合理演繹 適度深化

徐達嫻 馮偉

摘? 要：演繹深化是命制試題常用的技術手段. 通過合理運用幾何畫板軟件，對一個常見的基本圖形進行演繹深化，命制出一道梯度明顯且思維容量比較大的期中測試壓軸題．

關鍵詞：基本圖形；幾何畫板軟件；思維能力

基金項目：江蘇省教育科學“十三五”規(guī)劃2020年度重點資助課題——條理與想象：“幾何畫板”提升數(shù)學思維能力的實踐研究

（B-a/2020/02/38）；

江蘇省中小學教學研究第十四期課題——基于信息技術的初中數(shù)學圖形圖像類試題編制研究（2021JY14-L48）.

作者簡介：徐達嫻（1973— ），女，高級教師，主要從事數(shù)學課堂教學與管理研究；

馮偉（1977— ），男，一級教師，主要從事幾何畫板軟件和數(shù)學教學的融合研究.

命題能力是教師專業(yè)水平的體現(xiàn). 高質(zhì)量的命題活動既是促進有效教學的保障，也是學生進行深度學習、高效復習的重要支撐. 在命題活動中，演繹深化是一種重要的命題技術. 筆者曾在一次八年級上學期期中測試試題的命制過程中利用幾何畫板軟件對一個常見的基本圖形進行演繹深化，命制出一道具有明顯區(qū)分度的壓軸題. 現(xiàn)結(jié)合試題的命制過程談談自己的體會，以求專家指正.

一、幾何畫板軟件輔助下的演繹深化策略

當我們在解題中遇到一個難題時，根據(jù)常規(guī)的解題經(jīng)驗，往往先把它轉(zhuǎn)換成一個簡單問題并解決它，并從中獲取和解題相關的信息，進而找到解決原題的思路；而命題常常開始于一個簡單的問題，經(jīng)過命題者的精心演繹和深化，使之成為一個較難的問題. 由此可見，命題的思路和解題是相反的. 命題時，命題者可以從一個基本圖形（或基本定理、基本公式）出發(fā)，按照科學的邏輯推理，增加或減少相應的元素，由淺入深，將其逐步演繹深化成一個新的問題.

幾何畫板軟件功能強大，其優(yōu)勢在于使用者不需要復雜的操作就可以繪制出精準的圖形，并能在圖形運動過程中保持其幾何性質(zhì)不變. 命題者可以充分利用幾何畫板軟件的這一功能，在命題活動中將結(jié)構簡單的基本圖形逐步演繹成復雜且蘊含深度思維的問題的載體.

二、根據(jù)學情選取模型

1. 根據(jù)學情確定考查要點

本次考試的考查內(nèi)容為蘇科版《義務教育教科書·數(shù)學》八年級上冊的軸對稱圖形、等腰（邊）三角形、勾股定理和全等三角形. 根據(jù)學情和試卷整體要求，命題組決定最后一道題以考查等腰三角形知識為主，兼顧全等三角形和勾股定理的相關知識點.

2. 根據(jù)考點選取合適的基本圖形作為命題素材

幾何基本圖形蘊含著深刻而豐富的性質(zhì)，是命題的重要來源和基礎. 由于此題以考查等腰三角形的相關內(nèi)容為主，因此命題組選取了一個比較經(jīng)典的基本圖形——在一個等腰直角三角形斜邊中點處放置一個直角. 如圖1，在△ABC中，∠C = 90°，AC = BC，點D為邊AB的中點，點E為邊AC上任意一點，連接ED，過點D作DF⊥DE交邊BC于點F.

三、命題經(jīng)過

1. 對基本圖形的再次研究

筆者使用幾何畫板軟件繪制了如圖1所示的圖形，在屏幕中用鼠標拖動點E使其在邊AC上運動，可以發(fā)現(xiàn)以下兩個結(jié)論：① CE = BF，AE = CF；② 四邊形CEDF的面積是△ABC面積的一半. 命題組在討論時認為，由于這個圖形在課堂中已經(jīng)多次講解過，多數(shù)學生對此十分熟悉，一看到圖形就條件反射地想到連接CD（如圖2），通過證明△CED ≌ △BFD得出相關結(jié)論，所以必須對基本圖形進行演繹深化.

2. 對基本圖形的演繹深化

對基本圖形進行演繹深化以尋找靈感是試題命制的常規(guī)思路. 一般可以借助幾何畫板軟件拖動基本圖形中的相關點或線，以尋找隱藏其中的性質(zhì)，但是在這個基本圖形中，點E原本就是一個動點，在拖動過程中呈現(xiàn)的性質(zhì)比較淺顯易證. 由此筆者決定在不改變圖1的圖形結(jié)構的基礎上增加新的元素來尋找命題靈感. 根據(jù)學情，對軸對稱相關知識的考查也是本次考試的重點，因此筆者依據(jù)圖1中的動點E移動時線段DE也會隨之發(fā)生位置改變的特點，通過幾何畫板軟件將線段DE所在直線作為對稱軸，把點A反射到點G處，即點A和點G關于線段DE所在直線成軸對稱，連接GE，GF，如圖3所示.

筆者在幾何畫板軟件中拖動點E，發(fā)現(xiàn)∠EGF的大小沒有因為點E的移動而發(fā)生改變，利用幾何畫板軟件的度量功能發(fā)現(xiàn)∠EGF = 90°，且角度大小不隨點E的位置改變而變化. 經(jīng)過深入研究，筆者發(fā)現(xiàn)只需要連接DG，證明△GDF ≌ △BDF，即可推導出∠EGF為直角. 由此得到初稿.

3. 形成初稿

初稿：小婷同學利用幾何畫板軟件研究幾何圖形. 如圖1，在△ABC中，∠C = 90°，AC = BC，點D為邊AB的中點，點E為邊AC上任意一點，連接ED，過點D作DF⊥DE交BC邊于點F.

（1）小婷同學發(fā)現(xiàn)線段DE和DF的長度是相等的. 你能證明這個結(jié)論嗎？

（2）如圖3，小婷同學以線段DE所在的直線為對稱軸將點A反射到點G處，連接EG，F(xiàn)G，她發(fā)現(xiàn)∠EGF = 90°，試證明這個結(jié)論.

從知識層面看，初稿主要考查等腰三角形的相關知識，其中通過三角形全等證明角相等、線段相等也是目前解題的常規(guī)方法. 初稿入口較低，有一定的梯度.

4. 修改初稿

筆者將初稿交命題組審核，審題老師認為第（1）小題的命制是比較適當?shù)?，而第?）小題如果作為壓軸題的最后一問，顯得過于“單薄”，思維容量不夠，因此建議將第（2）小題保留，在前面兩道小題的基礎上設法命制第（3）小題. 筆者針對這些意見繼續(xù)對圖3進行深入研究，發(fā)現(xiàn)第（2）小題中要證明∠EGF = 90°，只需要△ABC為直角三角形即可，與“等腰”這一條件無關. 因此筆者將第（2）小題修改如下.

如圖4，小婷同學又繪制了一個一般的Rt△ABC，以斜邊AB的中點D為頂點作∠EDF，使∠EDF = 90°，分別交邊AC，BC于點E，F(xiàn)，將線段DE所在直線作為對稱軸，將點A反射到點G處，即點A和點G關于DE所在直線成軸對稱，連接EG，F(xiàn)G，拖動點E，小婷同學通過度量發(fā)現(xiàn)∠EGF始終是直角，試證明這個結(jié)論.

5. 命制壓軸小題

筆者回顧命題過程，再次審視已經(jīng)完稿的第（1）和第（2）兩道小題，發(fā)現(xiàn)圖3中“四邊形CEDF的面積是△ABC面積的一半”這個結(jié)論沒有在題目中體現(xiàn)，并且如果連接EF，還可以證明△CEF ≌ △GFE，而要證明判定這兩個三角形全等的條件（CE = GF，EG = CF），可以利用軸對稱性和第（1）小題中的結(jié)論解決，且在第（2）小題中已經(jīng)解決了∠C = ∠G = 90°. 筆者利用圖3繼續(xù)探究下去，推導得到“四邊形DEGF的面積和四邊形CEDF的面積相等，且都是△ABC面積的一半”.

根據(jù)以上得到的結(jié)論，筆者命制了第（3）小題：如圖3，小婷同學發(fā)現(xiàn)，如果將第（2）小題中的一般Rt△ABC改成等腰直角三角形ABC，其他條件不變，無論如何拖動點E，四邊形DEGF的面積始終等于△ABC面積的一半，試證明這個結(jié)論.

6. 確定終稿

對于第（3）小題，審題老師認為，引導學生通過利用第（1）小題和第（2）小題的結(jié)論去解決第（3）小題，大方向值得肯定，但是考慮到學生解題時也可以連接DG，證明△ADE和△BFD的面積之和與四邊形DEGF的面積相等，而△ADE和△BFD的面積之和就是△ABC面積的一半來解決此題，這樣關于△CEF的相關結(jié)論就用不到了，所以第（3）小題的思維容量還是略顯不足，難度稍低. 另外，因為前兩道小題都是要求證明論證，如果最后一題還是要求證明，學生的書寫量過大，所以建議將第（3）小題改為一道直接填寫答案的計算題.

根據(jù)上述建議，筆者決定直接給出四邊形DEGF的面積和邊CD的長度，要求學生計算四邊形DEGF的周長，從而得到第（3）小題的最終稿：如圖3，小婷同學發(fā)現(xiàn)，如果將第（2）小題中的一般Rt△ABC改成等腰直角三角形ABC，其他條件不變，發(fā)現(xiàn)無論如何拖動點E，四邊形DEGF的面積始終等于4. 當CE = 1時，四邊形DEGF的周長為______.（答案為[4+2√^-5].）

四、考試結(jié)果分析

筆者預測此題的難度系數(shù)是0.3，實際測試難度系數(shù)為0.28，與預測相近. 全校八年級19個班共有20名學生獲得滿分，應該說此題起到了較好的區(qū)分作用. 八年級數(shù)學備課組教師評價：此題起點低，入口寬，梯度明顯，區(qū)分度良好；題目圖形簡單，但思維容量大，想得多，算得少，充分考查了學生分析問題和解決問題的能力；三道小題首尾呼應，學生可以將在解答前面兩道小題的過程中得到的相關信息為解決最后一道小題提供支撐，做到了現(xiàn)學現(xiàn)用. 此題是一道意料之外又在情理之中的試題.

五、命題感悟

1. 對基本圖形演繹深化是命制高質(zhì)量試題的重要途徑

基本圖形的關系和性質(zhì)是構建幾何問題的基礎，對基本圖形進行演繹深化與建筑工人造房子類似，選定基本圖形是打地基，而后合理選擇材料，不斷添磚加瓦，最后造就高樓. 以此題的命制為例，筆者選用了一個十分常見的基本圖形（圖1），這是整個命題過程的“地基”，對這個圖形深入研究后進行演繹深化，增加了軸對稱的元素，將點A反射到點G處，然后連接線段EG和FG，這樣就使得圖形蘊含的性質(zhì)更加豐富，為推導出“∠EGF為直角”這一重要結(jié)論奠定了基礎. 第（3）小題也是通過對基本圖形（圖3）的再探究、再解構后，發(fā)現(xiàn)了圖形的面積、周長的相關結(jié)論后進行命制的.

2. 命題要關注學生思維演繹的特點

數(shù)學是思維的體操. 命制試題時，要將考查和提升學生的思維能力作為命題的重要目標. 因此，命題者要關注學生思維演繹的特點，在命題時不僅要設置難點，創(chuàng)造解題障礙，更要盡量預測學生解題思維演繹的大致方向，根據(jù)學生思維發(fā)展的特點架設橋梁，提供支撐. 此題的第（3）小題難度較大，思維鏈比較長，如果要求學生直接去解決，對學生來說是很困難的，但如果學生仔細研究第（1）小題和第（2）小題，可以發(fā)現(xiàn)第（3）小題恰好是將前面兩道小題的相關元素“糅合”進了一個圖形，解決第（1）小題和第（2）小題的過程恰恰可以為解決第（3）小題提供思路. 因此，筆者認為，在命制試題時，命題者要考慮到能力不同的多層次學生的思維特點，設置相應的解題支架，給予學生解題方向的指引.

3. 幾何畫板軟件為命制高質(zhì)量試題賦能

回顧整個命題過程，筆者發(fā)現(xiàn)幾何畫板軟件除了可以用于繪制精確的圖形，并驗證命題者提出的相關探索和假設外，更是與整個命題活動深度融合. 在命制第（2）小題和第（3）小題時，筆者利用幾何畫板軟件的動態(tài)演示且保持圖形性質(zhì)不變的功能，不斷改變動點E的位置，發(fā)現(xiàn)圖形動態(tài)變化過程中的不變量，從而生成自然而有效的數(shù)學問題，從而命制出此題. 因此，教師在命題過程中如果能科學有效地使用幾何畫板軟件，可以促進思維火花的迸發(fā). 幾何畫板軟件是思維創(chuàng)新的助推器.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］馮偉，蔣凱. 例談“幾何畫板”中“點的值”功能輔助試題命制［J］. 中學數(shù)學教學參考（中旬），2020（11）：66-68.