立足課程標(biāo)準(zhǔn) 關(guān)注思維過程

李云萍 詹金芳

摘? 要：以2021年中考浙江衢州卷第23題的命制過程為例，再現(xiàn)函數(shù)過程考查類試題的二次觸碰、命制打磨的精雕細(xì)琢過程，同時對試題的考查功能和命題回望進(jìn)行深度剖析和思考．

關(guān)鍵詞：命制過程；試題簡析；命題思考

2021年中考浙江衢州卷第23題是在2020年中考浙江衢州卷第23題基礎(chǔ)上的沿革與創(chuàng)新，作為全卷的“重頭戲”，其命制要遵循面向全體、穩(wěn)中求新、兼顧選拔的原則. 從2020年開始，浙江衢州卷第23題的命題思路定位于對函數(shù)本質(zhì)意義的考查，努力再現(xiàn)知識的學(xué)習(xí)過程，回歸數(shù)學(xué)本質(zhì). 如今回溯當(dāng)時的命題過程，引發(fā)筆者的一些個人思考. 例如，如何在命制函數(shù)試題時突出創(chuàng)新元素？如何逐步優(yōu)化試題條件和結(jié)論的表征？課程標(biāo)準(zhǔn)的要求要如何落細(xì)、落實于試題中？數(shù)形結(jié)合思想要如何滲透融合于函數(shù)試題中？對諸如上述問題，筆者結(jié)合2021年中考浙江衢州卷第23題的命制過程進(jìn)行了分析和梳理，與同行交流.

一、命制過程

對于2021年中考浙江衢州卷第23題的命制，命題組設(shè)定建模的函數(shù)為一個新的函數(shù)，需要創(chuàng)建一個產(chǎn)生新函數(shù)的問題情境，嘗試讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、建模、探索等過程. 命題組在嘗試三角形、四邊形背景失敗后，最終考慮以圓（?。楸尘皹?gòu)建函數(shù)模型.

初稿：如圖1，點D是半圓O上的一個動點，點C是直徑AB上一點（不包括端點），DC⊥AB，AB = 6 cm，連接AD，過點C作CE∥AD，交半圓O于點E，連接EB. 記AC = x cm，EC = y1 cm，EB = y2 cm.

牛牛同學(xué)參照學(xué)習(xí)函數(shù)的過程與方法，分別對函數(shù)y1，y2隨自變量x變化的規(guī)律進(jìn)行探究. 通過幾何畫板軟件取點、畫圖、測量，得出如表1所示的幾組對應(yīng)值，并在圖2中描出了以各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點，畫出了不完整圖象.

（1）當(dāng)x = 3時，y1的值為___________.

（2）試在圖2中畫出函數(shù)y1的圖象，并結(jié)合圖象判斷，寫出當(dāng)y1 = y2時x的近似值（精確到0.1）.

（3）用計算或推理的方式簡要說明第（2）小題結(jié)論的正確性.

第（1）小題較為基礎(chǔ)，根據(jù)已知條件∠DCB = 90°，可以找到特殊點x = 3時，y1 = 3；第（2）小題要求學(xué)生畫出函數(shù)y1的圖象，其中已經(jīng)給出函數(shù)y2的圖象，可以減少學(xué)生的操作量和作圖誤差，并容易根據(jù)兩個函數(shù)圖象的交點找出當(dāng)y1 = y2時x的近似值；第（3）小題要求學(xué)生證明第（2）小題結(jié)論的正確性，演繹推理可以增加試題的“厚度”. 命題組對這個命題構(gòu)思一致認(rèn)可，命題框架基本形成，試題體現(xiàn)了操作探究，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察猜想，感受推理過程，積累活動經(jīng)驗. 三道小題的設(shè)置由易到難，由點到面，由合情推理到演繹推理.

仔細(xì)斟酌后，命題組發(fā)現(xiàn)學(xué)生對第（3）小題題意的理解容易出現(xiàn)偏差，分不清題設(shè)和結(jié)論，造成解題困擾. 另外，證明難度較大，有超標(biāo)嫌疑. 命題組研究后羅列了以下四種證明思路.

思路1：如圖3，連接OD，OE，過點E作EF⊥AB，通過設(shè)參OF = m，利用勾股定理及△DAC ∽ △ECF得出CE的長.

思路2：如圖4，在思路1的基礎(chǔ)上建立平面直角坐標(biāo)系，求出AD，CE的解析式，然后設(shè)出點E的坐標(biāo)，利用勾股定理解決問題.

思路3：如圖5，連接OE，BD，過點O作OF⊥CE于點F，證明兩次相似，即△ACD ∽ △DCB和△ACD ∽ △CFO，先求出CE的長再求EB的長.

思路4：如圖6，取CB的中點F，作FG⊥CB交半圓O于點G，連接GC，GB，OG，設(shè)法證明G，E兩點重合（同一法）.

問題解決有四種思路，題源可以發(fā)散思維，但這四種證明思路需要添加的輔助線都是在三條及以上，不在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）的考查范圍，思路4中涉及的“同一法”同樣不在《標(biāo)準(zhǔn)》考查范圍內(nèi). 因此，接下來的試題改編和優(yōu)化著重圍繞問題設(shè)問與結(jié)論的表征，以及輔助線超標(biāo)問題進(jìn)行.

二稿：題干和第（1）（2）小題設(shè)問與初稿一致，第（3）小題設(shè)問調(diào)整如下.

（3）由（2）知，AC取某值時，EC = EB. 如圖7，牛牛連接了OD，OE嘗試證明，試完成說理過程.

上述第（3）小題題設(shè)修改的目的是讓證明的題設(shè)和結(jié)論更加明確.“由（2）知，AC取某值時，EC = EB”相當(dāng)于告知學(xué)生“AC取某值”是已知，“證明EC = EB”是結(jié)論. 為了解決第（3）小題證明過程中作輔助線超標(biāo)的問題，借助第三方人物牛牛設(shè)計——“牛牛連接了OD，OE嘗試證明，試完成說理過程”. 在牛牛解題思路的基礎(chǔ)上，學(xué)生只需要連接一條或兩條輔助線即可獲證.

在剛完成二稿的修改時，命題組認(rèn)為此題已經(jīng)很完美了，但是再度審題后，發(fā)現(xiàn)了如下問題.

第一，第（2）小題中函數(shù)y1的圖象曲度過大，可能會導(dǎo)致學(xué)生在畫出y1圖象后對兩函數(shù)圖象交點x的近似取值誤差較大.

第二，試題中主人公牛牛的探究任務(wù)不明確，第（2）（3）小題是牛牛要做的探究任務(wù)，突然轉(zhuǎn)嫁給學(xué)生去完成，邏輯不自然.

第三，第（2）小題中x的近似值為2，試題答案不夠“厚重”，考查知識不夠全面.

基于這些細(xì)節(jié)問題，命題組繼續(xù)打磨，得到三稿.

三稿：如圖8，點C是半圓O的直徑AB上一動點（不包括端點），AB = 6 cm，過點C作CD⊥AB交半圓O于點D，連接AD，過點C作CE∥AD交半圓O于點E，連接EB. 牛牛想探究在點C運動過程中是否存在EC = EB的情況. 他根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，記AC = x cm，EC = y1 cm，EB = y2 cm，請你一起參與探究函數(shù)y1，y2隨自變量x變化的規(guī)律.

通過幾何畫板軟件取點、畫圖、測量，得出如表2所示的幾組對應(yīng)值，并在圖9中描出了以各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點，畫出了不完整圖象.

（1）當(dāng)x = 3時，y1的值為___________.

（2）試在圖9中畫出函數(shù)y2的圖象，并結(jié)合圖象判斷函數(shù)值y1與y2的大小關(guān)系.

（3）由（2）知“AC取某值時，EC = EB”. 如圖10，牛牛連接了OD，OE，嘗試證明這一結(jié)論，試完成說理過程.

為了方便學(xué)生作圖，將第（2）小題調(diào)整為畫函數(shù)y2的圖象，依據(jù)圖象比較函數(shù)值y1和y2的大小，不僅考查了圖象交點的意義，還考查了函數(shù)的增減性和大小比較. 同時，在題干中明確了牛牛的探究任務(wù)，也邀請學(xué)生一起參與探究. 這樣，在第（3）小題中讓學(xué)生完成牛牛未完成的探究任務(wù)也就合情合理了.

至此，命題組對前面兩道小題的改編達(dá)成一致意見，但是對于第（3）小題，命題組認(rèn)為還需要多一些思考，盡量分析、猜想學(xué)生在解決問題時可能遇到的問題.

疑惑1：學(xué)生是否能確定要證明的是“當(dāng)AC取某值時，EC = EB”這個結(jié)論？“某值”要通過第（2）小題獲得，在第（3）小題的條件中不能明示，如果學(xué)生在第（2）小題中測量得出的某值是1.9 cm或2.1 cm，又該如何證明EC = EB這個結(jié)論？

疑惑2：牛牛的證明方法是連接OD，OE，這樣有可能限制了學(xué)生的思維，如果學(xué)生的思路不在命題者的預(yù)測范圍內(nèi)該怎么辦？

疑惑3：學(xué)生若是將條件和結(jié)論互換，將充分條件和必要條件混淆，把EC = EB當(dāng)作已知條件，推出AC = 2這個結(jié)論，該如何評分？

經(jīng)過討論，最終得到如下終稿.

終稿：如圖11，點C是半圓O的直徑AB上一動點（不包括端點），AB = 6 cm，過點C作CD⊥AB交半圓O于點D，連接AD，過點C作CE∥AD交半圓于點E，連接EB. 牛牛想探究在點C運動過程中EC與EB的大小關(guān)系. 他根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，記AC = x cm，EC = y1 cm，EB = y2 cm. 請你一起參與探究函數(shù)y1，y2隨自變量x變化的規(guī)律.

通過幾何畫板軟件取點、畫圖、測量，得出如表3所示的幾組對應(yīng)值，并在圖12中描出了以各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點，畫出了不完整圖象.

（1）當(dāng)x = 3時，y1的值為___________.

（2）在圖12中畫出函數(shù)y2的圖象，并結(jié)合圖象判斷函數(shù)值y1與y2的大小關(guān)系.

（3）由（2）知“AC取某值時，EC = EB”. 如圖13，牛牛連接了OE，嘗試通過計算EC，EB的長來驗證這一結(jié)論，試完成計算過程.

將三稿題干中的“牛牛想探究在點C的運動過程中是否存在EC = EB的情況”改為“牛牛想探究在點C的運動過程中EC與EB的大小關(guān)系”，既可以呼應(yīng)第（2）小題的設(shè)問，又可以避免學(xué)生誤把“EC = EB”作為已知條件；將三稿中第（3）小題的設(shè)問“證明結(jié)論EC = EB”改成“計算EC，EB的長來驗證這一結(jié)論”，使得學(xué)生的解題目標(biāo)更加明確. 如此設(shè)計，避免了學(xué)生可能把EC = EB作為已知條件而反向推理AC = 2的情況，且試題的考查功能和本質(zhì)并沒有改變. 為了把作輔助線的條數(shù)控制在兩條及以內(nèi)，在題設(shè)中牛牛只連接了一條必連的輔助線OE. 而是否連接OD，學(xué)生可以自行選擇，如此設(shè)計為學(xué)生提供了更多思考的空間.

二、試題簡析

2021年中考浙江衢州卷第23題中涉及的主要知識點包括函數(shù)圖象與圖形的轉(zhuǎn)化與表達(dá)，圖象交點和特殊點的意義理解，借助圖象比較函數(shù)值的大小，圓中垂徑定理、圓心角定理、圓周角定理及推論，三角形相似、特殊三角形性質(zhì)等. 三道小題逐級設(shè)問，第（1）小題為操作實踐、初步感知，重在引導(dǎo)探究；第（2）小題探索發(fā)現(xiàn)、獲取結(jié)論，重在合情推理；第（3）小題為演算證明、論證猜想，重在演繹推理. 試題解法多樣、思路多元，覆蓋知識較多，蘊(yùn)含化歸、方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法.

三、命題反思

1. 優(yōu)化設(shè)計，雕琢試題的條件和結(jié)論

對于命題，簡單來說就是選取一定素材，創(chuàng)設(shè)一定情境，合理編制試題的條件和結(jié)論，以達(dá)到知識考查和能力考查的各項要求. 但試題又不能局限于對知識本身的考查，而是要通過創(chuàng)設(shè)一定的問題情境，強(qiáng)調(diào)以實踐操作、探索發(fā)現(xiàn)、猜想證明為活動主線. 以2021年中考浙江衢州卷第23題的命制過程為例，命題組對試題的優(yōu)化設(shè)計經(jīng)歷十多次的斟酌和打磨，大到三道小題的設(shè)問所覆蓋的知識要點和體現(xiàn)的能力立意，小到文字表述的適合、適切及標(biāo)點斷句，近乎達(dá)到精雕細(xì)琢的程度. 與此同時，還要保障試題的考查功能最大化，即使試題的立意價值得到最大程度的體現(xiàn).

2. 立足課程標(biāo)準(zhǔn)，引領(lǐng)教學(xué)的方向和目標(biāo)

義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的根本和方向，也是中考命題的重要依據(jù). 2021年中考浙江衢州卷第23題的命制嚴(yán)格遵循《標(biāo)準(zhǔn)》要求，將考查要求控制在《標(biāo)準(zhǔn)》所給的范圍內(nèi). 這就啟發(fā)教師在平時的課堂教學(xué)中要立足課程標(biāo)準(zhǔn)，重視教材，認(rèn)真研讀，把握方向，了解數(shù)學(xué)課程性質(zhì)、基本理念和內(nèi)容目標(biāo)，把握知識考查范圍和考查難度，落實基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法和基本活動經(jīng)驗，這才是一線教學(xué)的方向和目標(biāo).

3. 創(chuàng)新考查，強(qiáng)化育人的理念和宗旨

近年來，各地中考數(shù)學(xué)逐漸從對應(yīng)試能力的考查過渡到對高階思維認(rèn)知能力的考查，試題的編制在創(chuàng)新性方面表現(xiàn)得尤為突出. 2021年中考浙江衢州卷第23題的命制重視對函數(shù)本質(zhì)的考查，閱讀量較大，重在引導(dǎo)學(xué)生在參與模型建構(gòu)和數(shù)學(xué)抽象的過程中經(jīng)歷問題解決的一般過程，并獲取問題解決的一般方法. 試題形式新穎、立意突出、關(guān)注過程，重視對學(xué)生的自主探究能力、主動學(xué)習(xí)意識和知識遷移能力的考查，關(guān)注對學(xué)生幾何直觀、數(shù)學(xué)運算和邏輯推理等素養(yǎng)的培養(yǎng). 中考試題在不同程度和方面的創(chuàng)新考查，有效發(fā)揮了其評價導(dǎo)向功能，也為我們的教育教學(xué)明確了方向：堅持立德樹人、素養(yǎng)立意的育人宗旨是我們永恒的追求.

參考文獻(xiàn)：

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［2］李云萍，劉芳. 以“形”探“數(shù)” 以“數(shù)”助“形”：2020年衢州中考第23題的命制與思考［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2021（6）：49-51.