立足數(shù)學教學整體性發(fā)展學生系統(tǒng)性思維

李紫燕 虞秀云

摘? 要：整體性教學設計是發(fā)展學生系統(tǒng)性思維的重要路徑. 以“解一元一次方程——去分母”教學設計為例，從目標解析、內(nèi)容解析及問題診斷三個維度出發(fā)，探究數(shù)學整體性教學. 進行數(shù)學整體性教學時，教師要統(tǒng)籌單元目標和課時目標，把握數(shù)學知識橫向與縱向之間的聯(lián)系，以整體把握教學內(nèi)容. 同時，要關注隱性難點，及時反饋調控，促使學生完成從“學會”到“會學”的轉變，以便更好地提高學生的系統(tǒng)性思維水平.

關鍵詞：整體性；目標解析；內(nèi)容解析；問題診斷；系統(tǒng)性思維

作者簡介：李紫燕（1996— ），女，碩士研究生，主要從事數(shù)學教育教學研究；

虞秀云（1972— ），女，教授，主要從事數(shù)學學科教育研究.

一、問題提出

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》從教學目標、教學內(nèi)容及教學設計等方面對整體性教學提出了要求. 首先，教學目標的設定要體現(xiàn)整體性和階段性；其次，要整體把握教學內(nèi)容，表現(xiàn)在對教學內(nèi)容之間的關聯(lián)、教學內(nèi)容的結構化把握，以及教學內(nèi)容主線與相應核心素養(yǎng)發(fā)展之間關聯(lián)的把握；最后，強調整體教學設計的理念，要求體現(xiàn)數(shù)學知識之間的內(nèi)在邏輯關系，以及學習內(nèi)容與核心素養(yǎng)表現(xiàn)的關聯(lián). 可見，教師進行教學設計離不開整體性教學. 整體性教學設計就是把每一個知識點都放到完整的單元知識結構中去理解，促使學生建立新、舊知識之間的關聯(lián). 這種設計基于對知識的系統(tǒng)理解，強調知識的關聯(lián)和整合.

系統(tǒng)性思維是把物質系統(tǒng)當作一個整體加以思考的思維方式；是從整體角度出發(fā)考慮問題，研究思路著眼于問題秩序化的思維方式，在數(shù)學教學中體現(xiàn)在整體規(guī)劃教學思路. 在初中數(shù)學課堂教學中，教師要合理地滲透整體性教學理念，對幫助學生形成拓展性思維、系統(tǒng)性思維具有重要的現(xiàn)實意義.

下面以人教版《義務教育教科書·數(shù)學》（以下統(tǒng)稱“教材”）七年級上冊“解一元一次方程——去分母”的教學設計為例，從目標解析、內(nèi)容解析、問題診斷三個維度探究整體性教學.

二、“解一元一次方程——去分母”教學設計

1. 統(tǒng)籌單元與課時目標，注重目標整體性

本節(jié)課是在學生已經(jīng)學習了一元一次方程的概念之后求解一元一次方程的教學，并且學生已經(jīng)在前幾個課時學習過系數(shù)化為1、合并同類項、移項、去括號等解一元一次方程的方法. 根據(jù)整體性教學設計理念，本節(jié)課的教學目標設計應從單元教學目標出發(fā)，注重課時教學目標及單元教學目標之間的聯(lián)系. 本節(jié)課教學目標設置如下.

（1）學會綜合運用去分母、去括號等方法解一元一次方程；

（2）會用整體的思維看待解方程的求解過程，綜合運用化歸思想和數(shù)學建模思想；

（3）會從整體上感悟去分母解一元一次方程與其他求解方法之間的聯(lián)系，靈活采用求解方法，培養(yǎng)系統(tǒng)性思維.

2. 精準課堂導入，把握整體性內(nèi)容

做好課堂導入，決定著學生能在課程開始的前段搭建好整體知識內(nèi)容及思想框架體系，感悟數(shù)學的整體性. 教師可以采用如下方式引入本節(jié)課.

環(huán)節(jié)1：復習引入.

教師利用課件依次呈現(xiàn)如下方程：① 5x = 150；② 2x + 3x = 60 + 90；③ 2x - 90 + 3x = 60；④ 2x -3（30 - x） = 60；⑤[x6-30-x4=5].

教學活動：對于方程①和②，學生在本節(jié)課之前已經(jīng)學習過用系數(shù)化為1及合并同類項的方法解一元一次方程，符合學生已有的知識基礎，教師可以讓學生齊答解方程的過程；從方程③④開始可以采用“教師單獨提問，學生舉手個別回答”的方式解方程. 最后呈現(xiàn)方程⑤，引發(fā)學生對求解方程⑤的思考. 學生回答后，教師在課件中逐一呈現(xiàn)每個方程的解答步驟.

【設計意圖】首先，運用轉化思想，將學生不熟悉的方程轉化為熟悉的方程，并滲透化歸思想；通過課件逐一呈現(xiàn)方程，直至呈現(xiàn)本節(jié)課將要學習的新內(nèi)容——含有分母的一元一次方程，借助視覺上的直觀加強學生腦海中對于解一元一次方程要經(jīng)歷去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1五個步驟整體框架的搭建，樹立了學生對數(shù)學操作技能整體性的認識. 其次，教師通過問題串使得學生很快明確了本節(jié)課用到的化歸思想，這也是解決所有方程問題的核心思想，為學生之后要學習的解二元一次方程組、解一元二次方程等提供了思維基礎.

3. 做好問題診斷，發(fā)展系統(tǒng)性思維

問題是數(shù)學的心臟. 問題診斷是教師提升教學效率的有效方式. 教師在課前做好問題診斷分析，課堂上對學生的問題給予及時反饋，才能提升學生的數(shù)學思維，促進學生思維的系統(tǒng)性發(fā)展.

環(huán)節(jié)2：新課講授.

教師事先對班級學生在本節(jié)課的學習中可能會出現(xiàn)的問題進行預設. 本節(jié)課的教學重點是教會學生去分母，教師可以圍繞去分母時學生可能出現(xiàn)的困難進行如下教學設計.

教師呈現(xiàn)方程[x6-30-x4=5]，并提出以下問題.

問題1：我們學習過求解這個方程的方法嗎？這個方程有什么特點？

預設：這個方程含有分母，我們沒有學習過求解該類方程的方法.

問題2：方程兩邊有幾個分母？分別是誰？

預設：方程兩邊含有2個分母，分別是6和4.

問題3：解這個方程時，第一步要做什么？為什么要這樣做？

預設：第一步是去分母，目的是將不熟悉的方程轉化成學習過的方程來求解.

問題4：怎樣去分母？依據(jù)是什么？

預設：方程兩邊同時乘12，依據(jù)的是等式的性質2.

問題5：方程兩邊能不能同時乘24，36，48，…來去分母？可小組討論.

預設：可以，但是沒有必要. 因為12是6和4的最小公倍數(shù)，乘12會使得去分母后所得數(shù)據(jù)更為簡潔.

問題6：求解過程需要注意什么？與之前學習過的求解一元一次方程的方法有什么聯(lián)系？

預設：注意等式的基本性質和化歸思想的運用. 方程⑤的求解實際就是轉化成前面學習過的知識，求解過程貫穿了化歸思想，這樣可以把整個方程求解過程視為一個整體.

教學活動：教師帶領學生進一步完善方程⑤的求解步驟，尋找方程⑤與前面4個方程的聯(lián)系.

【設計意圖】在教學去分母時，教師應該考慮到班級學生的不同認知水平，從整體視角考慮不同學生的目標達成情況. 鑒于學生對在方程兩邊同乘最小公倍數(shù)去分母的理解存在困難，教師立足于整個班級學生的認知水平，通過層層遞進的追問，指向學生的思考過程，啟迪學生的元認知. 同時，指向學生元認知的追問方式有助于學生將小學學習過的最小公倍數(shù)與去分母進行聯(lián)系，并且運用到解方程的學習中，體現(xiàn)了數(shù)學知識縱向關聯(lián)的整體性. 在問題診斷方面，對于如何尋找分母的最小公倍數(shù)，在小學階段對學生來說就是一個難點，在去分母解一元一次方程時也是學生學習的易錯點. 這樣的設計注重問題診斷的整體性，加深了學生對數(shù)學知識的理解與延伸.

環(huán)節(jié)3：課堂練習.

課堂練習是對一節(jié)課所學知識的升華與鞏固，能很好地檢測學生對數(shù)學知識的掌握情況，對學生練習時出現(xiàn)的問題及時給予反饋，亦能幫助教師及時調整教學，對學生的思維發(fā)展有一個全面把握.

練習1：解方程[3x+12-10x+16=2]時，為了去分母應將方程兩邊同乘幾？

練習2：把方程[3x+12-10x+16=2]去分母、去括號后，正確的結果是（? ? ）.

（A）[9x+1-10x+1=1]

（B）[9x+3-10x-1=1]

（C）[9x+3-10x-1=12]

（D）[9x+3-10x+1=12]

練習3：若關于[x]的一元一次方程[2x-k3=x-3k2]的解是[x=-1]，則[k]的值是多少？

練習4：解下列方程.

（1）[3x+12-10x+16=2]；

（2）[2y+13=y+24-1].

教學活動：對于練習1和練習2，可以采取教師提問、學生舉手回答的形式解決. 對于練習3和練習4，可以讓學生上臺板演. 在學生練習時，教師可以對學生的答題情況隨時拍照投屏，對學生的習題給予即時批改，對典型錯誤進行全班展示，做到問題的及時反饋. 在完成以上練習題后，教師結合知識點對學生做題時出現(xiàn)的問題進行整體小結.

【設計意圖】首先，以上練習題是從整體視角進行設計的，且難度逐步遞增，考查學生對去分母解一元一次方程的掌握情況. 練習1和練習2是對學生利用最小公倍數(shù)去分母及運算能力的考查，練習3是對學生利用化歸思想將關于[x]的一元一次方程轉化為關于[k]的一元一次方程的數(shù)學思想方法的考查，練習4第（1）小題是對前面呈現(xiàn)過的方程的求解步驟整體認識的考查. 經(jīng)歷以上練習題的解決過程，學生對解一元一次方程步驟的認識會更加完整，構建的解方程知識的結構體系會更加具有整體性，有利于提升學生的系統(tǒng)性思維，發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

環(huán)節(jié)4：課堂小結.

教師提出以下問題，學生小組討論后舉手回答，最后師生一起總結.

（1）本節(jié)課我們學習了什么知識？

（2）你有什么收獲？積累了哪些經(jīng)驗？還有什么疑問嗎？

預設：教師帶領學生通過完善思維導圖及填表的形式回顧總結本節(jié)課的內(nèi)容.

本節(jié)課學習了去分母解一元一次方程，并且對解一元一次方程的步驟有了整體的認識，基本步驟有去分母、去括號、移項、合并同類項及系數(shù)化為1等，核心思想為化歸思想，最終將結果轉化為[x=baa≠0]的形式. 在這個過程中要考慮每個步驟的注意事項，如不漏乘、不漏項等.

【設計意圖】通過小組討論，師生共同總結本節(jié)課的學習內(nèi)容，再次加深學生對解一元一次方程步驟的整體認識. 呈現(xiàn)框架結構及表格的小結方式有利于學生系統(tǒng)性思維的發(fā)展，最終達成教學目標.

三、教學啟示

1. 著眼于單元架構，注重目標整體性

教學目標是教學活動的出發(fā)點和歸宿，教學目標的整體性設計是順利開展整體性教學的關鍵. 教師在進行課時教學目標設計時，要從單元角度出發(fā)，將每節(jié)課的教學目標融入單元之中，注重目標的整體性.“解一元一次方程——去分母”一課歸屬于教材第3章第3節(jié)，教師在設計時要從單元整體架構出發(fā)，關注此小節(jié)內(nèi)容在單元中所處的位置，再結合小節(jié)教學目標發(fā)現(xiàn)各小節(jié)之間的前后聯(lián)系. 例如，“解一元一次方程——去分母”一課統(tǒng)攬前幾節(jié)所學的去括號、移項、合并同類項及系數(shù)化為1的內(nèi)容，銜接著下一節(jié)的“實際問題與一元一次方程”，在整個單元架構中起著承上啟下的作用. 因此，教師在設計本節(jié)課的教學目標時，要從單元教學目標中提煉出課時教學目標，以各課時教學目標總體構筑單元教學目標；既要突出單元教學目標，也要注重課時教學目標的落實，發(fā)展主線主題的教學思維. 教師只有注重教學目標的整體性設計，才能從根本上解決存在于不同教學方式及課時時限要求之間的矛盾，達成數(shù)學學科的育人目標.

2. 俯瞰知識點間的橫縱聯(lián)系，切勿忽視隱性難點

教師需要整體把控教學內(nèi)容的設計，俯瞰各知識點間的橫縱聯(lián)系，以期關注到不同階段、不同主題教學時可能出現(xiàn)的隱性難點. 在教學中，教師不能將各模塊、各學段的數(shù)學知識進行割裂，應該用整體的眼光看待教學并注意引導學生把握知識體系的整體關聯(lián)，同時關注知識點間的隱性難點. 例如，在“解一元一次方程——去分母”一課中，找分母的最小公倍數(shù)是隱性難點，它也是學生在小學階段的一個學習難點. 在后面的學習中，學生現(xiàn)階段出現(xiàn)的問題仍然可能是一個隱性的難點，這體現(xiàn)了數(shù)學知識間的縱向聯(lián)系. 教師在進行教學設計時要關注到不同階段知識的隱性難點，整體把握教學，進而提升學生的系統(tǒng)性思維水平.

3. 從“學會”走向“會學”，實現(xiàn)由知識到方法的系統(tǒng)化

學生對數(shù)學知識的學習是一個從“學會”走向“會學”的過程，系統(tǒng)性思維在整個過程中發(fā)揮著重要作用. 教師要根據(jù)數(shù)學對象特有的知識結構，研究知識的性質、路徑、結構、結果、表達方式等，從“知識體系”的學習到“方法體系”的學習，使學生做到從“學會”到“會學”的轉變. 因此，教師可以將數(shù)學知識的學習分為“學會結構”和“會用結構”兩個階段，從兩個階段進行突破才能培養(yǎng)學生的系統(tǒng)性思維. 例如，一元一次方程的學習可以為后面二元一次方程（組）、一元二次方程的學習作鋪墊，具體如表1所示.

“學會結構”階段就是學生“學會”的過程. 教師要從數(shù)學知識的整體性出發(fā)，讓學生形成研究方程的一般思想，掌握一元一次方程這一知識對象的一般研究路徑，即“實際需要—方程定義—方程求解—方程應用”的過程. 這樣，在學生日后學習二元一次方程（組）和一元二次方程時，也就是“會用結構”階段，教師可以引導學生從一元一次方程的研究路徑入手，基于數(shù)學整體性，幫助學生用類比思想建構關于二元一次方程（組）及一元二次方程的知識體系，這才是真正幫助學生從“學會”走向“會學”，實現(xiàn)了“知識體系”學習到“方法體系”學習的系統(tǒng)化，切實發(fā)展學生的系統(tǒng)性思維.

參考文獻：

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