經(jīng)歷學習思考路徑 深挖網(wǎng)格作圖價值

白紹強

摘? 要：從2022年中考天津卷第18題的解題思路入手，挖掘如何將作圖方法和運算、推理有機結合. 通過去除網(wǎng)格和圓，引導學生把握問題的實質(zhì)，厘清知識內(nèi)在的脈絡和邏輯關聯(lián)；通過改變圓的位置和大小或隱去圓，凸顯網(wǎng)格的作用等途徑，變化作圖工具，創(chuàng)新網(wǎng)格作圖題．

關鍵詞：邏輯關聯(lián)；基本策略；推理計算

在正方形網(wǎng)格中用無刻度的直尺作圖的試題，在近幾年各地區(qū)的中考試卷中頻繁出現(xiàn)，逐漸成熟且日趨完善，成為獨具特色的中考試題. 網(wǎng)格作圖題立意新穎且內(nèi)涵豐富. 其考查內(nèi)容可涉及勾股定理、特殊圖形的性質(zhì)、平行線分線段成比例、相似、圖形的變化（平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)）等，對學生的能力要求較高. 學生往往會想不到畫法，看了答案也不懂. 究其原因，是學生沒有理解隱含在網(wǎng)格背后的大量的推理與計算. 只有將作圖方法和運算、推理有機結合，才能明白作圖方法是怎么想出來的，才能了解作圖原理，積累網(wǎng)格作圖的一般方法和基本經(jīng)驗，進而從不同視角嘗試解決問題．

一、試題呈現(xiàn)

題目 （2022年天津卷）如圖1，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，圓上的點A，B，C及[∠DPF]的一邊上的點E，F(xiàn)均在格點上．

（1）線段[EF]的長等于__________；

（2）若點M，N分別在射線[PD]，[PF]上，滿足[∠MBN=90°]且[BM=BN]，試用無刻度的直尺，在如圖1所示的網(wǎng)格中，畫出點M，N，并簡要說明點M，N的位置是如何找到的（不要求證明）__________? ? ?．

本文主要基于此題的第（2）小題，探究網(wǎng)格作圖題的解題路徑，并創(chuàng)新網(wǎng)格作圖題.

二、厘清問題邏輯結構

去除網(wǎng)格和圓，發(fā)現(xiàn)問題的實質(zhì)是在[∠DPF]的內(nèi)部有一點[B]，要在[∠DPF]的兩邊上分別找到點M，N，使得[△MBN]為等腰直角三角形. 基于點E，F(xiàn)在網(wǎng)格中的位置關系，可以聯(lián)想到以下兩個熟悉的基本圖形，進而轉(zhuǎn)化問題.

基本圖形1：如圖2，[P]是[∠AOB]的平分線上一點，[PC⊥OA]，[PD⊥OB]，垂足分別為點[C]，[D]，點[M]，[N]分別在邊[OA]，[OB]上，當滿足[∠MPN=∠CPD]時，易證[△CPM]≌[△DPN]. 所以[PM=PN]．

基本圖形2：如圖3，[D]為正方形[ABCD]的頂點，點M在邊[AB]上，點[N]在邊[BC]的延長線上，當滿足[∠MDN=90°]時，易證[△ADM≌△CDN≌]. 所以[DM=DN].

對圖3進行分析，題目中滿足要求的點[M]應該在正方形的邊與射線[PD]的交點處. 其等同于：如圖4，已知在[∠AOB]內(nèi)有一點[P]，四邊形[PCED]為正方形，點[C]，[E]在邊[OB]上，[DE]與邊[OA]相交于點[M]，當滿足[∠MPN=90°]時，有[PM=PN]．

還可以從圖形變化的角度進行思考，將[PN]繞點[P]順時針旋轉(zhuǎn)[90°]得到[PM]. 將[PC]作同樣的旋轉(zhuǎn)得到[PD]，易得[△DPM]≌[△CPN]. 所以[DM=CN]. 反之亦然.

三、尋找作圖的一般方法

無論是尺規(guī)作圖，還是網(wǎng)格作圖，其關鍵點都在于作圖方法是怎樣想到的，需要經(jīng)歷怎樣的思維過程，以及解決此類問題的一般方法是什么. 逆向思維、執(zhí)果索因、反其道而行之是解決此類問題的基本策略．

1. 假設已有圖形，進行幾何構圖

先想象出符合要求的圖形，然后畫出草圖，并適當添加線段進行可能的幾何構圖. 如圖5，假設圖中的[BM]，[BN]滿足題設要求. 注意到圖中的[EF]和[BF]具有特殊的數(shù)量關系和位置關系，易想到[△EFB]為等腰直角三角形，[EB]是直角的平分線，四邊形[EFBQ]為正方形. 在此基礎上，通過多方聯(lián)想，調(diào)用學生的已有經(jīng)驗，構造特殊圖形和基本幾何模型成為解決問題的關鍵．

2. 分析圖形特征，展開邏輯推理

引導學生分析當前圖形具有的性質(zhì)和題設中的已知條件，明晰差距，尋找問題解決的策略. 此題的圖形特征包括：點[M]在正方形EFBQ的邊[EQ]上，[BQ=][BF]且[∠FBQ=][90°]，[QM=FN]. 我們要認真分析通過已知條件可以得到什么結論，得到的結論和最終的解題目標之間還差什么，如何進一步滿足. 經(jīng)過這樣的分析，可以確定如下的作圖思路：過點[B]作[BF]的垂線[BQ]；在垂線[BQ]上截取[BQ=BF]；過點[Q]作[BQ]的垂線，交射線[PD]于點[M]；過點[B]作[BN⊥BM].

3. 抓住問題本質(zhì)，回歸基本作圖

作圖過程要和推理證明過程一樣有理有據(jù)，只有理解了作圖原理，聚焦作圖方法和幾何推理，才能將問題轉(zhuǎn)化為基本作圖，才能知道法自何處、學為何用，才能清楚每一步作圖的方法、程序，具體操作的理論依據(jù)、意圖和目標方向. 學生對于在網(wǎng)格中作平行線、垂線、線段中點或[n]等分點等基本作圖應熟練掌握.

四、創(chuàng)新網(wǎng)格作圖題

1. 改變圓的位置和大小

網(wǎng)格作圖和尺規(guī)作圖一樣，都是通過交軌法確定特殊點. 因為點的確定需要兩條直線相交，所以需要先分析點的位置特征，來確定經(jīng)過點的兩條直線滿足的條件，思考畫出怎樣的兩條直線才能作出符合條件的點，再借助網(wǎng)格確定相應的畫法．

圓中有許多重要的性質(zhì)，如垂徑定理和圓心角與圓周角的關系等. 因為直徑所對的圓周角是直角，所以圓可以為畫兩線垂直帶來方便. 圓心是圓中的重要要素，圓的許多性質(zhì)都與圓心和半徑有關. 那么，如何確定圓的圓心呢？如圖6，連接[AC]，交網(wǎng)格線于點[O]. 根據(jù)[90°]的圓周角所對的弦是直徑，可以確定AC是圓的直徑，則點[O]即為圓心. 或者根據(jù)兩條直徑的交點為圓的圓心，可以取格點[G]，連接[AC]，[BG]，相交于點[O]，則點[O]即為圓心， 如圖7所示．

題目給出了經(jīng)過[A]，[B]，[C]三點的圓，降低了難度，給學生解題帶來了方便. 如果改變條件，給出過[B]，[F]兩點的圓或只過一點[B]的圓，其實也不影響題目的解答，問題求解的關鍵仍然是確定圓心.

如圖8，當圓經(jīng)過點[B]，[F]時，根據(jù)過兩點的圓的圓心在兩點所連線段的垂直平分線上，取格點[S]，[T]并連接. 設圓與網(wǎng)格線相交于點G，H，連接[GH]，[ST]，相交于點[O]，則點[O]即為圓心.

如圖9，當圓只經(jīng)過一個點[B]時，要想確定圓心，則需要構造另外一個[90°]的圓周角. 取格點S，T，連接[SB]，與圓相交于點[R]，連接[BT]并延長，與圓相交于點[K]，連接[RK]，[GH]，相交于點[O]，則點[O]即為圓心．

2. 隱去圓，凸顯網(wǎng)格作用

學生熟練掌握網(wǎng)格中的基本作圖方法后，面對千變?nèi)f化的問題情境也能應對自如. 此題若隱去圓，能否充分發(fā)揮網(wǎng)格的作用完成作圖？

正方形網(wǎng)格中蘊含著豐富的數(shù)量關系、位置關系和特殊圖形，依據(jù)特殊圖形的性質(zhì)，通過計算和推理可以畫出特殊位置的直線和一定長度的線段，并確定由它們相交而產(chǎn)生的特殊點．

如圖10，注意到已知條件中的線段[EF]，[BF]具有特殊的數(shù)量關系和位置關系——[EF=BF=10]，[EF⊥BF]，易想到等腰直角三角形[EFB]和正方形[EFBQ]這兩個特殊圖形. 取格點[G]，其是正方形的中心，這為后面應用正方形的中心對稱性奠定了基礎. 連接[MG]并延長，交[BF]于點[H]，易證[MQ=FH]. 只要再滿足條件[FN=][FH]，問題就可以得到解決. 取格點[T]，則[△BFT]為等腰直角三角形，利用等腰三角形的軸對稱性，取格點[S]，連接[FS]，只需要對稱地取點、對稱地連線. 連接[HT，F(xiàn)S，] 相交于點[R]；連接[BR]并延長，與射線[PF]相交于點[N]. 由[△BHR]≌[△TNR]，得[BH=TN]. 所以[FH=FN]. 圖11的作圖思路與此類似．

要滿足[FN=FH]，也就是[△HFN]為等腰直角三角形，只要一角等于[45°]即可. 考慮到正方形的對角線分直角有[45°]，故可以畫出正方形對角線的平行線. 如圖12，取格點[S]，[Q]，[G]，連接[SG]，[QG]，[QG]與網(wǎng)格線相交于點[T]. 連接[MT]并延長，與[SG]相交于點[R]. 連接[RH]并延長，與射線[PF]相交于點[N]. 連接[QR，] 由[MQ∥GR]且[MQ=GR]，得四邊形[QMGR]是平行四邊形. 所以[QR∥GH]且[QR=GH]. 所以四邊形[QGHR]是平行四邊形. 所以[RN∥QG]. 所以[∠FNH=45°].

圖13和圖14給出了兩種作對角線的平行線的方法，其意圖仍然是作正方形對角線的平行線，使[∠FHN]或[∠FNH]等于[45°]，得到[FN=FH=QM]這一重要條件，其原理不再一一贅述．

3. 改變點的先后確定順序

事實上，射線[PD]繞點[B]逆時針旋轉(zhuǎn)[90°]后，與射線[PF]的交點即為點[N]. 如圖15，取[PD]與網(wǎng)格線的一個交點[J]，[BR]為[∠GBK]的平分線且[∠GBK]= 90°，連接[JK]與[BR]相交于點[I]，連接[GI]并延長交網(wǎng)格線于點[H]，則點[J]繞點[B]逆時針旋轉(zhuǎn)[90°]后得到點[H]. 如圖16，取[PD]與網(wǎng)格線的另一個交點[R]，連接[JK]，[RW]相交于點[I]，連接[GI]并延長與網(wǎng)格線相交于點[L]，連接[LS]并延長與網(wǎng)格線相交于點[T]，則點[R]繞點[B]逆時針旋轉(zhuǎn)[90°]后得到點[T]. 連接[TH]并延長與[PF]相交于點[N]，再借助圓心[O]，仿照前面提及的步驟，點[M]的位置也隨之確定．

五、網(wǎng)格作圖題的教學策略

1. 教會學生思考，發(fā)展學生的思維能力

網(wǎng)格作圖題不同于給定已知條件、給出圖形的計算題或證明題，需要認真分析目標圖形與現(xiàn)有條件之間的差距，構造幾何圖形，通過相關計算與證明，探求得到作圖方法. 網(wǎng)格作圖題往往涉及的知識面較廣，具有挑戰(zhàn)性，學生會感到無從下手，找不到解決問題的切入點或突破口，成為教學的一個難點. 對于網(wǎng)格作圖題的求解，學生不僅需要知道作圖的先后程序步驟，還需要知道這樣作圖的道理，更需要知道這樣作圖的方法是怎么想到的. 正如在解題過程中需要闡明解題思路一樣，在網(wǎng)格作圖題中，教師要引領學生經(jīng)歷作圖思路的獲得過程，感悟作圖內(nèi)在的本質(zhì). 在作圖題的教學中，如果教師只是讓學生按作法動手操作，只關注作圖方法的先后程序，而忽視作圖問題與幾何推理的密切結合，則學生無法掌握作圖題的操作本質(zhì)，也無法自主解決新的作圖問題. 喬治·波利亞指出，數(shù)學教育的主要目的之一是教會學生如何思考問題，發(fā)展學生解決問題的能力，關注學生的深度思考過程. 因此，教師要把握好在網(wǎng)格作圖方法探尋過程中發(fā)展學生思維品質(zhì)的契機．

2. 一般觀念指引，關注作圖通法

數(shù)學內(nèi)容的學習要讓學生獲得研究套路和研究方法，使學生能自覺運用一般觀念指導數(shù)學學習與探究活動. 章建躍博士指出，一般觀念是對內(nèi)容及其反映的數(shù)學思想和方法的進一步領悟、提煉和概括，是對數(shù)學對象的一般性回答，對學生學會用數(shù)學的方式對事物進行觀察、思考、表達，以及發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學問題等都具有指路明燈的作用. 學生只有學會運用一般觀念、一般方法分析和解決問題，才能實現(xiàn)思維的跨越，這是學生學會學習的標志. 在網(wǎng)格作圖的過程中，學生要經(jīng)歷畫出目標圖形、分析目標圖形特征、構造圖形、推理論證作法的合理性、分步轉(zhuǎn)化基本作圖等過程，這也是幾何作圖的一般方法，其能夠使學生形成作圖思路分析的一般方法. 即使是不同的作圖方法之間也存在相通的意圖和本質(zhì)屬性. 因此，對于作圖題，要關注作圖的通性通法，適度尋找最優(yōu)解法和巧妙解法，從思維的正常歷程探索解決策略，從通性通法中尋找問題解決的必然思路．

3. 重在推理計算，體會數(shù)學的嚴謹性

對于作圖題，教師要引領學生思考并表達作圖的合理性，確認作圖的準確性，做到言必有據(jù)、自圓其說，養(yǎng)成講道理、有條理、重論據(jù)、合乎邏輯的思維習慣. 要在構造圖形、應用性質(zhì)、感悟原理、探析作法的過程中培養(yǎng)學生的空間觀念和創(chuàng)新意識，發(fā)展學生的空間想象力，提高學生的計算能力和推理能力，促使學生形成敢于質(zhì)疑的科學態(tài)度和理性精神．

正如華羅庚先生所說：數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微. 這就是數(shù)形結合思想. 一些數(shù)學內(nèi)容具有數(shù)與形兩個方面的特征，以網(wǎng)格為背景建立平面直角坐標系，就可以用坐標來確定點的位置，可以利用一次函數(shù)和三角函數(shù)的知識來解決長度、距離、交點等代數(shù)問題，以及平行、垂直等幾何問題，進而引導學生感悟數(shù)量關系和圖形位置關系的內(nèi)在聯(lián)系，這也就是常說的“先算后畫”．

網(wǎng)格作圖題內(nèi)涵豐富，思維含量高，奧妙無窮，學生可以經(jīng)歷從不同角度尋求分析問題和解決問題的方法的過程，體驗解決問題方法的多樣性，充分展現(xiàn)綜合能力. 網(wǎng)格作圖題要求學生從已有的經(jīng)驗和知識基礎出發(fā)，通過自然的思維馳騁和深入的畫法探析，激發(fā)學生獨立思考，促使學生積累基本活動經(jīng)驗，形成適應未來發(fā)展的數(shù)學核心素養(yǎng)．

參考文獻：

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