探本求源，返璞歸真

摘"要：新高考數(shù)學(xué)試卷穩(wěn)定中求創(chuàng)新，強化對學(xué)生基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)、思想方法和能力的考查，試題秉承出活題、考基礎(chǔ)、重能力、考素養(yǎng)、貼近中學(xué)教學(xué)實際的風(fēng)格，體現(xiàn)了“源于教材而又高于教材”的特點，教材是課程標(biāo)準(zhǔn)和大綱的載體，蘊藏著豐富的數(shù)學(xué)背景和教學(xué)功能，高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中應(yīng)“依綱靠本”讓教材更好地發(fā)揮其教學(xué)作用.

關(guān)鍵詞：探本求源；回顧教材；素養(yǎng)導(dǎo)向；能力為重

2023年教育部考試中心命制的數(shù)學(xué)試卷在穩(wěn)定中求創(chuàng)新，強化對學(xué)生基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)、思想方法和能力的考查.試題突出強調(diào)對基礎(chǔ)知識和基本概念的深入理解和靈活掌握，落實了“價值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、科學(xué)選才”的命題原則.

下面以2023年新課標(biāo)Ⅰ卷第21題為例，分析該試題的命制特點、解題思路和解法探究.結(jié)合課本原題，高考真題，探本求源，結(jié)合高三復(fù)習(xí)探討回歸教材的重要性，以期對大家高考復(fù)習(xí)有所啟示.

1"試題呈現(xiàn)

甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

（1）求第2次投籃的人是乙的概率.

（2）求第i次投籃的人是甲的概率.

（3）已知：若隨機變量Xi服從兩點分布，且P（Xi=1）=1-P（Xi=0）=qi，i=1，2，…，n，則E（ni=1Xi）=ni=1qi.記前n次（即從第1次到第n次投籃）中甲投籃的次數(shù)為Y，求E（Y）.

分析：（1）根據(jù)全概率公式即可求出.

（2）設(shè)P（Ai）=pi，由題意，可得pi+1=0.4pi+0.2，根據(jù)數(shù)列知識，構(gòu)造等比數(shù)列即可解.

（3）先求出兩點分布的期望，再根據(jù)題中的結(jié)論以及等比數(shù)列的求和公式即可求出.

解析：

（1）記“第i次投籃的人是甲”為事件Ai，“第i次投籃的人是乙”為事件Bi.

所以P（B2）=P（A1B2）+P（B1B2）=P（A1）·P（B2|A1）+P（B1）P（B2|B1）

=0.5×（1-0.6）+0.5×0.8=0.6."

（2）設(shè)P（Ai）=pi，依題可知，P（Bi）=1-pi，則P（Ai+1）=P（AiAi+1）+P（BiAi+1）=P（Ai）·P（Ai+1|Ai）+P（Bi）P（Ai+1|Bi）.

即pi+1=0.6pi+（1-0.8）×（1-pi）=0.4pi+0.2.

方法1：待定系數(shù)法.

構(gòu)造等比數(shù)列｛pi+λ｝，設(shè)pi+1+λ=25（pi+λ），解得λ=-13，則pi+1-13=25pi-13.

又p1=12，p1-13=16，所以pi-13是首項為16，公比為25的等比數(shù)列.

所以pi-13=16×25i-1，pi=16×25i-1+13.

方法2：同除后累加法.

兩邊同時除以0.4i+1，得pi+10.4i+1=pi0.4i+0.20.4i+1，令pi0.4i=qi，得qi+1-qi=0.20.4i+1.

累加，得qi=q1+（q2-q1）+（q3-q2）+…+（qi-qi-1）=54+0.2×10.42+10.43+…+10.4i.

所以pi=0.4i×qi=16×25i-1+13.

方法3：不動點法.

一般地，對于遞推數(shù)列｛xn｝，若其遞推關(guān)系為xn+1=f（xn），且存在實數(shù)x0，使得f（x0）=x0，則稱x0是數(shù)列｛xn｝的不動點.

由遞推關(guān)系的特征方程0.4x+0.2=x，得不動點為x=13，則可以構(gòu)造等比數(shù)列Pi+1-13，pi+1-13=25（pi-13）.

結(jié)合初始條件p1=12，p1-13=16，得pi-13=16×25i-1，所以pi=16×25i-1+13.

方法4：退位相減法.

由pi+1=0.4pi+0.2，得pi=0.4pi-1+0.2，i≥2，兩式相減，得pi+1-pi=0.4（pi-pi-1）.

令si=pi+1-pi，則s1=p2-p1=-0.1，且si+1=0.4si，所以{Si}為等比數(shù)列.

所以si=（-0.1）×0.4i-1.

即pi+1-pi=（-0.1）×0.4i-1.

再由累加法，得pi=p1+（p2-p1）+（p3-p2）+…+（pi-pi-1）=16×25i-1+13.

（3）因為pi=16×25i-1+13，i=1，2，…，n，所以當(dāng)n∈N*時，E（Y）=p1+p2+…+pn=16×1-25n1-25+n3=518×1-25n+n3，故E（Y）=518×1-25n+n3.

點評：概率統(tǒng)計是高考解答題必考題型之一，?？疾楦怕?、數(shù)學(xué)期望、回歸直線方程、獨立性檢驗、條件概率等，考查常結(jié)合實際問題.

本題的處理方法與人教A版教材《普通高中數(shù)學(xué)教科書必修第三冊》上的一道作業(yè)題如出一轍.

2"課本原題

甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人.求n次傳球后球在甲手中的概率.

解析：記Ai表示事件“經(jīng)過i次傳球后球在甲手中”，Bi表示事件“經(jīng)過i次傳球后球不在甲手中（即在乙或丙手中）”.設(shè)pi=P（Ai），i=1，2，…，n，則依題可知，p1=0，P（Bi）=1-pi.

P（Ai+1）=P（AiAi+1）+P（BiAi+1）=P（Ai）·P（Ai+1|Ai）+P（Bi）P（Ai+1|Bi）.

即pi+1=0×pi+12×（1-pi）=-12pi+12，構(gòu)造等比數(shù)列｛pi+λ｝.

設(shè)pi+1+λ=-12（pi+λ），解得λ=-13，則pi+1-13=-12pi-13.

又p1=0，p1-13=-13，所以pi-13是首項為-13，公比為-12的等比數(shù)列.

即pi-13=-13×-12i-1，pi=-13×-12i-1+13.

3"高等數(shù)學(xué)背景與馬爾科夫鏈

這個問題的高等數(shù)學(xué)背景來源于馬爾科夫鏈.

馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計中的一個重要模型，也是機器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，在強化學(xué)習(xí)、自然語言處理、金融領(lǐng)域、天氣預(yù)測等方面都有著極其廣泛的應(yīng)用.其數(shù)學(xué)定義為假設(shè)我們的序列狀態(tài)是…，Xt-2，Xt-1，Xt，Xt+1，…，那么Xt+1時刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一狀態(tài)Xt，即P（Xt+1｜…，Xt-2，Xt-1，Xt）=P（Xt+1｜Xt）.現(xiàn)實生活中也存在著許多馬爾科夫鏈，例如著名的賭徒模型.假如一名賭徒進(jìn)入賭場參與一個賭博游戲，每一局賭徒賭贏的概率為50%，且每局賭贏可以贏得1元，每一局賭徒賭輸?shù)母怕蕿?0%，且賭輸就要輸?shù)?元.賭徒會一直玩下去，直到遇到如下兩種情況才會結(jié)束賭博游戲：一種是手中賭金為0元，即賭徒輸光；一種是賭金達(dá)到預(yù)期的B元，賭徒停止賭博.記賭徒的本金為A（A∈N*，Alt;B），賭博過程如圖1的數(shù)軸所示.

當(dāng)賭徒手中有n元（0≤n≤B，n∈N）時，最終輸光的概率為P（n），請回答下列問題.

（1）請直接寫出P（0）與P（B）的數(shù)值.

（2）證明｛P（n）｝是一個等差數(shù)列，并寫出公差d.

（3）當(dāng)A=100時，分別計算B=200，B=1 000時，P（A）的數(shù)值，并結(jié)合實際，解釋當(dāng)B→∞時，P（A）的統(tǒng)計含義.

解析：

（1）當(dāng)n=0時，賭徒已經(jīng)輸光了，因此P（0）=1.

當(dāng)n=B時，賭徒到了終止賭博的條件，不再賭了，因此輸光的概率P（B）=0.

（2）記M：賭徒有n元且最后輸光，N：賭徒有n元且上一場贏.

P（M）=P（N）P（M|N）+P（）P（M|），即P（n）=12P（n-1）+12P（n+1）.

所以P（n）-P（n-1）=P（n+1）-P（n），所以{P（n）}是一個等差數(shù)列.

設(shè)P（n）-P（n-1）=d，則P（n-1）-P（n-2）=d，…，P（1）-P（0）=d.

累加，得P（n）-P（0）=nd，故P（B）-P（0）=Bd，得d=-1B.

（3）A=100，由P（n）-P（0）=nd，得P（A）-P（0）=Ad，即P（A）=1-AB.

當(dāng)B=200時，P（A）=50%，當(dāng)B=1 000時，P（A）=90%，當(dāng)B→∞時，P（A）→1，因此可知，久賭無贏家，即便是一個這樣看似公平的游戲，只要賭徒一直玩下去就會100%概率輸光.

點評：試題新穎，題目的背景設(shè)置的雖然較為陌生復(fù)雜，但解答并不困難，該題將概率和數(shù)列知識綜合到了一起，解答的關(guān)鍵是要弄明白題目的含義，即審清楚題意，明確關(guān)系即可求解，

4"推廣

由于馬爾科夫鏈問題往往會得到一個一階遞推式，即an+1只被an限制，如果還需要被an-1甚至更之前的元素限制呢？如下列問題.

（2011·華約自招）將一枚均勻的硬幣連續(xù)拋擲n次，以pn表示未出現(xiàn)連續(xù)3次正面的概率.探究數(shù)列{pn}的遞推公式，并給出證明.

分析：分三種情況.

（1）如果第n次出現(xiàn)反面，那么前n次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面的概率為12

pn-1.

（2）如果第n-1次出現(xiàn)正面，第n-1次出現(xiàn)反面，那么前n次出現(xiàn)連續(xù)三次正面和前n-2次出現(xiàn)連續(xù)三次正面的概率是相同的，所以這個時候不出現(xiàn)連續(xù)三次正面的概率是14pn-2.

（3）如果第n次出現(xiàn)正面，第n-1次出現(xiàn)正面，第n-2次出現(xiàn)反面，那么前n次出現(xiàn)連續(xù)三次正面和前n-3次出現(xiàn)連續(xù)三次正面的概率是相同的，所以這個時候不出現(xiàn)連續(xù)三次正面的概率是18pn-3.

綜上，pn=12pn-1+14pn-2+18pn-3（n≥4）.

新高考數(shù)學(xué)很好地落實了立德樹人的根本任務(wù)，秉承出活題、考基礎(chǔ)、重能力、考素養(yǎng)、貼近中學(xué)教學(xué)實際的思路，合理平衡了試題的思維量與計算量，充分體現(xiàn)了反刷題、反套路、回歸課標(biāo)與教材的導(dǎo)向.由于命題人的匠心獨運，使得“源于教材而又高于教材”這一原則被廣泛運用到新高考試題的命題過程中，這也給我們的復(fù)習(xí)備考指明了方向，那就是回歸教材.中學(xué)教材例題中蘊含著豐富的背景內(nèi)容和較強的教學(xué)功能，是提高學(xué)生解題能力、培育學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的重要素材，在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中要“依綱靠本”，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知特點、心理規(guī)律和學(xué)生當(dāng)前的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與數(shù)學(xué)能力等實際情況，深刻理解其中的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系，以不變應(yīng)萬變，才能使高中數(shù)學(xué)教學(xué)立于不敗之地.