基于數(shù)學邏輯一致性設計前后連貫的課堂教學

吳海燕 吳增生

摘? 要：數(shù)學具有整體性，數(shù)學內(nèi)容之間具有內(nèi)在的邏輯一致性. 這種邏輯一致性引領著知識的發(fā)生、發(fā)展過程. 在冪的乘方運算中，其構(gòu)成要素（底數(shù)和指數(shù)）的變化規(guī)律來源于乘方的定義和乘法運算律，這就是冪的乘方運算法則發(fā)生、發(fā)展的數(shù)學內(nèi)在邏輯. 依據(jù)這種數(shù)學知識發(fā)生、發(fā)展的內(nèi)在邏輯的一致性，可以設計出具有數(shù)學整體性、前后連貫、邏輯一致的教學過程，促進學生自然、合理地發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題，進行邏輯連貫的數(shù)學思考與表達. 文章以積的乘方運算的教學為例，研究如何利用這種數(shù)學的邏輯一致性進行教學設計.

關鍵詞：積的乘方；教學研究；邏輯一致性

作者簡介：吳海燕（1983— ），女，一級教師，主要從事中學數(shù)學教育教學研究；

吳增生 （1962— ），男，正高級教師，浙江省特級教師，主要從事中學數(shù)學教育研究.

正整數(shù)指數(shù)冪的乘法運算是整式乘法運算法則的邏輯出發(fā)點，而正整數(shù)指數(shù)冪的乘法運算法則是基于乘方的定義及乘法交換律和結(jié)合律. 冪的乘法運算研究的內(nèi)容是同底數(shù)冪相乘，研究的是底數(shù)相同的冪的乘法運算中指數(shù)的變化規(guī)律，它的邏輯基礎是乘方運算的定義和乘法結(jié)合律. 冪的乘方運算研究的是底數(shù)和指數(shù)都相同的冪的乘法運算，表現(xiàn)出底數(shù)不變性和指數(shù)的變化規(guī)律，它來自于同底數(shù)冪相乘的運算，更基礎地，還可以看作來源于乘方的定義和乘法結(jié)合律，是用歸納的方法得到的. 積的乘方運算研究的是底數(shù)不同、指數(shù)相同的冪的乘法運算（在冪的乘方運算中用ab…d代替冪的乘方運算中的am），這一性質(zhì)的邏輯基礎還是乘法運算律（交換律、結(jié)合律）和乘方的定義，以及冪的乘法運算.

其中，冪的乘法運算為：

冪的乘方運算為：

積的乘方運算為：

事實上，這種冪的乘法運算下的其構(gòu)成要素（底數(shù)和指數(shù)）的變化規(guī)律就是冪的乘法運算的研究內(nèi)容，而乘方運算的定義和乘法運算律則是它們發(fā)生發(fā)展的共同邏輯基礎，依據(jù)這種數(shù)學知識發(fā)生發(fā)展的內(nèi)在邏輯一致性，可以設計出具有數(shù)學整體性、前后連貫、邏輯一致的教學過程，促進學生自然、合理地發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題，進行邏輯連貫的數(shù)學思考與表達.

“14.1.3 積的乘方”是人教版《義務教育教科書·數(shù)學》八年級上冊第14章“整式的乘法與因式分解”第1節(jié)最后一個課時的教學內(nèi)容. 筆者嘗試從數(shù)學內(nèi)容的整體性和邏輯一致性出發(fā)設計教學，體現(xiàn)單元教學內(nèi)容中的整體性和前后連貫性.

一、分析教學內(nèi)容

整式的乘法是建立在冪的運算性質(zhì)的基礎上，結(jié)合運算律得到的，要研究整式的乘法運算，必須先研究冪的乘法運算. 從冪的構(gòu)成要素（底數(shù)和指數(shù)）角度看，同底數(shù)冪相乘是基于乘方的定義和乘法結(jié)合律研究若干個底數(shù)相同的冪的乘法運算，如果這若干個冪的指數(shù)也相同，則就是冪的乘方；在冪的乘方中，如果把底數(shù)中的冪變成不同因數(shù)的積，就變成積的乘方. 因此，本節(jié)內(nèi)容是在同底數(shù)冪相乘和冪的乘方運算的基礎上，融合兩者得到的. 基于這種數(shù)學內(nèi)在的邏輯一致性設計前后連貫的課堂教學，可以體現(xiàn)數(shù)學的整體性，這是進行單元整體教學設計的有效方法.

因此，本節(jié)課的教學重點是：在研究積的乘方法則過程中，提出問題，推導公式，通過這兩種數(shù)學活動發(fā)展學生的數(shù)學抽象能力和推理能力，在法則應用的過程中發(fā)展學生的符號意識和運算能力.

二、確定教學目標

1. 教學目標

（1）理解并準確掌握積的乘方的運算性質(zhì)，熟練應用這一性質(zhì)進行有關計算，發(fā)展學生的運算能力.

（2）在發(fā)現(xiàn)和推導冪的運算性質(zhì)的過程中，能把具體數(shù)的運算和運算律應用于字母運算，發(fā)展學生的抽象能力和歸納能力，體會從特殊到一般的數(shù)學思想和轉(zhuǎn)化思想.

（3）會反思和總結(jié)學習方法，體會代數(shù)性質(zhì)研究的一般觀念，通過合作交流分享觀點，總結(jié)學習經(jīng)驗，使學生學會學習.

2. 教學目標解析

達成教學目標（1）的標志是：能用積的乘方性質(zhì)進行正確的運算，并能辨別與同底數(shù)冪乘法及冪的乘方性質(zhì)的區(qū)別與聯(lián)系.

達成教學目標（2）的標志是：學生能類比冪的乘方性質(zhì)的推導過程嘗試推導出積的乘方性質(zhì)，能說出推導的依據(jù)；能用文字語言和符號語言準確表述性質(zhì)的含義，并能抓住性質(zhì)的本質(zhì)，即改變運算順序.

達成教學目標（3）的標志是：會總結(jié)研究的方法，會分析同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方及積的乘方三種運算之間的邏輯關系.

三、確定教學難點

積的乘方性質(zhì)的得出需要經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析與解決問題的數(shù)學活動. 總結(jié)前面學習的兩個冪的運算性質(zhì)，如果從冪的結(jié)構(gòu)上分析，它們都是研究底數(shù)相同的冪進行乘法運算后，積的“底數(shù)”的不變性和“指數(shù)”的變化規(guī)律（同底數(shù)冪相乘——底數(shù)相同、指數(shù)不一定相同，冪的乘方——底數(shù)相同、指數(shù)相同）. 從數(shù)學的內(nèi)部發(fā)展來看，接下來我們要研究指數(shù)相同、底數(shù)不同的因式的變化規(guī)律，即把冪的乘方公式[amn=am · am · … · amn個am=amn]中的am用不同的底數(shù)ab…d代替，從而提出問題“[ab…dn=]? ? ? ”. 如果學生對前面兩個性質(zhì)的學習不能從結(jié)構(gòu)上歸納是研究底數(shù)相同、指數(shù)變化的問題，就會導致學生提出問題存在困難；在研究“[abn]=? ? ? ?”的過程中，學生能類比前面兩個冪的性質(zhì)的探究方式（通過舉例、歸納猜想、推導公式等方式），但是會在用語言描述積的乘方性質(zhì)及建立三個性質(zhì)的聯(lián)系時遇到困難. 解決這些困難依然需要從冪的構(gòu)成要素（底數(shù)、指數(shù)）上分析. 冪的乘法運算的這三個公式不僅抽象，而且易混淆、出錯. 如果學生單純記憶這些公式，在運算過程中極易混淆出錯. 因此，教師需要引導學生從冪的結(jié)構(gòu)來分析其底數(shù)和指數(shù)的變化規(guī)律，使學生理解每種運算的意義，在此基礎上通過辨別和訓練掌握這三個運算的性質(zhì).

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學難點為：提出積的乘方的研究問題，推導積的乘方的運算公式，理解三個冪的運算公式之間的區(qū)別與聯(lián)系.

四、設計教學整體框架

本節(jié)課的教學整體思路如下.

首先，引導學生回顧前兩節(jié)課的學習內(nèi)容——同底數(shù)冪相乘和冪的乘方，分析它們之間的內(nèi)在聯(lián)系. 同底數(shù)冪相乘的公式為[am ? an]=[am+n]，進一步特殊化，可得[am · am · … · amn個am=amn=amn;] 冪的乘方公式[amn]=[amn]的實質(zhì)是[a · a · …· am個an]=[amn]=[amn]. 在此基礎上提出問題：若底數(shù)不同，該怎樣計算[ab…dm個ab…dn]呢？把底數(shù)簡化為兩個不同的數(shù)，就可以提出我們本節(jié)課要研究的問題，即“[abn]=? ? ?”，流程圖如圖1所示.

其次，運用乘方的定義和乘法運算律，引導學生推導出積的乘方公式，并進一步推廣到一般.

而后，在公式辨別的基礎上用公式進行化簡，讓學生說算理、說蘊含的思想方法（轉(zhuǎn)化思想）.

最后，從本節(jié)課的學習內(nèi)容、研究過程和研究方法等角度引導學生總結(jié)、分享.

五、教學過程設計

1. 復習導入，發(fā)現(xiàn)和提出問題

問題1：本章我們著重研究整式的乘法運算，前兩節(jié)課我們做了哪些準備？

師生活動：教師引導學生回顧同底數(shù)冪相乘及冪的乘方的性質(zhì)，并利用PPT展示如圖2所示的知識結(jié)構(gòu)圖.

【設計意圖】學生通過觀察與思考，發(fā)現(xiàn)同底數(shù)冪相乘的結(jié)果還是冪，體會數(shù)學運算可以使結(jié)果更簡潔，也為本節(jié)課積的性質(zhì)的探究作準備.

問題2：前面學習的兩個冪的性質(zhì)從冪的結(jié)構(gòu)角度進行分析，都是研究底數(shù)相同的冪的相乘（指數(shù)不一定相同——同底數(shù)冪相乘，指數(shù)相同——冪的乘方）中，積的底數(shù)不變性和指數(shù)的變化規(guī)律. 從數(shù)學的內(nèi)部發(fā)展來說，你覺得接下來要做什么樣的研究？

教師引導學生說出：研究指數(shù)不變（相同）、底數(shù)不同時對運算結(jié)果的影響.

追問1：冪的乘方運算（am）n中，當指數(shù)不變時，從乘方的意義角度你能說說它的底數(shù)可以怎樣變化嗎？

教師引導學生說出：底數(shù)中的冪實質(zhì)上是幾個相同因式的乘積，即[a · a · …· am個an]，接下來應該研究底數(shù)是不同因式的乘積的冪的運算，如[ab…dn].

追問2：數(shù)學的研究總是遵循從簡單到復雜的規(guī)律，你覺得我們應該從幾個不同因式的積開始研究？

師生活動：學生能夠回答從兩個不同因式的積開始研究. 教師板書課題——14.1.3 積的乘方.

【設計意圖】通過以上復習引入過程，讓學生感受數(shù)學內(nèi)部邏輯的發(fā)展指引著數(shù)學的研究方向，體會數(shù)學研究從簡單到復雜的發(fā)展過程.

2. 分析和解決問題

問題3：你能類比前面學習的兩個冪的性質(zhì)的探究過程，說說我們應該怎樣研究積的乘方嗎？

師生活動：教師引導學生用類比的方法進行探究. 先從冪的結(jié)構(gòu)出發(fā)，發(fā)現(xiàn)底數(shù)是兩個不同因式的積時，指數(shù)可以是任意數(shù). 指數(shù)n從最簡單的、具體的數(shù)入手，如1，2，3，…通過列舉[5×31，] [5×32，] [2×43]等例子，讓學生基于數(shù)的運算形成初步的直覺.

【設計意圖】讓學生意識到數(shù)學的基本研究方法是從特殊到一般、從簡單到復雜.

追問1：要把上述數(shù)的運算的規(guī)律推廣到一般，通常要借助字母表示數(shù)，你能說說[ab2， ab3，][ ab4]的運算結(jié)果嗎？得出這個結(jié)果的依據(jù)是什么？

師生活動：教師引導學生類比前兩個冪的性質(zhì)的研究，從乘方意義的角度來算一算. 師生一起完成[ab2]的運算，學生獨立完成[ab3]= a3b3和[ab4]= a4b4的運算.

[ab2]

= [ab · ab]（乘方的意義）

= [a · a · b · b]（乘法交換律，結(jié)合律）

= a2b2 （乘方的意義或同底數(shù)冪相乘的性質(zhì)）

追問2：你能歸納、猜想[abn]的運算結(jié)果嗎？

師生活動：引導學生從式子的結(jié)構(gòu)分析、歸納共性，得出猜想 [abn] = anbn.

追問3：你能推導出你的猜想嗎？

師生活動：學生在練習本上完成公式推導，并說出每一步的依據(jù).

推導過程如下：

追問4：你能用文字語言描述得到的結(jié)論嗎？

師生活動：教師引導學生從式子的結(jié)構(gòu)出發(fā)用文字語言描述，進一步明確公式中a，b，n的取值范圍.

積的乘方的性質(zhì)：積的乘方等于把積中每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘.

追問5：你覺得這句話中哪些字、詞比較重要？

師生活動：教師引導學生解讀性質(zhì)，關注“每一個、分別、乘方”等詞. 從運算的角度分析得出“積的乘方 = 乘方的積”，歸納這個公式的本質(zhì)，即改變了運算的順序.

追問6：我們已經(jīng)完成了兩個不同因式的積的乘方性質(zhì)的推導，你能推廣到一般，說出幾個不同因式的積的情況嗎？

師生活動：學生能夠獨立得到公式[ab…dn]= anbn…dn.

【設計意圖】通過以上過程讓學生體會數(shù)學的研究方法是從特殊到一般再進行推廣. 性質(zhì)的得出需要借助推理，性質(zhì)的完備需要考慮各字母的取值范圍，性質(zhì)的理解需要逐字解讀、符號化表示、文字描述. 性質(zhì)的理解是應用的前提.

問題4：你能說說得出這一性質(zhì)經(jīng)歷了哪些過程嗎？

師生活動：教師引導學生總結(jié)出本節(jié)課中研究積的乘方的過程，即“提出問題—特殊化—邏輯推導—歸納推廣—表達結(jié)論”.

【設計意圖】通過問題4引導學生提煉代數(shù)法則和公式研究的一般方法.

3. 辨別應用，鞏固新知

問題5：運用所學知識解決例1，并思考“運算時要注意什么？運算性質(zhì)的本質(zhì)是什么？”

例1? 計算.

（1）[2a3; ] （2）[-5b3; ]

（3）[12xy22;] （4）[-2x34. ]

師生活動：學生自行嘗試運算，教師巡視并選擇出現(xiàn)代表性錯誤的學生板演展示第（1）（2）小題的運算過程.

師生分析、總結(jié)注意要點：數(shù)字因數(shù)容易漏乘；結(jié)果要化到最簡形式；注意符號.

第（3）（4）小題由教師示范分析和解答. 對于第（3）小題，教師需要強調(diào)：計算此類3個因式的積時，要注意數(shù)字因式，包含數(shù)字因式在內(nèi)的每個因式都要乘方. 在此基礎上，闡述運算依據(jù)——乘方的定義和乘法運算律；明確公式的本質(zhì)——改變運算順序；明確指導思想——化繁為簡，化新為舊.

【設計意圖】學生通過應用性質(zhì)，思考應用的條件，從而厘清性質(zhì)，突破疑惑，總結(jié)易錯點和注意點，理解公式的本質(zhì)，以及應用公式運算過程中的轉(zhuǎn)化思想.

練習1：計算.

（1）[3b3;] （2）[-2x2y2;]

（3）[x+yx-y5;] （4）[-2×1022.]

師生活動：學生在3分鐘內(nèi)獨立完成練習1. 教師巡視，當多數(shù)學生完成時，開始小組討論（限時3分鐘）. 要求每個小組通過對照、辨析將答案統(tǒng)一，并思考出現(xiàn)不同答案的原因.

教師預設：學生可能會對第（3）小題存在疑惑，整體思想存在偏差，可能會出現(xiàn)和的平方等于平方和的情況. 解決這些問題的方法是看計算的每一步是否有依據(jù).

【設計意圖】通過小組合作既可以討論出錯的原因，又能使學生深入理解性質(zhì)，調(diào)動學生的積極性，培養(yǎng)合作精神. 教師要再次提醒學生解題要關注的注意點，引導學生形成程序化的解題步驟，即識運算、定順序、遵性質(zhì).

例2? 計算.

（1）[1510×510]； （2）[0.210×512].

師生活動：當學生解題遇到困難時，教師引導學生觀察底數(shù)之間存在倒數(shù)關系，思考是否能先將底數(shù)相乘，這需要改變運算順序，從而自然想到運用積的乘方公式，而且是逆用公式，再讓學生思考應用積的乘方公式要滿足什么條件. 第（2）小題不滿足公式條件，需要先把指數(shù)化為相同的情況再進行計算.

【設計意圖】學生通過逆向應用積的乘方公式進行運算，發(fā)展逆向思維能力和運算能力，體會轉(zhuǎn)化思想.

例3? 如圖3（a），棱長為a的正方體的體積為a3.

（1）如圖3（b），將棱長擴大到原來的a倍，你能求出新的正方體的體積嗎？

（2）如圖3（c），將棱長擴大到原來的b倍，你能求出新的正方體的體積嗎？

【設計意圖】應用積的乘方運算解決簡單的實際問題，發(fā)展學生的應用意識.

問題6：觀察例3的運算過程，思考冪的乘方與積的乘方之間有什么關系？

師生活動：如圖4，原正方體的體積計算應用了乘方的定義，或者同底數(shù)冪乘法；第（1）小題中的算式是3個相同冪的積，應用了積的乘方公式；第（2）小題中的算式是3個ab的積，也應用了積的乘方公式. 進一步地，引導學生把這種邏輯關系推廣到一般，即底數(shù)相同的冪相乘，就是同底數(shù)冪相乘，若每個冪的底數(shù)和指數(shù)分別相同，則是冪的乘方；當冪的乘方中底數(shù)一般化，變成不同時，冪的乘方就轉(zhuǎn)化為積的乘方；而當積的乘方中底數(shù)特殊化為相同時就是冪的乘方，結(jié)構(gòu)關聯(lián)如圖5所示.

【設計意圖】將例3的結(jié)果進一步拓展，使學生感受冪的運算性質(zhì)既相互獨立又相互聯(lián)系，感受數(shù)學的整體性與邏輯一致性.

4. 綜合應用，鞏固提升

練習2：計算[-a3b62+-a2b43.]

師生活動：學生獨立完成后，每組派一名學生板演. 之后師生總結(jié)運算步驟，強調(diào)多種運算綜合時要注意運算順序.

【設計意圖】綜合應用冪的運算性質(zhì)和合并同類項法則進行運算，要求明確運算對象，明確運算目標，選擇合理的算法，理解算理，考查學生運用法則運算的能力.

5. 反思提煉，課堂小結(jié)

（1）本節(jié)課中，我們學習了哪種冪的運算？運算時要注意什么？

（2）我們是怎樣得到這一法則的？

（3）冪的運算性質(zhì)之間有什么聯(lián)系與區(qū)別？你覺得還能研究冪的哪種運算？

（4）為什么要研究冪的運算性質(zhì)？

師生活動：通過以上幾個問題引導學生回顧本節(jié)課的研究內(nèi)容、研究思路及方法，形成如圖6所示的知識結(jié)構(gòu)圖.

【設計意圖】學生整理自己的收獲，相互交流，形成結(jié)構(gòu)化的知識體系.

六、目標檢測設計

1. 判斷下列的計算是否正確，如果錯誤，試加以改正.

（1）[ab23=ab6]； （2）[3xy3=9x3y3]；

（3）[--ab22=a2b4]； （4）[-2a22=-4a4].

2. 計算.

（1）[-3b5]； （2）[12ab4]；

（3）[-2xy3z24]； （4）[3x+y23;]

（5）812 × 0.12513.

3. 已知[xn=5，yn=3，] 求[x2y2n]的值.

4. 如果a ≠ b，且[ap3 · bp + q=a9b5]成立，求p，q的值.

【設計意圖】第1題考查學生對積的乘方運算的意義的理解；第2題考查學生積的乘方運算的性質(zhì)的應用，促進學生理解算理；第3題和第4題考查學生積的乘方運算的性質(zhì)的應用，發(fā)展學生的運算能力.

七、教學反思

本節(jié)課教學最顯著的特點是基于數(shù)學內(nèi)容的整體性和邏輯一致性設計連貫的教學活動. 首先，從冪的結(jié)構(gòu)角度分析同底數(shù)冪乘法、冪的乘方公式，底數(shù)相同時，研究指數(shù)的變化得到同底數(shù)冪相乘的公式，指數(shù)相同、底數(shù)也相同時的乘法是冪的乘方，在此基礎上提出底數(shù)是不同因式、指數(shù)相同時的冪的運算的研究問題——積的乘方運算. 其次，學習方法上與前面兩個性質(zhì)的學習是一脈相承的，這體現(xiàn)了方法上的一致性. 通過辨析和實際應用后的總結(jié)，分析了三個性質(zhì)之間的邏輯聯(lián)系，使學生理解三個性質(zhì)之間的邏輯一致性——都是研究冪的乘法運算中底數(shù)和指數(shù)的變化規(guī)律，都是以乘方的定義和乘法運算律為依據(jù)推導出來的. 通過這樣的教學，學生能在已有學習經(jīng)驗的基礎上自然、合理地發(fā)現(xiàn)和提出問題，用相同的策略和方法分析和解決問題，學習連貫的內(nèi)容. 在提出問題的過程中，發(fā)展學生的抽象能力；在積的乘方公式形成過程中，發(fā)展學生的抽象能力和推理能力；在應用公式推理、計算的過程中發(fā)展學生的推理能力和運算能力. 通過這樣的教學，可以將發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的目標真正落實到課堂教學中.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］吳增生. 用整體教學追求直觀與邏輯的融合發(fā)展：ICME-14中國特色主題活動中“平行線的判定與性質(zhì)”課例研究［J］. 中國數(shù)學教育（初中版），2021（9）：11-17.

［3］吳增生. 單元整體教學中的若干重要問題及其思考［J］. 數(shù)學通報，2021，60（9）：20-26.