在直觀、抽象、表達中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

李馨

摘? 要：在“直線與圓的位置關(guān)系”起始課的教學(xué)中，設(shè)計了兩個動態(tài)情境，基于直觀想象引導(dǎo)學(xué)生抽象出其中的幾何元素；通過表達直線與圓的位置關(guān)系的幾何特征，進一步抽象直線與圓的位置關(guān)系的代數(shù)特征. 聚焦直線與圓相切的特殊位置關(guān)系，用過切點的半徑與切線的位置關(guān)系表達相切的代數(shù)特征，抽象出切線的性質(zhì)和判定，并通過演繹推理加以證明；通過納入知識體系，建立知識間的聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生的空間觀念、幾何直觀、推理能力及圖形關(guān)系的抽象能力．

關(guān)鍵詞：直觀想象；數(shù)學(xué)抽象；代數(shù)表達；教學(xué)設(shè)計

浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》九年級下冊“2.1 直線與圓的位置關(guān)系”一課的內(nèi)容處于初中平面幾何主要教學(xué)內(nèi)容的末段，介于點與圓的位置關(guān)系和圓與圓的位置關(guān)系之間. 三者的研究方法一脈相承，都是從幾何特征（交點個數(shù)）和代數(shù)特征（圓心的距離和半徑的關(guān)系）兩個角度考慮. 因為直線與圓的位置關(guān)系研究的是直線形與曲線之間的位置關(guān)系，所以對學(xué)生來說比較陌生. 聚焦直線與圓只有一個公共點（幾何特征）這一“恰到好處”的位置，理解為什么可以用圓心到直線的距離和圓的半徑相等（代數(shù)特征）去刻畫，是學(xué)好直線與圓的位置關(guān)系的關(guān)鍵．類比點與圓的位置關(guān)系的研究方法，把直線與圓的位置關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為點與圓的位置關(guān)系問題進行研究，可以讓學(xué)生學(xué)會用相似的方法研究不同的問題，學(xué)會學(xué)習(xí)．

一、創(chuàng)設(shè)動畫情境，基于直觀想象，抽象直線與圓的位置關(guān)系

教學(xué)片斷1：動態(tài)情境驅(qū)動直觀想象.

教師借助信息技術(shù)呈現(xiàn)如下情境：① 觀察日出的過程中，太陽從地平線升起至完全脫離地平線；② 夜里開著大燈的汽車從墻前的電線桿旁經(jīng)過，電線桿在墻上的影子從圓形窗口劃過．

問題1：在這兩個情境中，你觀察到了哪幾類幾何圖形？

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生從兩個情境中抽象出直線和圓這兩類幾何圖形．

追問1：這兩個情境中，直線與圓之間的位置關(guān)系發(fā)生變化了嗎？

追問2：在每個情境中，直線與圓各有幾種不同的位置關(guān)系？

【設(shè)計意圖】情境①是學(xué)生熟悉的日出的過程，可以把地平線抽象成直線，把太陽抽象成圓，展現(xiàn)了直線與圓的位置從相交到相切再到相離的過程. 情境②中，可以把窗子抽象成圓，把電線桿的影子抽象成直線，展現(xiàn)了直線與圓的位置從相離到相切，然后到相交，再到相切，最后相離的全過程. 情境①呈現(xiàn)了直線不動而圓在動的幾何直觀，情境②則恰好相反，圓不動而直線在動. 這兩個具體情境的創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)生從中歸納出共性，從而抽象出研究對象；兩個情境都是動態(tài)的，有利于學(xué)生直觀感知圓與直線的三種不同的位置關(guān)系，獲得研究對象之間的關(guān)系. 同時，這兩個情境的設(shè)計也為學(xué)生能夠順利地進行后面的數(shù)學(xué)活動作了鋪墊.

動手操作：試畫出表示直線和圓的三種不同位置關(guān)系的圖形．

師生活動：學(xué)生自主畫圖，教師巡視指導(dǎo).

【設(shè)計意圖】雖然學(xué)生此時并沒有學(xué)習(xí)過直線與圓的位置關(guān)系，但是對直線與圓的三種不同位置關(guān)系的認(rèn)知產(chǎn)生于無意識的活動. 學(xué)生通過直觀感知，即使不能用數(shù)學(xué)語言準(zhǔn)確表述三種不同的位置關(guān)系，也能夠辨別三種位置關(guān)系的差異，并通過畫圖描述這三種不同的位置關(guān)系. 通過這一活動，引導(dǎo)學(xué)生初步感知直線與圓的三種位置關(guān)系，并通過畫圖建立幾何直觀.

教學(xué)片斷2：通過分類和語言表達抽象直線與圓的位置關(guān)系.

問題2：如圖1所示的三個圖形分別具有怎樣的特點？嘗試用語言表達出來．

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生通過分享和交流，把三種位置關(guān)系的分類推廣到一般，并用語言給出三種位置關(guān)系的定義，從直線與圓的公共點的個數(shù)出發(fā)描述幾何特征.

當(dāng)直線與圓有兩個公共點時，我們說這條直線與圓相交，這條直線叫做圓的割線；當(dāng)直線與圓有唯一的公共點時，我們說這條直線與圓相切，這條直線叫做圓的切線，公共點叫做切點；當(dāng)直線與圓沒有公共點時，我們說這條直線與圓相離．

【設(shè)計意圖】借助文字語言抽象出直線與圓的三種位置關(guān)系，并給出定義. 在這一過程中發(fā)展學(xué)生抽象圖形與圖形之間關(guān)系的能力．

二、基于質(zhì)疑和類比引導(dǎo)學(xué)生進一步量化研究

直線與圓的三種位置關(guān)系的幾何特征是直觀的．然而，僅靠肉眼觀察有無公共點并不可靠，只有給出量化的判定方法，才能對直線與圓的位置關(guān)系進行精確且可靠的判斷. 因此，借助直線與圓相切的特殊位置關(guān)系設(shè)計活動，制造兩次認(rèn)知沖突，啟發(fā)學(xué)生繼續(xù)思考．

教學(xué)片斷3：啟發(fā)學(xué)生質(zhì)疑，引出定量的判定方法.

問題3：在這三種不同的位置關(guān)系中，你認(rèn)為最特殊的是哪種位置關(guān)系？

追問：在直線與圓相切的這種特殊的位置關(guān)系下，直線與圓有幾個公共點？

師生活動：教師選擇一個由學(xué)生畫的直線與圓相切的圖形，在實物投影下將其放大到適當(dāng)?shù)拇笮。ù藭r屏幕上呈現(xiàn)的直線與圓沒有公共點或有兩個公共點），學(xué)生指出公共點的位置．

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)用肉眼看到的“一個公共點”并不可靠，需要進一步找到定量的判定方法．

教學(xué)片斷4：探究定量判定直線與圓的位置關(guān)系的方法.

問題4：怎樣獲得定量判定直線與圓的位置關(guān)系的方法？我們在前面已經(jīng)學(xué)習(xí)過點與圓的位置關(guān)系，是怎樣判定的？對直線與圓的位置關(guān)系的判定有什么啟發(fā)？

追問：如果把直線看作點的集合，你能把直線與圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為點與圓的位置關(guān)系來研究嗎？

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生類比點與圓的位置關(guān)系的研究方法，用點與圓心的距離與半徑作比較.

設(shè)⊙O的半徑為r，點到圓心O的距離為d，則：d > r ? 點在⊙O外；d = r ? 點在⊙O上；d < r ? 點在⊙O內(nèi).

進一步地，如果把直線看作點集，則可以把直線與圓的三種位置關(guān)系對應(yīng)轉(zhuǎn)化為點與圓的位置關(guān)系：直線與圓沒有公共點?直線上的點都在圓外?直線上到圓心距離最近的點在圓外；直線與圓有且只有一個公共點?直線上除此點外都在圓外?直線上到圓心距離最近的點在圓上；直線與圓有兩個公共點?直線上有無數(shù)個點在圓內(nèi)?直線上到圓心距離最近的點在圓內(nèi).

【設(shè)計意圖】經(jīng)歷直觀觀察和想象活動，引導(dǎo)學(xué)生把直線與圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為直線上到圓心距離最近的點與圓的位置關(guān)系，使學(xué)生抓住問題的本質(zhì)，發(fā)展抽象能力．

問題5：類比點與圓的位置關(guān)系，你發(fā)現(xiàn)定量判定直線與圓的位置關(guān)系的方法了嗎？

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生抽象定量判定直線與圓位置關(guān)系的方法，并用符號語言表達.

設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，則：d > r ? 直線l與⊙O相離；d = r ? 直線l與⊙O相切；d < r ? 直線l與⊙O相交．

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生抽象直線與圓的位置關(guān)系的定量判定方法，并用符號語言表達，發(fā)展學(xué)生的抽象能力.

三、應(yīng)用新知推理判斷，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀和推理能力

教學(xué)片斷5：應(yīng)用新知推理判斷.

問題6：如圖2，已知P為∠ABC的角平分線上一點，BC與⊙P相切. 求證：AB與⊙P相切．

追問1：BC與⊙P相切的位置關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為哪兩個量之間的數(shù)量關(guān)系？

追問2：要證明AB與⊙P相切，需要哪兩個量之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

追問3：由已知條件“P為∠ABC的角平分線上一點”，可以建立哪兩個量之間的聯(lián)系？它們之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

師生活動：學(xué)生獨立思考，在明確問題中的已知條件和需要實現(xiàn)的目標(biāo)的基礎(chǔ)上，分析并解決問題. 教師板書示范證明過程.

【設(shè)計意圖】通過解決與教學(xué)目標(biāo)和內(nèi)容匹配的問題，讓學(xué)生應(yīng)用新知進行推理，鞏固本節(jié)課所學(xué)知識，發(fā)展學(xué)生的空間觀念、幾何直觀和推理能力．

四、基于課例的思考

1. 重視知識之間的聯(lián)系

要把直線與圓的位置關(guān)系納入學(xué)生的知識系統(tǒng)，需要建立更廣泛的聯(lián)系. 兩點之間的位置關(guān)系是幾何圖形中最基本的位置關(guān)系，可以由方向和距離來刻畫兩個點之間的位置關(guān)系. 直線與圓的位置關(guān)系歸根結(jié)底是通過點與點的距離來刻畫的：r與d即為兩點之間的距離與點到線的距離，其中，圓心到圓上一點的距離為r（r的確定與方向無關(guān)），圓心到直線的距離為d（d的確定與方向有關(guān)）；進一步把圓心到直線的距離d看成圓心到垂足的距離. 由此獲得研究對象中最基本的要素：圓心、圓上一點和垂足. 事實上，這三個點是進一步研究切線的性質(zhì)的關(guān)鍵．

2. 教學(xué)設(shè)計契合知識發(fā)生發(fā)展邏輯和學(xué)生認(rèn)知規(guī)律

本節(jié)課中，借助信息技術(shù)呈現(xiàn)了兩個動態(tài)的情境，由此引入研究對象，提出研究問題. 首先，學(xué)生通過把現(xiàn)實情境抽象為直線與圓之間位置關(guān)系變化的數(shù)學(xué)情境，從而對變化過程中圓與直線的三種特殊位置關(guān)系進行分析、比較、綜合，歸納共同特征；其次，根據(jù)直線與圓的公共點個數(shù)的幾何特征進行分類并下定義，通過教師的引導(dǎo)質(zhì)疑，進一步提出對直線與圓的位置關(guān)系進行量化研究的問題；最后，通過類比點與圓的位置關(guān)系的研究，規(guī)劃直線與圓的位置的關(guān)系的研究路徑，經(jīng)歷把直線與圓的位置關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為點與圓的位置關(guān)系的過程，從而抽象出直線與圓位置關(guān)系的代數(shù)特征. 研究過程從知覺運動經(jīng)驗開始，先基于視覺直觀進行直線與圓位置關(guān)系的分類，并借助幾何中的公共點進行邏輯表達，在此基礎(chǔ)上通過類比點與圓的位置關(guān)系的研究方法進行定量研究，獲得直線與圓的位置關(guān)系的代數(shù)表達. 這些數(shù)學(xué)活動體現(xiàn)了從直觀到邏輯、從定性研究到定量研究的循序漸進的探索過程，符合數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展的邏輯，也符合人們研究幾何問題的一般認(rèn)知規(guī)律，實現(xiàn)了數(shù)學(xué)邏輯與學(xué)生學(xué)習(xí)認(rèn)知規(guī)律的有效統(tǒng)一．

3. 融合內(nèi)容，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

在引入直線與圓的位置關(guān)系、提出研究問題、抽象數(shù)學(xué)概念的過程中，通過創(chuàng)設(shè)情境引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷直觀觀察、想象與抽象，得到直線和圓這兩類幾何圖形，通過聚焦其位置關(guān)系進行分類，抽象出直線與圓的位置關(guān)系，并用文字語言給出定義，用符號語言表示. 經(jīng)歷這些圖形關(guān)系的抽象活動，發(fā)展學(xué)生的空間觀念、幾何直觀和抽象能力．

在研究直線與圓的位置關(guān)系代數(shù)表達的過程中，通過教師的引導(dǎo)質(zhì)疑，啟發(fā)學(xué)生進一步提出量化研究問題，并實時引導(dǎo)學(xué)生通過類比點與圓的位置關(guān)系的量化研究經(jīng)驗，規(guī)劃研究思路，把直線與圓的位置關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為點與圓的位置關(guān)系問題. 在這一過程中，引導(dǎo)學(xué)生進行數(shù)學(xué)思想方法的抽象和遷移應(yīng)用，發(fā)展學(xué)生的抽象能力．

在類比點與圓的位置關(guān)系，用點集的觀點看直線的活動中，其實是引導(dǎo)學(xué)生用新的視角去觀察問題，這樣可以發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識．

在類比點與圓的位置關(guān)系，抽象出直線與圓的位置關(guān)系，并用文字語言和符號語言進行表達的過程中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力和數(shù)學(xué)表達能力．

總之，在“直線與圓的位置關(guān)系”一課中，筆者通過創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)那榫场⑻岢鲞m當(dāng)?shù)膯栴}，融合內(nèi)容引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷直觀觀察與想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)活動. 在這些活動中發(fā)展學(xué)生的空間觀念、幾何直觀、抽象能力和推理能力，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 這種教學(xué)設(shè)計的策略可以遷移到其他幾何內(nèi)容的教學(xué)中．

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］李海東. 義務(wù)教育教科書（人教版）教師培訓(xùn)手冊·數(shù)學(xué)（七 ～ 九年級）［M］. 北京：人民教育出版社，2014．