)等等.根據(jù)高中生數(shù)學(xué)直覺思維的現(xiàn)狀，在教育教學(xué)過程中可以通過夯實(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、設(shè)置合適的問題情境和動(dòng)機(jī)誘導(dǎo)、滲透數(shù)學(xué)的美學(xué)教育、在解題教學(xué)中通過學(xué)法指導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺思維.

關(guān)鍵詞：直覺思維；合情推理；邏輯演繹；數(shù)學(xué)解題

數(shù)學(xué)，作為自然科學(xué)之母，人類思維的體操，在培養(yǎng)人的聰明才智和發(fā)展思維能力方面具有其他學(xué)科不可替代的獨(dú)特作用.新的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)首次明確將學(xué)生數(shù)學(xué)合情推理能力的培養(yǎng)作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)之一，而合情推理離不開直覺思維.正是直覺思維賦予了合情推理想象的雙翼，引領(lǐng)人們不斷去探索、去發(fā)現(xiàn)、去創(chuàng)造.作為一名一線數(shù)學(xué)教師，本文根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺思維做了些研究.旨在通過本文能給一些人帶來對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)上的轉(zhuǎn)變，并通過對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)直覺思維能力的培養(yǎng)，不斷提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí)，充分享受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的成功喜悅.

1"數(shù)學(xué)直覺思維的概述

數(shù)學(xué)直覺思維是直接反映數(shù)學(xué)對(duì)象、結(jié)構(gòu)以及關(guān)系的思維活動(dòng)，是人腦對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象、關(guān)系以及結(jié)構(gòu)的一種迅速的識(shí)別、直接的理解、綜合的判斷，也可以說是數(shù)學(xué)的洞察力.這種思維對(duì)一個(gè)問題無需逐步分析，僅依據(jù)內(nèi)因的感知即可迅速地對(duì)問題答案做出判斷、猜想、設(shè)想，或者在對(duì)疑難問題百思不得其解時(shí)，突然對(duì)問題有“靈感”和“頓悟”，就如同古詩中講的“眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處”的感覺.從某種意義上說，數(shù)學(xué)直覺思維是合情推理的飛躍與突破，它使得合情推理更富建設(shè)性與創(chuàng)造性.

2"高中生數(shù)學(xué)直覺思維能力的現(xiàn)狀

中學(xué)數(shù)學(xué)在揭示客觀事物的形與數(shù)及其關(guān)系時(shí)，主要不是借助實(shí)驗(yàn)的方法，而是通過嚴(yán)格的邏輯推理來實(shí)現(xiàn)的.正是這種原因，導(dǎo)致在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們教師過分偏重?cái)?shù)學(xué)的邏輯演繹，過度強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的“嚴(yán)謹(jǐn)、準(zhǔn)確、邏輯性”等形式成分，忽略了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)直覺思維能力的培養(yǎng)，很少讓學(xué)生去觀察、去感悟、去猜想，使得原本生動(dòng)有趣的數(shù)學(xué)變得枯燥乏味、晦澀難學(xué)，從而制約了學(xué)生健全數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的形成.因此當(dāng)我們提到數(shù)學(xué)思維能力時(shí)，學(xué)生就把它等同于邏輯思維能力，以為只有邏輯思維才對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)有作用.筆者對(duì)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中對(duì)數(shù)學(xué)直覺思維的認(rèn)識(shí)、問題解決過程中直覺思維的應(yīng)用傾向、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力高低對(duì)直覺思維在數(shù)學(xué)問題解決過程中運(yùn)用的影響等方面做了份問卷調(diào)查.調(diào)查結(jié)果顯示，近30%的學(xué)生完全不清楚什么是數(shù)學(xué)的直覺思維；在問題解決過程中，近46%的學(xué)生靠以前的解題經(jīng)驗(yàn)、直覺判斷問題的類型和選擇解題策略；近54%的學(xué)生在探尋解題思路時(shí)更多的是從一個(gè)或其中幾個(gè)已知條件進(jìn)行分析，邏輯思維運(yùn)用多；33%的學(xué)生偶爾會(huì)出現(xiàn)一個(gè)問題思考很久卻不得其解，突然在某一時(shí)刻產(chǎn)生靈感，茅塞頓開的情況；75%的優(yōu)秀學(xué)生在數(shù)學(xué)解題過程中主要還是通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砗驼撟C，即邏輯思維要多于直覺思維，而中等生更多運(yùn)用的是形象思維和直覺思維——利用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，直接對(duì)問題進(jìn)行猜想判斷，然后才是邏輯思維.

3"如何在教學(xué)中培養(yǎng)高中生的數(shù)學(xué)直覺思維能力

高中生一方面喜歡“異想天開”，有強(qiáng)烈好奇心.另一方面受知識(shí)和思維能力的限制，對(duì)某個(gè)數(shù)學(xué)問題往往會(huì)有種“說不清，道不明”的感覺，所以高中階段是對(duì)他們進(jìn)行直覺思維能力培養(yǎng)的最佳時(shí)期.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何培養(yǎng)與激發(fā)學(xué)生的直覺思維呢？筆者認(rèn)為創(chuàng)設(shè)良好的學(xué)習(xí)氛圍，在學(xué)習(xí)中注重學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比的能力的培養(yǎng)，重視美學(xué)教育，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的滲透和學(xué)法的指導(dǎo)是行之有效的方法.

3.1"扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是產(chǎn)生數(shù)學(xué)直覺的源泉

直覺的獲得雖然具有偶然性，但絕不是完全靠憑空想象，靠“機(jī)遇”的，而要以堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)為基礎(chǔ).若學(xué)生沒有深厚的功底，是不會(huì)迸發(fā)出思維的火花的.學(xué)生常常驚訝教師解題思路的“快、簡、妙”，殊不知，教師一題在手，何嘗不是“十月懷胎”方可“一朝分娩”，所以學(xué)生數(shù)學(xué)直覺思維的培養(yǎng)首先要重視“三基”的夯實(shí).

例1nbsp;已知圓C：（x-1）2+（y-2）2=25及直線l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4（m∈R）.

求證：不論m為何值，直線l與圓C恒相交.

分析：這是一個(gè)判斷直線與圓的位置關(guān)系問題，表面上是代數(shù)問題，但直覺告訴我們用代數(shù)方法來證明這個(gè)問題是很困難的.若能聯(lián)想到“直線過圓內(nèi)一定點(diǎn)，則直線必與圓相交”這一結(jié)論，則會(huì)從求直線恒過定點(diǎn)入手去證題.此題若沒有堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)，學(xué)生就很難聯(lián)想到通過求直線恒過圓內(nèi)定點(diǎn)來證題，或者即使想到了，不會(huì)求定點(diǎn)也不行，可見堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)對(duì)產(chǎn)生數(shù)學(xué)直覺的重要.

3.2"合適的問題情境和動(dòng)機(jī)誘導(dǎo)是形成數(shù)學(xué)直覺的關(guān)鍵

興趣是最好的老師.教師在教學(xué)中創(chuàng)設(shè)合適的問題情境可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和求知欲.問題情境的設(shè)置要符合學(xué)生已有的認(rèn)知水平，并與學(xué)生的現(xiàn)有認(rèn)知水平之間存在著一定的認(rèn)識(shí)沖突.這種沖突能誘發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的積極性.當(dāng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題給出自己大膽的見解和設(shè)想時(shí)，教師要給予充分的肯定和鼓勵(lì)，以此保護(hù)和激勵(lì)學(xué)生的自發(fā)性直覺思維.

例如，在推導(dǎo)球的體積公式時(shí)教師不是把公式作為結(jié)果直接拋給學(xué)生，而可以通過實(shí)物展示，在底半徑和高均為R的圓柱和圓錐中間放置一個(gè)半徑也為R的半球，學(xué)生由直覺目測(cè)就能得到V圓柱gt;V半球gt;V圓錐，圓柱和圓錐的體積學(xué)生已能求出來，即33πR3gt;V半球gt;13πR3，這時(shí)可以鼓勵(lì)學(xué)生大膽預(yù)測(cè)半球的體積，膽大的學(xué)生會(huì)猜測(cè)V半球=23πR3，這時(shí)對(duì)猜測(cè)出結(jié)果的同學(xué)既要鼓勵(lì)又要提出更高的要求，如何驗(yàn)證？然后教師通過裝填細(xì)沙的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證半球體積即圓柱與圓錐體積之差與猜想吻合，最后通過尋找等積體的方法用數(shù)學(xué)工具去證明實(shí)驗(yàn)結(jié)果.整個(gè)過程從猜想到最后的證明，既能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維能力非常有利.

3.3"數(shù)學(xué)審美觀的滲透是培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺的動(dòng)力

新課程對(duì)學(xué)生的評(píng)價(jià)是多元的.除了關(guān)注學(xué)生的知識(shí)和技能的獲得情況，更關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的過程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀、審美藝術(shù)素養(yǎng)等方面的發(fā)展.數(shù)學(xué)直覺的產(chǎn)生是基于對(duì)研究對(duì)象整體的把握，提高審美能力有利于感知研究對(duì)象的和諧與整體性.審美能力越強(qiáng)，則數(shù)學(xué)直覺能力也越強(qiáng).數(shù)學(xué)的美推動(dòng)了學(xué)生積極展開直覺思維——提出假設(shè)和猜想.數(shù)學(xué)的審美觀對(duì)學(xué)生思維活動(dòng)的影響是潛在的、不易被覺察的，但這種審美情感卻是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)直覺的動(dòng)力.

3.4"解題教學(xué)中的學(xué)法指導(dǎo)是開啟數(shù)學(xué)直覺的鑰匙

波利亞的名言：“掌握數(shù)學(xué)就是意味著善于解題”，可見數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)離不開數(shù)學(xué)解題.那么如何在解題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺思維，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力呢？筆者認(rèn)為在解決問題的過程中，可以引導(dǎo)學(xué)生先對(duì)問題做整體分析，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，再由表及里，揭示問題的實(shí)質(zhì).根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，教師在解題教學(xué)中要有意識(shí)地訓(xùn)練學(xué)生動(dòng)腦思考、動(dòng)手操作、動(dòng)口表達(dá)相結(jié)合的能力.

3.4.1"解題注重整體性原則

直覺往往是面對(duì)問題的第一反應(yīng)，直接由條件信息轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的簡單命題，對(duì)問題從總體上加以把握.運(yùn)用直覺思維的整體性原則，可以使復(fù)雜問題簡單化.

例2"已知1+sinxcosx=-12，那么cosxsinx-1的值為"""".

分析：若該題利用二倍角公式將條件轉(zhuǎn)化為sinx2+cosx22cos2x2-sin2x2=sinx2+cosx2cosx2-sinx2=tanx2+11-tanx2=-12，通過求出tanx2的值，再利用同樣的方法轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)，最后由tanx2的值算出結(jié)果，此法顯然比較麻煩.但是直覺上告訴我們，1+sinxcosx與cosxsinx-1有關(guān)系.如果從整體上加以觀察和分析會(huì)發(fā)現(xiàn)，1+sinxcosx·sinx-1cosx=-1，于是迅速得出cosxsinx-1=12.

3.4.2"一般問題特殊化原則

在具體教學(xué)過程中教師還可以設(shè)置一些填空題，由于只要填寫正確運(yùn)算結(jié)果，省略詳細(xì)解題過程，容許合理的猜想，有利于數(shù)學(xué)直覺思維的發(fā)展.

例3"過拋物線y=ax2（agt;0）的焦點(diǎn)F作一條直線交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，若線段PF，F(xiàn)Q的長度分別為p，q，則1p+1q="""".

分析：本題如果采用一般方法來處理，有一定的運(yùn)算量.考慮到題目是個(gè)填空題，從形式上看答案應(yīng)該是一個(gè)定值，所以在解題過程中，我們不妨采用取特殊位置的方法，既可以減少運(yùn)算量，又能迅速得到正確的答案.

當(dāng)然并不是所有的填空題都能用特殊化的方法來處理.所以，在教學(xué)過程中教師需要培養(yǎng)學(xué)生這方面的直覺，到底怎樣的問題可以特殊化處理.在處理問題的過程中能產(chǎn)生這樣的直覺，筆者認(rèn)為也是一種思維的飛躍.

3.4.3"選擇開放性問題教學(xué)

選擇開放性問題教學(xué)也是促進(jìn)直覺思維形成的有效途徑.開放性問題的特點(diǎn)通常表現(xiàn)為條件或結(jié)論不夠明確，可以從多個(gè)角度尋找解題方法，猜想問題答案，并且因?yàn)榇鸢傅陌l(fā)散性，導(dǎo)致答案的不唯一性.通過這類問題的訓(xùn)練有利于直覺思維能力的培養(yǎng).

例4"已知a，b，m都是正數(shù)，并且alt;b，求證：ablt;a+mb+m.

這個(gè)例題不少數(shù)學(xué)教師都講過.假設(shè)有b克糖水，其中溶解了a克糖，那么ab就表示糖水的濃度，現(xiàn)在往糖水中再加入m克糖，糖水變甜，這就是原不等式的現(xiàn)實(shí)意義.但如果就到此為止，一個(gè)鍛煉直覺思維能力的機(jī)會(huì)就錯(cuò)過了.筆者在教學(xué)中將這個(gè)例題嘗試改成了一個(gè)開放性問題——除了上述不等式，還可以得到哪些結(jié)論？以下是課堂上部分學(xué)生思考的結(jié)果.

（1）若a，b，m都是正數(shù)，并且alt;b，則a-mb-mlt;ab.

（2）若a，b，m，n都是正數(shù)，并且alt;b，nlt;m，則a+nb+nlt;a+mb+m.

（3）將兩杯濃度不一樣ablt;cd的糖水混合，得到糖水的濃度介于兩種濃度之間，即ablt;a+cb+dlt;cd.

可見，一個(gè)常見的例題，只要我們把它用好，同樣可以起到培養(yǎng)學(xué)生直覺思維能力的作用.近年來，各地模擬題和高考題中這樣的開放題層出不窮，在教學(xué)中適當(dāng)把這些問題歸類講評(píng)，對(duì)于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺思維大有裨益.

反思我們的教育理念和目的、教學(xué)模式和方法，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)以直覺與邏輯并重，將直覺與猜想引入課堂，通過創(chuàng)設(shè)問題情境，營造平等、開放、融洽的學(xué)習(xí)氛圍，激發(fā)學(xué)生的直覺思維和學(xué)習(xí)興趣，讓數(shù)學(xué)教學(xué)真正成為數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)，開闊視野，活躍思維，不斷培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和能力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，才能更好地推進(jìn)素質(zhì)教育，實(shí)現(xiàn)新的課程改革的目的.

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