彰顯函數特性，滲透數學思想

摘"要：數列是歷年高考數學試卷中主干知識點之一，隨著新課程的推進與新高考的落實，考查側重點、思想方法要求等方面有了一定的創(chuàng)新與變化.本文結合2022年高考真題，就高考中數列的考查特征加以實例剖析，回歸函數性，參透思想性，有效落實數學核心素養(yǎng).

關鍵詞：數列；函數；本質；方法；思維

數列是蘇教版《普通高中教科書數學選擇性必修第一冊》的內容之一，共計14課時，主要內容為等差數列和等比數列，數列與函數的共性與差異，以及數列與函數或方程、不等式等其他相關知識之間的聯系性等.在實際的高考數列的教學與復習過程中，要根據數列的函數性，結合數列的基本知識，合理滲透數學思想，掌握數列基本方法，系統地、細致地復習備考.

1"淡化技巧策略，回歸數列本質

“把握數學本質，啟發(fā)思考，改進教學”是《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》的基本理念之一［1］，從近年高考數列方面的考查形式與趨勢來看，以數列的基本概念、基本性質、基本公式等為重點考查形式，合理融入其他相關知識，把握基本解題技巧方法，淡化巧技妙解，回歸數列的本質屬性.

例1"（2022年上海卷·10）已知等差數列{an}的公差不為零，Sn為其前n項和，若S5=0，則Si（i=1，2，3，…，100）中不同的數值有""""個.

分析：根據等差數列的問題背景，利用求和公式以及對應的S5=0構建等差數列中的首項與公差的關系，合理消參并構建涉及項數的表達式，進而利用二次函數的圖象與性質進行合理的分析與判斷.

解析：由于等差數列{an}的公差不為零，Sn為其前n項和，S5=0，

可得S5=5a1+5×42d=0，解得a1=-2d.

所以Sn=na1+n（n-1）2d=-2nd+n（n-1）2d=d2（n2-5n）.

由于d≠0，利用二次函數的圖象與性質

可知，Si（i=1，2，3，…，100）中S5=0，S2=S3=-3d，S1=S4=-2d，S6=3d，S7=7d，…，其余各項均不相等.

所以Si（i=1，2，3，…，100）中不同的數值有100-2=98（個）.

點評：回歸數列本質，利用等差數列的定義、通項公式、求和公式等來分析與解決問題，在此基礎上回歸數列的函數性，淡化特殊技巧與策略，借助二次函數的圖象與性質來分析與處理問題，是解決數列問題中最基本的技巧與方法.

2"掌握通技通法，養(yǎng)成思維習慣

從近年高考數列方面的考查來看，關鍵在于掌握解決數列問題的通技通法，如數列的概念判斷、數列的基本性質、數列的通項公式、數列的求和及其應用等，關注基本類型與基本技巧，從而養(yǎng)成良好的思維習慣與解題習慣，克服粗心與盲目思維.［2］

例2"（2022年全國乙卷文科·10）已知等比數列{an}的前3項和為168，a2-a5=42，則a6=（""）.

A. 14

B. 12

C. 6

D. 3

分析：根據題意，利用等比數列的定義與基本性質，結合條件確定公比的取值情況，借助等比數列的求和公式和通項公式構建對應的方程，進而確定對應的參數值，從而得以求解a6的值.

解析：設等比數列{an}的公比為q，q≠0，由題意，得q≠1.

由于前3項和為a1+a2+a3=a1（1-q3）1-q=168，而a2-a5=a1·q-a1·q4=a1·q（1-q3）=42.

解得q=12，a1=96，可得a6=a1·q5=96×132=3，故選D.

點評：正確掌握解決數列的基本技巧與方法，通過等比數列的定義、基本性質、通項公式以及求和公式等，合理應用，從而形成良好的解題習慣，培養(yǎng)數列問題中注重細節(jié)、嚴謹認真等思維習慣.

3"重視函數內容，強化創(chuàng)新應用

數列是基于函數背景下的特殊應用，要充分感受數列的函數性以及數列的創(chuàng)新、綜合應用等.在實際數列教學與復習過程中，要基于函數內容加以復習，重視函數與數列之間的融合與應用，以及數列模型應用中的函數性、數列中的創(chuàng)新應用等.

例3"（2022年全國甲卷理科·17）記Sn為數列{an}的前n項和.已知2Snn+n=2an+1.

（1）證明：{an}是等差數列.

（2）若a4，a7，a9成等比數列，求Sn的最小值.

分析：（1）根據題設條件，由已知把數列遞推關系式中的n換為n+1，進而利用關系式作差可得遞推關系，從而得以證明；（2）由a4，a7，a9成等比數列，求出首項，利用等差數列通項公式找出an正負分界點計算即可.

解析：（1）由已知，有2Sn+n2=2nan+n.①

把n換成n+1，可得2Sn+1+（n+1）2=2（n+1）an+1+n+1.②

由②-①，可得2an+1=2（n+1）an+1-2nan-2n，整理可得an+1=an+1.

由等差數列的定義，可得{an}為等差數列.

（2）由已知，有a27=a4a9，設等差數列an的首項為x，由（1）知，其公差為1.

故（x+6）2=（x+3）（x+8），解得x=-12，故a1=-12.

所以an=-12+（n-1）×1=n-13.

故可得a1＜a2＜a3＜…＜a12＜0，a13=0，a14＞0.

故Sn在n=12或n=13時取最小值，S12=S13=13×（-12+0）2=-78.

故Sn的最小值為-78.

點評：注重數列的函數性質，結合數列的遞推關系式構建對應的函數關系，利用函數與方程、函數的圖象與性質等，合理借助對應的數列問題加以創(chuàng)新設置，利用數列的函數性來分析與解決問題，并強化數列、數列與函數等的綜合應用.

4"克服思維定式，引領解題思維

新高考數列命題也遵循高考從“知識立意”“能力立意”轉向“價值引領，素養(yǎng)導向，能力為重，知識為基”的綜合評價體系，對于數列的考查與應用，高考數學試卷在凸顯了刷題教學與素養(yǎng)導向命題的沖突與差距上也作了一些改革與命題指導，注重數學思維的應用，引導學生創(chuàng)新利用數學思想方法來調整解題方向和解題策略，從數學思維層面引導尋找解題的路徑，提升數學理性思維能力等.

例4"（2022年浙江卷·10）已知數列{an}滿足a1=1，an+1=an-13a2n（n∈N*），則（""）.

A. 2lt;100a100lt;52

B. 52lt;100a100lt;3

C. 3lt;100a100lt;72

D. 72lt;100a100lt;4

分析：根據題設條件，利用關系式的性質來判斷數列{an}為遞減數列，結合關系式的特征與符號關系得以確定0lt;an≤1，在此基礎上，利用關系式的變形以及裂項處理，結合累加法以及不等式的放縮法來確定對應的不等式，進而得以分析與判斷.

解析：由an+1=an-13a2n（n∈N*），可得an+1-an=-13a2n≤0，則數列{an}為遞減數列.

而a1=1，則an≤1.

又an+1an=1-13an≥1-13=23gt;0，即an+1與an同號，故0lt;an≤1.

由an+1=an-13a2n（n∈N*），可得3an+1=3an-a2n=an（3-an）.

取倒數、裂項并整理，得1an+1 -1an =13-an.

通過累加可得1an+1gt;13n+1.

所以1an gt;n-13+1，即anlt;3n+2，所以nanlt;3nn+2=3-6n+2lt;3，即100a100lt;3.

而1an+1 -1an =13-anlt;13-3n+2=n+23n+3=131+1n+1.

通過累加可得1an+1≤13n+1312+13+…+1n+1+1.

所以1a100lt;34+1312+13+14+…+1100lt;34+1312×6+18×93lt;39lt;40，即100a100gt;100×140=52.

綜上分析，可得52lt;100a100lt;3，故選B.

點評：借助數列的創(chuàng)新情境，結合數列的基本性質，綜合函數與方程、不等式等相關知識，合理克服思維定式，對數列的關系式進行化簡、變形等處理，結合相關的其他知識進行綜合應用，從而引領解題方向，為問題的破解提供條件.

通過對近年全國高考卷和地方卷中數列試題的特點分析和解題分析，特別是對新舊高考的對比分析，強調數列作為函數主線內容的體現，淡化解題技巧、加強概念理解、重視函數與數列的綜合、學會數學思想引領解題方向的復習備考建議與策略.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］韓文美，張嫻.巧求等差數列的通項［J］.中學生數理化（高二數學），2020（9）：10-11.