基于問題解決的“阿波羅尼斯圓”幾何背景探究

摘"要：新課程改革倡導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，那么如何利用教材中的典型問題激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、引導(dǎo)學(xué)生深度探索問題的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力呢？本文由一個“阿波羅尼斯圓”問題從幾何角度展開了對“阿氏圓”性質(zhì)的探究，在深刻理解了“阿氏圓”的成因與性質(zhì)基礎(chǔ)上成功地解決了上述問題.

關(guān)鍵詞：問題解決；幾何；阿波羅尼斯圓

在高三的復(fù)習(xí)課階段，教師不可避免地會讓學(xué)生多做一些題目，以此夯實數(shù)學(xué)基本概念，提高基本運(yùn)算能力.對于一些數(shù)學(xué)功底好的同學(xué)，更是要開拓他們的眼界，讓他們多接觸不同類型的問題，提高解決問題的能力.在練習(xí)階段，有一類問題是課本知識的拓展內(nèi)容，教師在教授新課的時候未必會講到，但是在習(xí)題中會常常涉及，對于這類延伸型知識點(diǎn)是不是有必要給學(xué)生講明白、講透徹？那當(dāng)然是必要的.教師不但要將重要的延伸型知識點(diǎn)教授給學(xué)生，更要利用這一內(nèi)容，與學(xué)生一起探索、尋根溯源，挖掘問題的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生探索精神和數(shù)學(xué)研究的精神，讓學(xué)生在解題中找到探尋數(shù)學(xué)的樂趣，這樣刷題也就有了新的意義.

有一個延伸型知識點(diǎn)——“阿波羅尼斯圓”：在平面上給定兩點(diǎn)A，B，設(shè)點(diǎn)P在同一平面上，且滿足PAPB=λ，當(dāng)λgt;0且λ≠1時，點(diǎn)P的軌跡是個圓，稱之為阿波羅尼斯圓，簡稱“阿氏圓”.我們遇到的題目一般是“阿氏圓”的逆用，這個難度就更大了，既要對“阿氏圓”的定義有所了解，還要理解它的性質(zhì)、幾何意義、運(yùn)用規(guī)則等相關(guān)內(nèi)容.這類問題對學(xué)生在“阿氏圓”的知識儲備方面是個很大的挑戰(zhàn).

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中指出，要整體把握教學(xué)內(nèi)容，促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的連續(xù)性和階段性發(fā)展.［1］這就要求教師要以學(xué)科素養(yǎng)為導(dǎo)向進(jìn)行教學(xué)，那么在這節(jié)課中就要求我們抓住幾何與代數(shù)之間的關(guān)系，深入探究問題的本質(zhì).為了把這個問題的本質(zhì)揭示清楚，本文設(shè)計了一個多選題，從幾何角度重新認(rèn)識“阿氏圓”.

1"遇到問題

2020年11月，我國用長征五號遙五運(yùn)載火箭成功發(fā)射探月工程嫦娥五號探測器，探測器在進(jìn)入近圓形的環(huán)月軌道后，將實施著陸器和上升器組合體與軌道器和返回器組合體分離.我們模擬以下情境：如圖1，假設(shè)月心位于坐標(biāo)原點(diǎn)O，探測器在A（4 0007，0）處以12 km/s的速度勻速直線飛向距月心2 000 km的圓形軌道上的某一點(diǎn)P，在點(diǎn)P處分離出著陸器和上升器組合體后，軌道器和返回器組合體立即以18km/s的速度勻速直線飛至B（0，3 000），這一過程最少用時""""s.

對于這個問題，首先能夠知道飛行過程所用時間t=PA12+PB18=112PA+23PB，同時大多數(shù)學(xué)生會熟練求解這樣的問題：“在曲線上找一點(diǎn)P，使得P到曲線兩側(cè)的兩個定點(diǎn)M，N的距離之和最小，即（PM+PN）min”，于是我們可以意識到需要在平面內(nèi)找一點(diǎn)C，使得PC=23PB，那么只要求（PA+PC）min即可.而由“PC=23PB，即PCPB=23”就能聯(lián)想到這是一個“阿氏圓”逆用的問題，即現(xiàn)在有了“阿氏圓”定義中的一個定點(diǎn)B，相關(guān)定值23，還有點(diǎn)P的軌跡（圓），需要去尋找另外一個定點(diǎn)C.如果我們沒有真正理解“阿氏圓”的生成和性質(zhì)，就很難快速地找出滿足條件的點(diǎn)，所以在解決這個問題之前，我們一定要回到“阿氏圓”的定義，觀察滿足“阿氏圓”定義的點(diǎn)有哪些重要的特征與性質(zhì).

2"問題回溯

（多選）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)，平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)A，B的距離之比為定值λ（λ≠1）的點(diǎn)所形成的圖形是圓.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（－2，0），B（4，0），點(diǎn)P滿足PAPB＝12，設(shè)點(diǎn)P所構(gòu)成的曲線為C，下列結(jié)論正確的是（""）.

A. C的方程為（x＋4）2＋y2＝16

B. 當(dāng)A，B，P三點(diǎn)不共線時，射線PO是∠APB的平分線

C. 在x軸上存在異于A，B的兩個定點(diǎn)D，E，使得PEPD=12

D. 在C上存在點(diǎn)S，使得SO=2SA

在很多“阿氏圓”的問題中，“阿氏圓”的定義都是以材料的形式給出的，畢竟這個概念不是課本知識，而是拓展延伸內(nèi)容，它更接近于橢圓與雙曲線的定義，由平面上一個動點(diǎn)到兩個定點(diǎn)的距離的代數(shù)關(guān)系確定動點(diǎn)的軌跡.基于對橢圓、雙曲線的認(rèn)識，以及推導(dǎo)橢圓、雙曲線的方程的方法，同學(xué)們都會利用題目中給出的點(diǎn)A，B的坐標(biāo)與PAPB＝12這兩個條件，通過解析法求出曲線C的方程，從而發(fā)現(xiàn)選項A是正確的.但是我們?nèi)匀挥媒馕鰩缀蔚姆椒ㄅ袛嗪竺娴倪x項嗎？解析幾何是利用代數(shù)的方法解決幾何的問題，“阿氏圓”的本質(zhì)仍舊是一個幾何問題，那么我們是不是應(yīng)該關(guān)注一下這個圓的幾何特征呢？是不是可以從幾何的角度去尋找一下滿足條件的動點(diǎn)P呢？

我們將代數(shù)關(guān)系PAPB＝12轉(zhuǎn)化為幾何特征.由等式PAPB＝12，即PB=2PA知，當(dāng)A，B，P三點(diǎn)共線時：①若點(diǎn)P在A，B之間，則2AP=PB，可知M（0，0）是滿足條件的點(diǎn)；②若點(diǎn)P在A，B之外，則2PA=PB，可知N（-8，0）是滿足條件的點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P不在直線AB上時，有等式PAPB=MAMB=NANB，如圖2所示，由角平分線的知識可以知道，PM是∠APB的平分線，PN是∠APB的外角平分線，故∠MPN=90°，即P在以MN為直徑的圓上.由以上作圖分析，我們知道了只要確定好兩定點(diǎn)A，B所在直線上滿足比值條件的兩個點(diǎn)（一個為AB的內(nèi)分點(diǎn)M，另一個為外分點(diǎn)N），那么點(diǎn)P的軌跡就是以MN為直徑的圓.同時可以判斷出選項B是正確的.

利用圓的對稱性，從圖象上可以看出，對于圓C：（x＋4）2＋y2＝16上任意一點(diǎn)P，平面內(nèi)滿足PAPB＝12的點(diǎn)A，B有無數(shù)多對，它們必定是以C為頂點(diǎn)的射線與以C為圓心，CA長為半徑的圓和以C為圓心，CB長為半徑的圓的兩個交點(diǎn)，如圖2所示，因此C選項也是正確的.

對于D選項，由等式SO=2SA，即SASO=12可知，S的軌跡是以A，O為定點(diǎn)，比值為定值12的另一個“阿氏圓”.類比圓C，作出動點(diǎn)S的軌跡加以判斷，可知D選項是錯誤的，此過程不再累述.但是對于這個選項，我們可以進(jìn)一步觀察出它與題設(shè)條件的差別，僅僅是改變了一個定點(diǎn)，即將定點(diǎn)B換作了定點(diǎn)O，這時動點(diǎn)的軌跡自然產(chǎn)生了變化.若是圓的軌跡不變，仍舊是曲線C，根據(jù)上述表述，題干可變成改變一個定點(diǎn)，那么會發(fā)生什么變化呢？根據(jù)上述表述，題干可變成：對于圓C：（x＋4）2＋y2＝16及點(diǎn)A′（-1，0），求出滿足條件PA′PB′=λ的B′與λ.由之前的分析，我們知道了只要定點(diǎn)A′與B′所在直線上的點(diǎn)，即直徑端點(diǎn)滿足比值條件，圓上其他點(diǎn)也自然滿足比值條件.因此只要設(shè)B′（m，0），由MA′MB′=NA′NB′，可得0-（-1）m-0=（-1）-（-8）m-（-8）=λ，可得m=43，此時λ=34.通過以上求解可以發(fā)現(xiàn)，定圓對應(yīng)的“阿氏參數(shù)”A，B，λ不唯一，并且這三個量是“知一求二”的關(guān)系.

通過解答這個問題，學(xué)生可以更清楚地理解“阿氏圓”的產(chǎn)生機(jī)制，以及兩個定點(diǎn)、定值、圓這四者之間的牽制關(guān)系.在解題中合理利用幾何問題的幾何特征，可以將問題分析得更加透徹.解析法固然有它的便捷之處，但是在代數(shù)的求解過程中往往失掉了“幾何味道”，反而是用幾何性質(zhì)解決幾何問題的時候，可以很好地培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維中的直觀想象與數(shù)形結(jié)合的能力，而這也需要教師在平時的教學(xué)中有意識地對學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)，不能總是利用解析的方法、向量的方法，讓幾何題目失去了幾何的味道.同時，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的能力，教師要認(rèn)真研究教材、研究學(xué)生、研究技術(shù)、研究教學(xué)，合理設(shè)計教學(xué)過程，引導(dǎo)學(xué)生積極參與到教學(xué)活動中去，讓學(xué)生在收獲知識的同時，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).［2］

3"概念鞏固

在透徹地理解了“阿氏圓”的成因之后，再次強(qiáng)調(diào)一下“阿氏圓”的概念和性質(zhì)，可以總結(jié)如下.

（1）阿波羅尼斯圓的定義：如圖3所示，在平面上給定兩點(diǎn)A，B，設(shè)點(diǎn)P在同一平面上且滿足PAPB=λ，當(dāng)λgt;0且λ≠1時，點(diǎn)P的軌跡是個圓，稱為阿波羅尼斯圓（當(dāng)λ=1時，點(diǎn)P的軌跡是線段AB的中垂線），即若A，B為兩個已知點(diǎn)，M，N分別為線段AB的定比為λ（λ≠1）的內(nèi)、外分點(diǎn)，則以MN為直徑的圓C上任意點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)的距離之比為λ.

（2）阿波羅尼斯圓的性質(zhì)：

①圓心與A，B兩點(diǎn)共線，當(dāng)0lt;λlt;1時，點(diǎn)A在圓C內(nèi)，點(diǎn)B在圓C外；當(dāng)λgt;1時，點(diǎn)B在圓C內(nèi)，點(diǎn)A在圓C外;

②阿波羅尼斯圓的直徑兩端是按比例內(nèi)分AB和外分AB所得的兩個分點(diǎn)，如圖3所示，M是AB的內(nèi)分點(diǎn)，N是AB的外分點(diǎn)，此時必有PM平分∠APB，PN平分∠APB的外角;

③若已知圓C及圓C內(nèi)一點(diǎn)A，可以作出與之對應(yīng)的點(diǎn)B，反之亦然.

在教學(xué)中，我們經(jīng)常會做到一些帶有結(jié)論性的題目，我也常常喜歡帶著學(xué)生做些總結(jié)，或者對題目進(jìn)行延伸，有的教師喜歡把這些結(jié)論稱為“二級結(jié)論”.確實這些結(jié)論在應(yīng)付相似的題目，特別是多選題的時候可以大大提高解題速度與正確率，不過這些結(jié)論不能以死記硬背的形式壓給學(xué)生，而是讓學(xué)生進(jìn)行探索或者帶著學(xué)生進(jìn)行探索，一方面可以幫助學(xué)生更好地掌握一個新的概念，做到真的理解而不是膚淺的記憶，那么在再次遇到相似問題時，學(xué)生就會主動地進(jìn)行知識遷移.在教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)對知識、概念本質(zhì)的深入理解，夯實學(xué)生的知識基礎(chǔ)，使學(xué)生能夠做到真懂、會用，這樣掌握的不是一個概念而是一項進(jìn)一步學(xué)習(xí)的工具.另一方面，在探索的過程中可以幫助學(xué)生建立思考型數(shù)學(xué)思維，在解題的過程中讓學(xué)生既能收獲成功的喜悅，又能感受到數(shù)學(xué)的魅力.

4"問題解決

在明確了“阿氏圓”的定義與幾何性質(zhì)之后，我們一開始的問題就可以得到快速解決了.如圖4所示，之前我們分析到要在平面內(nèi)找到定點(diǎn)C，使得PCPB=23，現(xiàn)在我們知道點(diǎn)C一定在OB連線上，因為點(diǎn)B在圓外，所以點(diǎn)C必定在圓內(nèi).設(shè)點(diǎn)C（0，m）在圓形軌道內(nèi)，取點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2 000），而B（0，3 000），由PC=23PB，得2 000-m=23（3 000-2 000），解得m=4 0003，即C0，4 0003，于是有PA+PC≥AC=（4 0007）2+4 00032=32 0003，當(dāng)且僅當(dāng)P為線段AC與圓形軌道的交點(diǎn)時，等號成立，即有t=PA12+PB18=112（PA+PC）≥112·AC=112·32 0003=8 0009，所以這一過程最少用時8 0009 s.

對于上述解法有的同學(xué)會有疑問，用已知圓的一個直徑端點(diǎn)P（0，2 000）就可以確定點(diǎn)C是否有些草率，此時我們可以取圓在y軸上的另一個直徑端點(diǎn)（0，-2 000）進(jìn)行驗證，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C的坐標(biāo)滿足題意.由之前例題中對B選項分析時的方法可知，當(dāng)直線BC上兩個直徑端點(diǎn)都滿足比值條件時，圓上的任意一點(diǎn)必定滿足比值條件，點(diǎn)C是我們需要找的唯一滿足條件的定點(diǎn).要知道，我們能解決的問題必定都是設(shè)計好的，在這個問題中，已知圓、定點(diǎn)B和比值23的條件下，另一個定點(diǎn)C是存在且被唯一確定的.我們在解決問題時必須要有大局觀，同時也要抓住問題的本質(zhì)，能夠利用一個問題本身存在的特殊性來解決問題便可以做到事半功倍.

5"問題探討

“阿氏圓”的概念不是書本上的定義，也不是必要的考查項目，在平時的教學(xué)上我們確實沒有必要花大力氣研究它，但是在一些選拔性考試中，卻會有“阿氏圓”相關(guān)內(nèi)容及其逆用的考查，例如在2022年9月的THUSSAT（即中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力）診斷性測試中第11題.

已知平面向量a，b，c滿足a⊥b，且|a|=|b|=2，|c+a+b|=1，則|c+b|+2|c+a|的最小值為（""）.

A. 152B. 15C. 172D. 17

可以發(fā)現(xiàn)，在撥開向量的偽裝之后其實就是一個“阿氏圓”逆用的問題.

鑒于此，在平時的教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生的能力和實際情況設(shè)計教案，對于學(xué)習(xí)能力比較強(qiáng)的班級，就應(yīng)該落實每一個知識點(diǎn)，拓寬學(xué)生的眼界、訓(xùn)練學(xué)生的思維、提高學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的探索能力；若是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力相對弱一點(diǎn)的班級，可以帶領(lǐng)學(xué)生適當(dāng)淺顯地作一下研究，增強(qiáng)一下學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.特別是在解決幾何問題的時候，將解析法適當(dāng)?shù)胤乓环牛貧w本源，利用問題的幾何特征可以更加深刻和透徹探索它的幾何性質(zhì)，在探索的過程中，學(xué)生能夠真正做到理解記憶.在課堂上，教師是教會學(xué)生學(xué)習(xí)的人，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生逐漸掌握分析問題的能力，提升探究問題的興趣，學(xué)會數(shù)學(xué)思考，最終成為主動學(xué)習(xí)的人.林崇德先生提到的學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)中的一個領(lǐng)域即為自主發(fā)展，只有增強(qiáng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，才能應(yīng)對復(fù)雜多變的環(huán)境，成就出彩的人生.［3］

參考文獻(xiàn)

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］安振亞.基于發(fā)展學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的教學(xué)實踐與反思——以“直線與直線平行”的教學(xué)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教育（高中版）.2022（20）：44-46+64.

［3］林崇德.中國學(xué)生核心素養(yǎng)研究［J］.心理與行為研究，2017，15（2）：145-154.